1、第二讲第二讲 参数方程参数方程 二、二、 圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程 第第 1 课时课时 椭圆椭圆 学习目标学习目标 1.掌握椭圆的参数方程掌握椭圆的参数方程，明确参数明确参数 的的 几何意义几何意义(重点重点) 2.利用椭圆的参数方程解一些数学问利用椭圆的参数方程解一些数学问 题题(重点、难点重点、难点) 知识提炼知识提炼 梳理梳理 如图如图，椭圆的中心在原点椭圆的中心在原点，焦点在焦点在 x 轴时轴时，对应的对应的 普通方程为普通方程为x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)， 参数方程为参数方程为 x acos ， ybsin ( 为参数为参数，00)的参数方程的参数方程 x
2、acos ， ybsin ( 为参数为参数)中的参数中的参数 有明确的几何意义 对于椭圆有明确的几何意义 对于椭圆x 2 a2 y 2 b2 1， 称为该椭圆的离心角称为该椭圆的离心角， 的最大范围是的最大范围是 R，最小范最小范 围是围是0，2)如果如果 的范围比的范围比0，2)还小还小，那么该参数那么该参数 方程表示的图形不是一整个椭圆而是椭圆的一部分方程表示的图形不是一整个椭圆而是椭圆的一部分 变式训练变式训练 (1)写出椭圆写出椭圆（ （x1）2 3 （ （y2）2 5 1 的参数方程；的参数方程； (2)椭圆的参数方程为椭圆的参数方程为 x 13cos t， y22sin t (t
3、为参数为参数)， 点点 P 为椭圆上对应为椭圆上对应 t 6的点 的点，求直线求直线 OP 的斜的斜率率 解：解：(1)由题意可设由题意可设 x 1 3 cos ， y2 5 sin ， 即即 x 1 3cos ， y2 5sin ( 为参数为参数)为所求为所求 (2)当当 t 6时 时，x13cos 6 13 3 2 ， y22sin 6 1. 所以所以 OP 的斜率的斜率 ky x 1 13 3 2 46 3 23 . 类型类型 2 利用椭圆的参数方程求轨迹方程利用椭圆的参数方程求轨迹方程(互动探究互动探究) 典例典例 2 已知已知 A， B 分别是椭圆分别是椭圆 x2 36 y 2 9
4、1 的右顶点的右顶点 和上顶点和上顶点，动点动点 C 在该椭圆上运动在该椭圆上运动，求求ABC 的重心的重心 G 的轨迹方的轨迹方程程 解：解：由题意知由题意知 A(6，0)，B(0，3)，由于动点由于动点 C 在椭圆在椭圆 上运动上运动， 故可设动点故可设动点 C 的坐标为的坐标为(6cos ，3sin ) 设设点点 G 的坐标为的坐标为(x，y)， 由三角形重心的坐标公式可得由三角形重心的坐标公式可得 x 606cos 3 ， y 033sin 3 ， 即即 x 22cos ， y1sin . 消去参数消去参数 得到重心得到重心 G 的轨迹方程为的轨迹方程为 （x2）2 4 (y 1)21
5、. 又因为点又因为点 C 不与点不与点 A，B 重合重合，故重心故重心 G 不能为不能为(2， 2)，且不能为且不能为(4，1)，所以重心，所以重心 G 的轨迹方程为的轨迹方程为 （x2）2 4 (y1)21，除去点除去点(2，2)，(4，1) 迁移探究迁移探究 (改变问法改变问法)将典例将典例 2 中的设问中的设问“求求 ABC 的重心的重心 G 的轨迹方程的轨迹方程”改为改为“求线段求线段 OC 中点中点 M 的轨迹方程的轨迹方程” ” 解：解：设线段设线段 OC 中点中点 M 坐标为坐标为(x，y)，椭圆上的动点椭圆上的动点 C 的坐标为的坐标为(6cos ，3sin )，则由中点公式得
6、则由中点公式得 x 06cos 2 ， y 03sin 2 ， 即即 x 3cos ， y3 2sin ( 为参数为参数) 消去参数消去参数 得动点得动点 M 的轨迹方程为的轨迹方程为x 2 9 4y 2 9 1， 即即 x24y29. 归纳升华归纳升华 1求动点的轨迹方程求动点的轨迹方程时时，先求出动点轨迹的参数方，先求出动点轨迹的参数方 程，然后消去参数转化为普通方程，要注意合理利用三角程，然后消去参数转化为普通方程，要注意合理利用三角 恒等变恒消参恒等变恒消参 2 利用椭圆的参数方程解决求轨迹问题具有优越性利用椭圆的参数方程解决求轨迹问题具有优越性， 利用参数方程运算会更简便利用参数方程
7、运算会更简便 类型类型 3 利用椭圆的参数方程求最值利用椭圆的参数方程求最值(规范解答规范解答) 典例典例 3 (本小题满分本小题满分 10 分分)在直角坐标系在直角坐标系 xOy 中中， 以原点以原点 O 为极点为极点， x 轴的正半轴为极轴轴的正半轴为极轴， 建立极坐标建立极坐标系 已系 已 知曲线知曲线 C1： x 4cos t， y3sin t (t 为参数为参数)，C2： x 6cos ， y2sin ( 为参数为参数) (1)化化 C1，C2的方程为普通方程的方程为普通方程，并说明它们分别表并说明它们分别表 示什么曲线；示什么曲线； (2)若若 C1上的点上的点 P 对应的参数为对
8、应的参数为 t 2， ，Q 为为 C2上上 的动点的动点， 求线段求线段 PQ 的中点的中点 M 到直线到直线 C3： cos 3sin 82 3距离的最小距离的最小值值 审题指导：审题指导： (1)利用利用“sin2cos21”进行消参可得进行消参可得 C1，C2的普通方程的普通方程，再通过普通方程的类型说明曲线的再通过普通方程的类型说明曲线的 类型类型 (2)求出求出 P 坐标坐标，设出设出 Q 的坐标的坐标(用参数表示用参数表示)由中由中 点公式求得点公式求得 M 坐标坐标，然后根据点到直线的距离公式求得然后根据点到直线的距离公式求得 距离距离，再根据三角函数求最值再根据三角函数求最值
9、规范解答规范解答 (1)C1：(x4)2(y3)21，(1 分分) C2： x2 36 y 2 4 1，(2 分分) C1为圆心是为圆心是(4，3)，半径是半径是 1 的圆；的圆；(3 分分) C2为中心在坐标原点为中心在坐标原点， 焦点在焦点在 x 轴上轴上， 长半轴长是长半轴长是 6， 短半轴长是短半轴长是 2 的椭圆的椭圆(4 分分) (2)当当 t 2时 时，P(4，4)，(5 分分) 设设 Q(6cos ，2sin )， 则则 M(23cos ，2sin )，(6 分分) C3为直线为直线 x 3y(82 3)0，(7 分分) M 到到 C3的距离的距离 d |（23cos ） 3（
10、2sin ）（）（82 3）| 2 (8 分分) |3cos 3sin 6| 2 2 3cos 6 6 2 3 3cos 6 ，(9 分分) 从而当从而当 cos 6 1 时时， d 取得最小值取得最小值 3 3.(10 分分) 归纳升华归纳升华 利用椭圆的参数方程可以解决与椭圆上的点有关的利用椭圆的参数方程可以解决与椭圆上的点有关的 最值问题最值问题，其思想是转化为三角函数的最值问题当点其思想是转化为三角函数的最值问题当点 P 在椭圆在椭圆x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)上时上时， 可设其坐标为可设其坐标为(acos ， bsin )，当点当点 P 在椭圆在椭圆y 2 a2 x 2
11、b2 1(ab0)上时上时，可设其坐标为可设其坐标为 (bcos ，asin )，其中其中 0，2) 变式训练变式训练 设点设点 P 在椭圆在椭圆 x2 16 y 2 9 1 上上，求点求点 P 到到 直线直线 3x4y24 的最大距离和最小距的最大距离和最小距离离 解：解：设设 P(4cos ，3sin )， 则则 d |12cos 12sin 24| 5 即即 d 12 2cos 4 24 5 ， 当当 cos 4 1 时时，dmax12 5 (2 2)； 当当 cos 4 1 时时，dmin12 5 (2 2) 1对对普通方程为普通方程为x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)(焦点在焦点在 x 轴上轴上)的的 椭圆椭圆， 在解题时可利用其参数方程在解题时可利用其参数方程 x acos ， ybsin ( 为参数为参数) 来寻求解决方来寻求解决方案案 2可可利用椭圆的参数方程来解决最值、轨迹等方面利用椭圆的参数方程来解决最值、轨迹等方面 的问的问题题 3解解题时题时，要针对的不同情况合理选择椭圆的方程要针对的不同情况合理选择椭圆的方程 形式形式.
