1、三 反证法与放缩法 【自主预习自主预习】 1.1.反证法反证法 (1)(1)方法方法: :先假设先假设_,_,以此为出发点以此为出发点, ,结结 合已知条件合已知条件, ,应用应用_等等, ,进行正进行正 确的推理确的推理, ,得到和得到和_(_(或已证明的定理、性或已证明的定理、性 要证的命题不成立要证的命题不成立 公理、定义、定理、性质公理、定义、定理、性质 命题的条件命题的条件 质、明显成立的事实等质、明显成立的事实等) )矛盾的结论矛盾的结论, ,以说明假设不正以说明假设不正 确确, ,从而证明从而证明_,_,我们把它称为反证法我们把它称为反证法. . (2)(2)适用范围适用范围:
2、:对于那些直接证明比较困难的否定性命对于那些直接证明比较困难的否定性命 题题, ,唯一性命题或含有“至多”“至少”等字句的问唯一性命题或含有“至多”“至少”等字句的问 题题, ,常常用反证法证明常常用反证法证明. . 原命题成立原命题成立 2.2.放缩法放缩法 (1)(1)方法方法: :证明不等式时证明不等式时, ,通过把不等式中的某些部分通过把不等式中的某些部分 的值的值_或或_,_,简化不等式简化不等式, ,从而达到证明的目从而达到证明的目 的的, ,我们把这种方法称为放缩法我们把这种方法称为放缩法. . (2)(2)关键关键: :放大放大( (缩小缩小) )要适当要适当. . 放大放大
3、缩小缩小 【即时小测即时小测】 1.1.应用反证法推出矛盾的推导过程中应用反证法推出矛盾的推导过程中, ,可把下列哪些作可把下列哪些作 为条件使用为条件使用 ( ( ) ) (1)(1)结论的反设结论的反设.(2).(2)已知条件已知条件.(3).(3)定义、公理、定理定义、公理、定理 等等.(4).(4)原结论原结论. . A.(1)(2)A.(1)(2) B.(2)(3)B.(2)(3) C.(1)(2)(3)C.(1)(2)(3) D.(1)(2)(4)D.(1)(2)(4) 【解析解析】选选C.C.根据反证法的定义可知根据反证法的定义可知, ,用反证法证明过用反证法证明过 程中程中,
4、,可应用可应用(1)(1)结论的反设结论的反设.(2).(2)已知条件已知条件.(3).(3)定义、定义、 公理、定理等推出矛盾公理、定理等推出矛盾. . 2.2.在在ABCABC中中, ,若若AB=AC,PAB=AC,P是是ABCABC内的一点内的一点,APB ,APB APC,APC,求证求证:BAPCAP. 答案答案: :BAP=CAPBAP=CAP或或BAPCAP.BAPCAP. 【知识探究知识探究】 探究点探究点 反证法与放缩法反证法与放缩法 1.1.用反证法证明时用反证法证明时, ,导出矛盾有哪几种可能导出矛盾有哪几种可能? ? 提示提示: :与原命题的条件矛盾与原命题的条件矛盾;
5、 ; 与假设矛盾与假设矛盾; ; 与定义、公理、定理、性质矛盾与定义、公理、定理、性质矛盾; ; 与客观事实矛盾与客观事实矛盾. . 2.2.用反证法证明命题“若用反证法证明命题“若p p则则q”q”时时, , q q假假,q,q即为真吗即为真吗? ? 提示提示: :是的是的. .在证明数学问题时在证明数学问题时, ,要证明的结论要么正确要证明的结论要么正确, , 要么错误要么错误, ,二者中居其一二者中居其一, , q q是是q q的反面的反面, ,若若 q q为假为假, ,则则q q 必为真必为真. . 【归纳总结归纳总结】 1.1.常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假常见的涉及反
6、证法的文字语言及其相对应的否定假 设设 常见常见 词语词语 至少有至少有 一个一个 至多有至多有 一个一个 唯一唯一 一个一个 不不 是是 不可不可 能能 全全 都是都是 否定否定 假设假设 一个也一个也 没有没有 有两个或有两个或 两个以上两个以上 没有或有没有或有 两个或两个或 两个以上两个以上 是是 有或有或 存在存在 不不 全全 不都不都 是是 2.2.放缩法证明不等式的理论依据放缩法证明不等式的理论依据 (1)(1)不等式的传递性不等式的传递性. . (2)(2)等量加不等量为不等量等量加不等量为不等量. . (3)(3)同分子同分子( (分母分母) )异分母异分母( (分子分子)
7、)的两个分式大小的比较的两个分式大小的比较. . 3.3.放缩法证明不等式常用的技巧放缩法证明不等式常用的技巧 (1)(1)增项或减项增项或减项. . (2)(2)在分式中增大或减小分子或分母在分式中增大或减小分子或分母. . (3)(3)应用重要不等式放缩应用重要不等式放缩, ,如如a a2 2+b+b2 22ab, 2ab, (4)(4)利用函数的单调性等利用函数的单调性等. . 23 abababc abab()abc(a,b,c0). 223 ， 类型一类型一 利用反证法证明否定性命题利用反证法证明否定性命题 【典例典例】设设01,(2- -b)b)a1,(2a1,(2- -c)c)b
8、1,b1, 则则(2(2- -a)a)c c(2(2- -b)b)a a(2(2- -c)c)b1b1 , , 因为因为0b,那么那么 ”时”时, ,假设的内容是假设的内容是( ( ) ) 33 ab 33 33 3333 3333 A. ab B. ab C. abab D. abab 成立 成立 或成立 且成立 【解析解析】选选C.C.结论结论 的否定是的否定是 或或 成立成立. . 33 ab 33 ab 33 ab 2.2.已知三个正数已知三个正数a,b,ca,b,c成等比数列成等比数列, ,但不成等差数列但不成等差数列. . 求证求证: : 不成等差数列不成等差数列. . 【证明证明
9、】假设假设 成等差数列成等差数列, ,则则 即即a+c+ =4b,a+c+ =4b, 又三个正数又三个正数a,b,ca,b,c成等比数列成等比数列, ,所以所以b b2 2=ac,=ac,即即b= .b= . a, b, c a, b, c ac2 b，2 ac ac 所以所以a+c+2 =4 ,a+c+2 =4 ,即即a+ca+c- -2 =0,2 =0, 所以所以( )( )2 2=0,=0,所以所以 , ,即即a=c.a=c. 从而从而a=b=c,a=b=c,这与已知中这与已知中a,b,ca,b,c不成等差数列矛盾不成等差数列矛盾, , 所以原假设错误所以原假设错误, ,故故 不成等差数
10、列不成等差数列. . acacac a ca= c a, b, c 类型二类型二 利用反证法证明“至少”“至多”型问题利用反证法证明“至少”“至多”型问题 【典例典例】已知已知f(x)=xf(x)=x2 2+px+q,+px+q,求证求证: : (1)f(1)+f(3)(1)f(1)+f(3)- -2f(2)=2.2f(2)=2. (2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|(2)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于中至少有一个不小于 . . 1 2 【解题探究解题探究】典例典例(2)(2)中待证结论的反设是什么中待证结论的反设是什么? ? 提示提示: :反设是反设是|
11、f(1)|,|f(2)|,|f(3)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于都小于 . . 1 2 【证明证明】(1)(1)由于由于f(x)=xf(x)=x2 2+px+q,+px+q, 所以所以f(1)+f(3)f(1)+f(3)- -2f(2)2f(2) =(1+p+q)+(9+3p+q)=(1+p+q)+(9+3p+q)- -2(4+2p+q)=2.2(4+2p+q)=2. (2)(2)假设假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于都小于 , , 则有则有|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|2,而而a a2 2- -ab+bab+
12、b2 2= = 但取等号的条件为但取等号的条件为a=b=0,a=b=0,显然不可能显然不可能, , 所以所以a a2 2- -ab+bab+b2 20.0. 则则a a3 3+b+b3 3=(a+b)(a=(a+b)(a2 2- -ab+bab+b2 2)2(a)2(a2 2- -ab+bab+b2 2),), 22 13 (ab)b0 24 ， 而而a a3 3+b+b3 3=2,=2,故故a a2 2- -ab+bab+b2 2a2 2+b+b2 22ab.2ab.从而从而ab2,得得(a+b)(a+b)2 24,4,出现矛盾出现矛盾, ,故假设不成立故假设不成立, , 原结论成立原结论成
13、立, ,即即a+b2.a+b2. 2.2.将典例中的条件改为“设二次函数将典例中的条件改为“设二次函数f(x)=xf(x)=x2 2+px+1”,+px+1”, 求证求证:|f(1)|,|f(:|f(1)|,|f(- -1)|1)|中至少有一个不小于中至少有一个不小于2.2. 【证明证明】假设假设|f(1)|,|f(|f(1)|,|f(- -1)|1)|都小于都小于2,2, 则有则有|f(1)|+|f(|f(1)|+|f(- -1)|0,这与这与 a+b+c0a+b+c0矛盾矛盾. .故故a,b,ca,b,c中至少有一个大于零中至少有一个大于零. . 222 (x2y)(y2z)(z2x) 2
14、36 类型三类型三 利用放缩法证明不等式利用放缩法证明不等式 【典例典例】求证求证: : (nN(nN+ +且且n2).n2). 【解题探究解题探究】典例中如何将典例中如何将 中的分母适中的分母适 当放大或缩小转化为求和的形式当放大或缩小转化为求和的形式? ? 提示提示: : (nN(nN+ +且且n2).n2). 22 31111 12 2n 12nn 22 11 1 2n 2 111 n n 1nn n 1 【证明证明】因为因为k(k+1)kk(k+1)k2 2k(kk(k- -1),1), 所以所以 即即 (kN(kN+ +且且k2).k2). 分别令分别令k=2,3,k=2,3,n,n
15、得得 2 111 , k k1kk k 1 2 11111 kk1kk 1k 22 1111 11111 1, 2322 34323 将这些不等式相加得将这些不等式相加得 2 11111 , nn 1nn 1n 所以所以 即即 (nN(nN+ +且且n2)n2)成立成立. . 222 111111 111 1, 2n 123nn 222 311111 12 2n 123nn 【方法技巧方法技巧】放缩法证明不等式的技巧放缩法证明不等式的技巧 放缩法就是将不等式的一边放大或缩小放缩法就是将不等式的一边放大或缩小, ,寻找一个寻找一个 中间量中间量, ,如将如将A A放大成放大成C,C,即即A1.
16、n 23n 1 1 1 111111 2 1 1 1 2 31 2 3n2222 1 2 k 1 11111 ,得S 1 2 3k1 2 22211 2 n 1 1 2. 2 2 2 11 1 1 21 2 3n 【补偿训练补偿训练】已知已知a an n=4=4n n- -2 2n n,T,Tn n= = 求证求证:T:T1 1+T+T2 2+T+T3 3+ +T+Tn n n 12n 2 aaa ， 3 . 2 【证明证明】因为因为a a1 1+a+a2 2+ +a+an n=4=41 1+4+42 2+4+43 3+ +4+4n n- - (2(21 1+2+22 2+ +2+2n n)=
17、 (4)= (4n n- -1)+2(11)+2(1- -2 2n n),), 所以所以T Tn n= = nn 4 1 42 1 24 1 41 23 （）（） nnn n 1n 1 nn n 1n 1 222 4 4442 412 1 2 222 3 3333 （）（） nnn n 1n 1n 2nnn 3 23232 43 222 2 23 212 (2 21) 21（ ）（） nn 1 311 . 2 2121 （） 从而从而T T1 1+T+T2 2+T+T3 3+ +T+Tn n= = nn 1 3111113 1 . 233721212 （） 自我纠错自我纠错 用放缩法证明不等式用放缩法证明不等式 【典例典例】设设n n为大于为大于1 1的自然数的自然数, ,求证求证 11111 . n 1n2n32n2 【失误案例失误案例】 分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. . 提示提示: :错误的根本原因是证明过程放缩思路错误错误的根本原因是证明过程放缩思路错误. .正确正确 解答过程如下解答过程如下: : 【证明证明】 1111 n 1n2n32n 1111n1 . 2n2n2n2n2n2
