1、第四讲 用数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法 【自主预习自主预习】 1.1.数学归纳法的定义数学归纳法的定义 一般地一般地, ,当要证明一个命题对于不小于某正整数当要证明一个命题对于不小于某正整数n n0 0的的 所有正整数所有正整数n n都成立时都成立时, ,可以用以下两个步骤可以用以下两个步骤: : (1)(1)证明当证明当_时命题成立时命题成立. . n=nn=n0 0 (2)(2)假设当假设当_时命题成立时命题成立, ,证明证明_ 时命题也成立时命题也成立. . 在完成了这两个步骤后在完成了这两个步骤后, ,就可以断定命题对于不小于就可以断定命题对于不小于n n0 0 的所有正整数都
2、成立的所有正整数都成立, ,这种证明方法称为数学归纳法这种证明方法称为数学归纳法. . n=k(kNn=k(kN+ +, ,且且knkn0 0) ) n=k+1n=k+1 2.2.数学归纳法的步骤数学归纳法的步骤 【即时小测即时小测】 1.1.下列四个判断中下列四个判断中, ,正确的是正确的是 ( ( ) ) A.A.式子式子1+k+k1+k+k2 2+ +k+kn n(nN(nN* *) )当当n=1n=1时为时为1 1 B.B.式子式子1+k+k1+k+k2 2+ +k+kn n- -1 1(nN(nN* *) )当当n=1n=1时为时为1+k1+k C.C.式子式子 (nN(nN* *)
3、 )当当n=1n=1时为时为 D.D.设设f(n)= (nNf(n)= (nN* *),),则则f(k+1)=f(k+1)= 111 122n 1 11 1 23 111 n 1n23n 1 111 f k 3k23k33k4 【解析解析】选选C.A.C.A.式子式子1+k+k1+k+k2 2+ +k+kn n(nN(nN* *) )当当n=1n=1时应为时应为 1+k,1+k,故故A A不正确不正确;B.;B.式子式子1+k+k1+k+k2 2+ +k+kn n- -1 1(nN(nN* *) )当当n=1n=1时时 应为应为1,1,故故B B不正确不正确;C.;C.式子式子 (nN(nN*
4、 *) ) 当当n=1n=1时为时为 正确正确; ; D.D.设设f(n)= (nNf(n)= (nN* *),),则则f(k+1)=f(k+1)= 故故D D不正确不正确. . 1111 1232n 1 11 1 23 ， 111 n 1n23n 1 1111 f k 3k23k33k4k 1 ， 2.2.用数学归纳法证明“用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)(n+1)(n+2)(n+n)(n+n) =2=2n n1313(2n(2n- -1)”,1)”,当“当“n n从从k k到到k+1”k+1”左端需左端需 增乘的代数式为增乘的代数式为( ( ) ) A.2k+1A.2k+1 B.2(
5、2k+1)B.2(2k+1) 2k 12k3 C. D. k 1k 1 【解析解析】选选B.B.当当n=kn=k时时, ,左端左端=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+2)(k+3)(2k),(2k), 当当n=k+1n=k+1时时, ,左端左端=(k+2)(k+3)=(k+2)(k+3)(2k)(2k+1)(2k+2),(2k)(2k+1)(2k+2), 故当故当“n n从从k k到到k+1k+1”左端需增乘的代数式为左端需增乘的代数式为 =2(2k+1).=2(2k+1). 2k 1 2k2 k 1 【知识探究知识探究】 探究点探究点 数学归纳法数学归纳法 1.1.数学归纳法的
6、第一步数学归纳法的第一步n n的初始值是否一定为的初始值是否一定为1?1? 提示提示: :不一定不一定. . 2.2.在用数学归纳法证明数学命题时在用数学归纳法证明数学命题时, ,只有第一步或只有只有第一步或只有 第二步可以吗第二步可以吗? ?为什么为什么? ? 提示提示: :不可以不可以. .这两个步骤缺一不可这两个步骤缺一不可, ,只完成步骤而缺只完成步骤而缺 少步骤少步骤, ,就作出判断可能得出不正确的结论就作出判断可能得出不正确的结论. .因为单因为单 靠步骤靠步骤, ,无法递推下去无法递推下去, ,即即n n取取n n0 0以后的数时命题是否以后的数时命题是否 正确正确, ,我们无法
7、判定我们无法判定. .同样同样, ,只有步骤而缺少步骤时只有步骤而缺少步骤时, , 也可能得出不正确的结论也可能得出不正确的结论, ,缺少步骤这个基础缺少步骤这个基础, ,假设假设 就失去了成立的前提就失去了成立的前提, ,步骤也就没有意义了步骤也就没有意义了. . 【归纳总结归纳总结】 1.1.数学归纳法的适用范围数学归纳法的适用范围 数学归纳法可以证明与正整数有关的命题数学归纳法可以证明与正整数有关的命题, ,但是但是, ,并不并不 能简单地说所有涉及正整数能简单地说所有涉及正整数n n的命题都可以用数学归纳的命题都可以用数学归纳 法证明法证明. . 2.2.数学归纳法中两步的作用数学归纳
8、法中两步的作用 在数学归纳法中第一步“验证在数学归纳法中第一步“验证n=nn=n0 0时命题成立”是奠时命题成立”是奠 基基, ,是推理证明的基础是推理证明的基础, ,第二步是假设与递推第二步是假设与递推, ,保证了推保证了推 理的延续性理的延续性. . 3.3.运用数学归纳法的关键运用数学归纳法的关键 运用归纳假设是关键运用归纳假设是关键, ,在使用归纳假设时在使用归纳假设时, ,应分析应分析p(k)p(k) 与与p(k+1)p(k+1)的差异与联系的差异与联系, ,利用拆、添、并、放、缩等手利用拆、添、并、放、缩等手 段段, ,或从归纳假设出发或从归纳假设出发, ,从从p(k+1)p(k+
9、1)中分离出中分离出p(k)p(k)再进行再进行 局部调整局部调整. . 类型一类型一 利用数学归纳法证明恒等式利用数学归纳法证明恒等式 【典例典例】已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=1,a=1,an n=3=3n n- -1 1+a+an n- -1 1 (n2,nN(n2,nN+ +) ) (1)(1)求求a a2 2,a,a3 3. . (2)(2)求证求证:a:an n= = n 31. 2 【解题探究解题探究】本例中当本例中当n=k+1n=k+1时时,a,ak+1 k+1与 与a ak k的关系式是什的关系式是什 么么? ? 提示提示: :由由a an n=3=3n
10、n- -1 1+a+an n- -1 1可知可知a ak+1 k+1=3 =3k k+a+ak k. . 【解析解析】(1)(1)由由a a1 1=1,=1,得得a a2 2=3+1=4,a=3+1=4,a3 3=3=32 2+4=13.+4=13. (2)(2)用数学归纳法证明用数学归纳法证明: : 当当n=1n=1时时,a,a1 1=1= ,=1= ,所以命题成立所以命题成立. . 假设假设n=k(kNn=k(kN+ +,k1),k1)时命题成立时命题成立, ,即即a ak k= ,= , 那么当那么当n=k+1n=k+1时时, , a ak+1 k+1=a =ak k+3+3k k= =
11、 1 31 2 k 31 2 kkkk 1 k 3131 2 331 3. 222 即即n=k+1n=k+1时时, ,命题也成立命题也成立. . 由知命题对由知命题对nNnN+ +都成立都成立. . 【方法技巧方法技巧】利用数学归纳法证明恒等式的注意点利用数学归纳法证明恒等式的注意点 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点: :一是要一是要 准确表达准确表达n=nn=n0 0时命题的形式时命题的形式, ,二是要准确把握由二是要准确把握由n=kn=k到到 n=k+1n=k+1时时, ,命题结构的变化特点命题结构的变化特点. .并且一定要记住并且一定要记住
12、: :在证在证 明明n=k+1n=k+1成立时成立时, ,必须使用归纳假设必须使用归纳假设. . 【变式训练变式训练】1.1.用数学归纳法证明“用数学归纳法证明“1+a+a1+a+a2 2+ +a+an+1 n+1 = a1,nN= a1,nN* *”,”,在验证在验证n=1n=1成立时成立时, ,左边计算左边计算 所得项是所得项是 ( ( ) ) A.1A.1 B.1+aB.1+a C.1+a+aC.1+a+a2 2 D.1+a+aD.1+a+a2 2+a+a3 3 【解析解析】选选C.C.因为因为n=1n=1时时,n+1=2,n+1=2,所以左边计算所得所以左边计算所得 项是项是1+a+a
13、1+a+a2 2 n 2 1 a 1 a ， 2.2.看下面的证明是否正确看下面的证明是否正确, ,如果不正确如果不正确, ,指出错误的原指出错误的原 因因, ,并加以改正并加以改正. . 用数学归纳法证明用数学归纳法证明: : 1 1- -2+42+4- -8+8+(+(- -1)1)n n- -1 122n n- -1 1=(=(- -1)1)n n- -1 1 证明证明:(1):(1)当当n=1n=1时时, ,左边左边=1,=1,右边右边= =1,= =1,等式成立等式成立. . n 21 . 33 21 33 (2)(2)假设假设n=kn=k时时, ,等式成立等式成立, ,即即1 1-
14、 -2+42+4- -8+8+(+(- -1)1)k k- -1 12 2k k- -1 1 =(=(- -1)1)k k- -1 1 则当则当n=k+1n=k+1时时, ,有有 1 1- -2+42+4- -8+8+(+(- -1)1)k k- -1 122k k- -1 1+(+(- -1)1)k k22k k k 21 . 33 k 1k 1 k 1k 1 k 1k 122 11221 11. 12333333 这就是说这就是说, ,当当n=k+1n=k+1时时, ,等式也成立等式也成立. . 由由(1)(1)与与(2)(2)知知, ,对任意对任意nNnN+ +等式成立等式成立. . 【
15、解析解析】从上面的证明过程可以看出从上面的证明过程可以看出, ,是用数学归纳法是用数学归纳法 证明等式成立证明等式成立. .在第二步中在第二步中, ,证证n=k+1n=k+1时没有用上假设时没有用上假设, , 而是直接利用等比数列的求和公式而是直接利用等比数列的求和公式, ,这是错误的这是错误的. .第二第二 步正确证法应为步正确证法应为: : 当当n=k+1n=k+1时时,1,1- -2+42+4- -8+8+(+(- -1)1)k k- -1 12 2k k- -1 1+(+(- -1)1)k k2 2k k =(=(- -1)1)k k- -1 1 +(+(- -1)1)k k2 2k
16、k = =- -( (- -1)1)k k +(+(- -1)1)k k2 2k k+ + = = 即当即当n=k+1n=k+1时时, ,等式也成立等式也成立. . k 21 33 k 2 3 1 3 k 1 kk k 1121 (1)121. 3333 类型二类型二 利用数学归纳法证明整除问题利用数学归纳法证明整除问题 【典例典例】设设xNxN+ +,nN,nN+ +, ,求证求证:x:xn+2 n+2+(x+1) +(x+1)2n+1 2n+1能被 能被 x x2 2+x+1+x+1整除整除. . 【解题探究解题探究】证明一个与证明一个与n n有关的式子有关的式子f(n)f(n)能被另一个
17、能被另一个 数数m(m(或一个代数式或一个代数式g(m)g(m)整除的关键是什么整除的关键是什么? ? 提示提示: :关键是找到关键是找到f(k+1)f(k+1)与与f(k)f(k)的关系的关系, ,设法找到被除设法找到被除 式中分解出的式中分解出的(x(x2 2+x+1).+x+1). 【证明证明】(1)(1)当当n=1n=1时时,x,x3 3+(x+1)+(x+1)3 3=x+(x+1)=x+(x+1)xx2 2- - x(x+1)+(x+1)x(x+1)+(x+1)2 2=(2x+1)(x=(2x+1)(x2 2+x+1),+x+1),结论成立结论成立. . (2)(2)假设假设n=kn
18、=k时时, ,结论成立结论成立, ,即即 x xk+2 k+2+(x+1) +(x+1)2k+1 2k+1能被 能被x x2 2+x+1+x+1整除整除, , 那么当那么当n=k+1n=k+1时时, , x x(k+1)+2 (k+1)+2+(x+1) +(x+1)2(k+1)+1 2(k+1)+1=x =xx xk+2 k+2+(x+1) +(x+1)2 2(x+1)(x+1)2k+1 2k+1 =xx=xxk+2 k+2+(x+1) +(x+1)2k+1 2k+1+(x+1) +(x+1)2 2(x+1)(x+1)2k+1 2k+1- -x(x+1) x(x+1)2k+1 2k+1 =xx
19、=xxk+2 k+2+(x+1) +(x+1)2k+1 2k+1+(x +(x2 2+x+1)(x+1)+x+1)(x+1)2k+1 2k+1. . 由假设知由假设知,x,xk+2 k+2+(x+1) +(x+1)2k+1 2k+1及 及x x2 2+x+1+x+1均能被均能被x x2 2+x+1+x+1整除整除, ,故故 x x(k+1)+2 (k+1)+2+(x+1) +(x+1)2(k+1)+1 2(k+1)+1能被 能被x x2 2+x+1+x+1整除整除, ,即即n=k+1n=k+1时时, ,结论结论 也成立也成立. . 由由(1)(2)(1)(2)知知, ,原结论成立原结论成立.
20、. 【延伸探究延伸探究】 1.1.若将本例中的代数式若将本例中的代数式x xn+2 n+2+(x+1) +(x+1)2n+1 2n+1和 和x x2 2+x+1+x+1分别改分别改 为为4 42n+1 2n+1+3 +3n+2 n+2和 和13,13,如何证明如何证明? ? 【证明证明】(1)(1)当当n=1n=1时时,4,42 2 1+11+1+3 +31+2 1+2=91 =91能被能被1313整除整除. . (2)(2)假设当假设当n=kn=k时时,4,42k+1 2k+1+3 +3k+2 k+2能被 能被1313整除整除, ,则当则当n=k+1n=k+1时时, , 4 42(k+1)+
21、1 2(k+1)+1+3 +3k+3 k+3=4 =42k+1 2k+1 4 42 2+3+3k+2 k+2 3 3- -4 42k+1 2k+1 3+43+42k+1 2k+1 3 3 =4=42k+1 2k+1 13+313+3(4(42k+1 2k+1+3 +3k+2 k+2) ) 因为因为4 42k+1 2k+1 1313能被能被1313整除整除,4,42k+1 2k+1+3 +3k+2 k+2能被 能被1313整除整除, , 所以当所以当n=k+1n=k+1时结论也成立时结论也成立. . 由由(1)(2)(1)(2)知知, ,当当nNnN* *时时,4,42n+1 2n+1+3 +3
22、n+2 n+2能被 能被1313整除整除. . 2.2.若把本例改为求证若把本例改为求证: :两个连续正整数的积能被两个连续正整数的积能被2 2整除整除. . 【证明证明】设设nNnN+ +, ,则要证明则要证明n(n+1)n(n+1)能被能被2 2整除整除. . (1)(1)当当n=1n=1时时,1,1(1+1)=2,(1+1)=2,能被能被2 2整除整除, ,即命题成立即命题成立. . (2)(2)假设假设n=k(k1,kNn=k(k1,kN+ +) )时时, ,命题成立命题成立, ,即即k k(k+1)(k+1)能能 被被2 2整除整除. . 那么当那么当n=k+1n=k+1 时时,(k
23、+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1),(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1), 由归纳假设知由归纳假设知k(k+1)k(k+1)及及2(k+1)2(k+1)都能被都能被2 2整除整除. . 所以所以(k+1)(k+2)(k+1)(k+2)能被能被2 2整除整除. .故故n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立. . 由由(1)(2)(1)(2)可知可知, ,命题对一切命题对一切nNnN+ +都成立都成立. . 【方法技巧方法技巧】用数学归纳法证明整除问题的关键点用数学归纳法证明整除问题的关键点 (1)(1)用数学归纳法证
24、明整除问题的关键是利用增项、减用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减 项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假项、拆项、并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假 设、凑结论设、凑结论, ,从而利用归纳假设使问题获证从而利用归纳假设使问题获证. . (2)(2)与与n n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明有关的整除问题一般都用数学归纳法证明, ,其中其中 关键问题是从关键问题是从n=k+1n=k+1时的表达式中分解出时的表达式中分解出n=kn=k时的表达时的表达 式与一个含除式的因式或几个含除式的因式式与一个含除式的因式或几个含除式的因式. . 【变式训练变式训练】 1.1.用数学归纳
25、法证明“用数学归纳法证明“nNnN* *,n(n+1)(2n+1),n(n+1)(2n+1)能被能被6 6整除”整除” 时时, ,某同学证法如下某同学证法如下: : (1)n=1(1)n=1时时1 12 23=63=6能被能被6 6整除整除, , 所以所以n=1n=1时命题成立时命题成立. . (2)(2)假设假设n=kn=k时成立时成立, ,即即k(k+1)(2k+1)k(k+1)(2k+1)能被能被6 6整除整除, ,那么那么 n=k+1n=k+1时时, , (k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)(k+2)k+(k+3)(k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)(k+2)k+(k+
26、3) =k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3).=k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3). 因为因为k,k+1,k+2k,k+1,k+2和和k+1,k+2,k+3k+1,k+2,k+3分别是三个连续自然数分别是三个连续自然数. . 所以其积能被所以其积能被6 6整除整除. .故故n=k+1n=k+1时命题成立时命题成立. . 综合综合(1),(2),(1),(2),对一切对一切nNnN* *,n(n+1)(2n+1),n(n+1)(2n+1)能被能被6 6整除整除. . 这种证明不是数学归纳法这种证明不是数学归纳法, ,主要原因是主要原因是_._. 【解析解析】
27、由证明过程知由证明过程知, ,在证明当在证明当n=k+1n=k+1命题成立的过命题成立的过 程中程中, ,没有应用归纳假设没有应用归纳假设, ,故不是数学归纳法故不是数学归纳法. . 答案答案: :在证明当在证明当n=k+1n=k+1命题成立的过程中没有应用归纳命题成立的过程中没有应用归纳 假设假设 2.2.证明证明:6:62n 2n- -1 1+1 +1能被能被7 7整除整除(nN(nN+ +).). 【证明证明】(1)(1)当当n=1n=1时时,6,62 2- -1 1+1=7+1=7能被能被7 7整除整除. . (2)(2)假设当假设当n=k(kNn=k(kN+ +) )时时,6,62k
28、 2k- -1 1+1 +1能被能被7 7整除整除. . 那么当那么当n=k+1n=k+1时时,6,62(k+1) 2(k+1)- -1 1+1=6 +1=62k 2k- -1+21+2+1 +1 =36(6=36(62k 2k- -1 1+1) +1)- -35.35. 因为因为6 62k 2k- -1 1+1 +1能被能被7 7整除整除,35,35也能被也能被7 7整除整除, , 所以当所以当n=k+1n=k+1时时,6,62(k+1) 2(k+1)- -1 1+1 +1能被能被7 7整除整除. . 由由(1),(2)(1),(2)知命题成立知命题成立. . 类型三类型三 用数学归纳法证明
29、几何问题用数学归纳法证明几何问题 【典例典例】平面上有平面上有n(nNn(nN+ +,n2),n2)条直线条直线, ,其中任意其中任意 两条直线不平行两条直线不平行, ,任意三条直线不过同一点任意三条直线不过同一点, , 求证求证: :这这n n条直线共有条直线共有f(n)= f(n)= 个交点个交点. . n(n 1) 2 【解题探究解题探究】本例中的初始值应该验证哪个值本例中的初始值应该验证哪个值? ? 提示提示: :题中的初始值验证应该结合题目中的题中的初始值验证应该结合题目中的n n2,2,所以所以 需要验证需要验证n=2.n=2. 【证明证明】(1)(1)当当n=2n=2时时, ,两
30、条不平行的直线共有两条不平行的直线共有1 1个交点个交点, , 而而f(2)= =1,f(2)= =1,所以命题成立所以命题成立. . (2)(2)假设当假设当n=k(k2,n=k(k2,且且kNkN+ +) )时命题成立时命题成立, ,就是该平就是该平 面内满足题设的任何面内满足题设的任何k k条直线的交点个数为条直线的交点个数为f(k)=f(k)= k(kk(k- -1),1),则当则当n=k+1n=k+1时时, ,任取其中一条直线记为任取其中一条直线记为l, , 2 2 1 2 1 2 如图如图, ,剩下的剩下的k k条直线为条直线为l1 1, ,l2 2, , ,lk k. . 由归纳
31、假设知由归纳假设知, ,它们之间的交点个数为它们之间的交点个数为f(k)= .f(k)= . k(k 1) 2 由于由于l与这与这k k条直线均相交且任意三条不过同一点条直线均相交且任意三条不过同一点, , 所以直线所以直线l与与l1 1, ,l2 2, ,l3 3, , ,lk k的交点共有的交点共有k k个个. . 所以所以f(k+1)=f(k)+k= f(k+1)=f(k)+k= 所以当所以当n=k+1n=k+1时命题成立时命题成立. . 由由(1)(2)(1)(2)可知可知, ,命题对一切命题对一切nNnN+ +且且n2n2都成立都成立. . 2 k k 1 kk k 22 k k 1
32、k 1k 11 . 22 【延伸探究延伸探究】本例中若把条件“本例中若把条件“n2”n2”删掉删掉, ,其余不变其余不变, , 你能证明这你能证明这n n条直线把平面分成条直线把平面分成f(n)= f(n)= 个部分吗个部分吗? ? 2 nn2 2 【证明证明】(1)(1)当当n=1n=1时时, ,一条直线把平面分成两部分一条直线把平面分成两部分, , 而而f(1)= =2,f(1)= =2,所以命题成立所以命题成立. . (2)(2)假设当假设当n=k(k1)n=k(k1)时命题成立时命题成立, ,即即k k条直线把平面条直线把平面 分成分成 f(k)= f(k)= 个部分个部分. . 2
33、11 2 2 2 kk2 2 则当则当n=k+1n=k+1时时, ,即增加一条直线即增加一条直线l, ,因为任何两条直线都因为任何两条直线都 相交相交, ,所以所以l与与k k条直线都相交条直线都相交, ,有有k k个交点个交点; ;又因为任何又因为任何 三条直线不共点三条直线不共点, ,所以这所以这k k个交点不同于个交点不同于k k条直线的交点条直线的交点, , 且且k k个交点也互不相同个交点也互不相同, ,如此如此k k个交点把直线个交点把直线l分成分成(k+1)(k+1) 段段, ,每一段把它所在的平面区域分成两部分每一段把它所在的平面区域分成两部分, ,故新增加故新增加 了了(k+
34、1)(k+1)个部分个部分. . 因为因为f(k+1)=f(k)+k+1= +k+1f(k+1)=f(k)+k+1= +k+1 = = ,= = , 所以当所以当n=k+1n=k+1时时, ,命题成立命题成立. . 由由(1)(2)(1)(2)可知可知, ,当当nNnN+ +时时, ,命题成立命题成立. . 2 kk2 2 2 kk22k2 2 2 (k 1)(k 1)2 2 【方法技巧方法技巧】利用数学归纳法证明几何问题的技巧利用数学归纳法证明几何问题的技巧 (1)(1)几何问题常常是先探索出满足条件的公式几何问题常常是先探索出满足条件的公式, ,然后加然后加 以证明以证明, ,探索的方法是
35、由特殊探索的方法是由特殊n=1,2,3,n=1,2,3, ,猜出一般结猜出一般结 论论. . (2)(2)数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚n=kn=k 与与n=k+1n=k+1时二者的差异时二者的差异, ,这时常常借助于图形的直观性这时常常借助于图形的直观性, , 然后用数学式子予以描述然后用数学式子予以描述, ,建立起建立起f(k)f(k)与与f(k+1)f(k+1)之间的之间的 递推关系递推关系, ,实在分析不出的情况下实在分析不出的情况下, ,将将n=k+1n=k+1和和n=kn=k分别分别 代入所证的式子代入所证的式子, ,然后作差然后作
36、差, ,即可求出增加量即可求出增加量, ,然后只需然后只需 稍加说明即可稍加说明即可. . (3)(3)利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合 寻找公式寻找公式, ,还要注意结论要有必要的文字说明还要注意结论要有必要的文字说明. . 【变式训练变式训练】1.1.记凸记凸k k边形的内角和为边形的内角和为f(k),f(k),则凸则凸k+1k+1 边形的内角和边形的内角和f(k+1)=f(k)+f(k+1)=f(k)+ ( ( ) ) A. A. B.B. C.2C.2 D. D. 【解析解析】选选B.B.由由n=3n=3到到n=4n=4知内角和增
37、加知内角和增加 . . 2 3 2 2.2.已知已知n n个圆中每两个圆相交于两点个圆中每两个圆相交于两点, ,且无三圆过同一且无三圆过同一 点点, ,用数学归纳法证明这用数学归纳法证明这n n个圆把平面分成个圆把平面分成n n2 2- -n+2n+2部分部分. . 【证明证明】(1)(1)当当n=1n=1时时,1,1个圆把平面分成两部分个圆把平面分成两部分, ,而而 2=12=12 2- -1+2,1+2,所以当所以当n=1n=1时时, ,命题成立命题成立. . (2)(2)假设假设n=kn=k时时, ,命题成立命题成立, ,即即k k个圆把平面分成个圆把平面分成k k2 2- -k+2k+
38、2部部 分分. . 当当n=k+1n=k+1时时, ,平面上增加第平面上增加第k+1k+1个圆个圆, ,它与原来的它与原来的k k个圆中个圆中 的每个圆都相交于两个不同点的每个圆都相交于两个不同点, ,共共2k2k个交点个交点, ,而这而这2k2k个个 交点把第交点把第k+1k+1个圆分成个圆分成2k2k段弧段弧, ,每段弧把原来的区域隔每段弧把原来的区域隔 成了两块区域成了两块区域, ,所以区域的块数增加了所以区域的块数增加了2k2k块块. . 所以所以k+1k+1个圆把平面划分的块数为个圆把平面划分的块数为 (k(k2 2- -k+2)+2k=kk+2)+2k=k2 2+k+2=(k+1)
39、+k+2=(k+1)2 2- -(k+1)+2,(k+1)+2, 所以当所以当n=k+1n=k+1时时, ,命题也成立命题也成立. . 根据根据(1)(2)(1)(2)知知, ,命题对命题对nNnN+ +都成立都成立. . 自我纠错自我纠错 恒等式项数问题恒等式项数问题 【典例典例】设设f(n)=1+ + +f(n)=1+ + + (nN+ (nN+ +),), 求求f(n+1)f(n+1)- -f(n)f(n)的表达式的表达式. . 1 2 1 3 1 3n 1 【失误案例失误案例】 分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出正确答案并写出正确答案. . 提示提示:
40、:错误的根本原因是利用数学归纳法处理问题时错误的根本原因是利用数学归纳法处理问题时, , 弄错项数而致误弄错项数而致误. .实际上在取第实际上在取第n+1n+1项时项时,f(n+1),f(n+1)比比f(n)f(n) 应增加了三项应增加了三项: + + .: + + . 1 3n 1 3n 1 1 3n2 【解析解析】因为因为f(n)=1+ + +f(n)=1+ + + ,+ , 所以所以f(n+1)=1+ + +f(n+1)=1+ + + + + + ,+ + + + , 所以所以f(n+1)f(n+1)- -f(n)= + + .f(n)= + + . 1 2 1 3 1 3n 1 1 2 1 3 1 3n 1 1 3n 1 3n 1 1 3n2 1 3n 1 3n 1 1 3n2
