1、第二讲第二讲 参数方程参数方程 一、一、 曲线的参数方程曲线的参数方程 第第 1 课时课时 参数方程的概参数方程的概 念、 参数方程与普通方程的念、 参数方程与普通方程的 互化互化 学习目标学习目标 1.通过分析抛射体运动中时间与物体位通过分析抛射体运动中时间与物体位 置置的关系的关系， 了解其参数方程了解其参数方程， 体会参数的意义体会参数的意义(难点难点) 2. 了解一般曲线的参数方程的含义了解一般曲线的参数方程的含义(难点难点) 3.掌握参数方掌握参数方 程和普通方程的互化程和普通方程的互化(重点重点) 知识提炼知识提炼 梳理梳理 1参数方程的概念参数方程的概念 (1)概念：在平面直角坐
2、标系中概念：在平面直角坐标系中，如果曲线如果曲线 C 上任意上任意 一点一点M的坐标的坐标(x， y)都是某个都是某个变数变数t的函数的函数 x f（t）， yg（t），并 并 且对于且对于 t 的每一个允许值的每一个允许值，由方程组由方程组 x f（t）， yg（t） 所确定的点所确定的点 M(x，y)都在都在这条曲线这条曲线上上，那么方程那么方程 x f（t）， yg（t） 就叫作这条曲线的参数方程就叫作这条曲线的参数方程，联系变数联系变数 x，y 的变数的变数 t 叫作参变数叫作参变数，简称参简称参数相数相对于参数方程而言对于参数方程而言， 直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方直接给出
3、点的坐标间关系的方程叫作普通方程程 (2)参数的意义：参数方程中的参数是联系变数参数的意义：参数方程中的参数是联系变数 x，y 的桥梁的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也也 可以是没有明显实际意义的变可以是没有明显实际意义的变数同数同一曲一曲线选取的参数线选取的参数 不同不同，曲线的参数方曲线的参数方程形式也不一程形式也不一样形样形式不同的参数式不同的参数 方程方程，它们表示的曲线却可以是相同它们表示的曲线却可以是相同的的 (3)参数方程的意义：参数方程借助中间变量把曲线参数方程的意义：参数方程借助中间变量把曲线 上的动点的两个坐标间接地联系起来
4、上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与普通参数方程与普通 方程方程同等同等地描述了曲线地描述了曲线，参数方程实际上是一个方程组参数方程实际上是一个方程组， 其中其中 x，y 分别为曲线上点的横坐标和纵坐分别为曲线上点的横坐标和纵坐标标 温馨提示温馨提示 曲线上任一点与满足参数方程的有序曲线上任一点与满足参数方程的有序 数对数对(x，y)是一一对应关系是一一对应关系在表达参数方程时在表达参数方程时，必须必须 指明参数的取值范围指明参数的取值范围，参数的取值参数的取值范围不同范围不同，所表示的曲，所表示的曲 线可能不同线可能不同 2参数方程的求法参数方程的求法 首先首先，建立直角坐标系建立直
5、角坐标系，设曲线上任意一点设曲线上任意一点 P 的坐的坐 标为标为(x，y)；其次；其次，选取适选取适当的参数；再次当的参数；再次，根据已知条根据已知条 件和图形的几何意义或物理意义件和图形的几何意义或物理意义，建立点建立点 P 的坐标与参的坐标与参 数的函数式；最后数的函数式；最后，证明这个参数方程就是所求的曲线证明这个参数方程就是所求的曲线 的方的方程程 3参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化 (1)参数方程化普通方程：参数方程通过参数方程化普通方程：参数方程通过消去参数消去参数得得 到普通方程到普通方程 (2)普通方程化参数普通方程化参数方程：首先确定变数方程：首先确定变数
6、x，y 中的一中的一 个与参数个与参数 t 的关系的关系，例如例如 xf(t)，其次将其次将 xf(t)代入普通代入普通 方程解出方程解出 yg(t)，则则_就是曲线的参数方程就是曲线的参数方程 x f（t）， yg（t） 温馨提示温馨提示 在互化的过程中在互化的过程中，必须使必须使 x，y 的取值的取值范范 围保持一致围保持一致 思考尝试思考尝试 夯基夯基 1思思考判断考判断(正确的打正确的打“”，错误的打错误的打“”“”) (1)方程方程 x2 t2， y2t1可以看作参数方 可以看作参数方程程( ) (2)方程方程 x t1， y0 可以看作参数方可以看作参数方程程( ) (3)参数方程
7、参数方程 x 2t， yt (t为参数为参数)化为普通方程为化为普通方程为x2y 0.( ) (4)若若 y2t(t 为参数为参数)，则抛物线则抛物线 y24x 的参数方程的参数方程 为为 x t2， y2t (t 为参数为参数)( ) 解析：解析：(1)x2t2不能把不能把 x 表示成参数表示成参数 t 的函数的函数，不是不是 参数方程参数方程 (2)可以作为可以作为 x 轴的参数方程轴的参数方程 (3)消去参数消去参数 t 易得易得 x2y0. (4)由由 y24x 得得 x1 4y 2 1 4(2t) 2 t2. 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2下下列方列方程中可以看作参数
8、方程的是程中可以看作参数方程的是( ) Axyt0 Bx2y22ax90 C. x2 t2， y2t1 D. x sin ， ycos 解析：解析：对于对于 A：虽然含有参数：虽然含有参数 t，但它表示的是直线但它表示的是直线 系方程系方程，直接给出了直接给出了 x，y 之间的关系之间的关系，是普通方程；对是普通方程；对 于于 B： 虽然虽然含有参数含有参数 a，但它表示的图象方程也是普通方但它表示的图象方程也是普通方 程；对于程；对于 C：x2t2不能把不能把 x 表示成参数表示成参数 t 的函数的函数，也不也不 是参数方程是参数方程，只有只有 D 选项满足参数方程的定义选项满足参数方程的定
9、义 答案：答案：D 3参参数方程数方程 x cos2， ysin2 ( 为参数为参数)表示的曲线是表示的曲线是 ( ) A直直线线 B圆圆 C线线段段 D射射线线 解析：解析：xcos2 0，1，ysin2 0，1， 所以所以 xy1(x，y 0，1)为线段为线段 答案：答案：C 4点点 M(2，y0)在曲线在曲线 C： x 2t， yt21(t 为参数 为参数)上上，则则 y0_. 解析：解析：将将 M(2，y0)代入参数方程得代入参数方程得 2 2t， y0t21， 解得解得 t 1， y00. 答案：答案：0 5设设 x2cos ( 为参数为参数)，则椭圆则椭圆x 2 4 y21 的参数
10、方的参数方 程为程为_ 解析：解析：将将 x2cos 代入代入x 2 4 y21 得得 cos2y21， 所以所以 y2sin2.所以所以 y sin ，不妨取不妨取 ysin ， 则椭圆则椭圆x 2 4 y21 的参数方程为的参数方程为 x 2cos ， ysin ( 为参数为参数) 答答案：案： x 2cos ， ysin ( 为参数为参数) 答案不唯一答案不唯一，也可以也可以 是是 x 2cos ， ysin ( 为参数为参数) ) 类型类型 1 参数方程的概参数方程的概念念 典典例例 1 已知曲线已知曲线 C 的参数方程为的参数方程为 x t21， y2t (t 为为 参数参数) (1
11、)判断点判断点 A(1，0)，B(5，4)，E(3，2)与曲线与曲线 C 的位的位 置关系；置关系； (2)若点若点 F(10，a)在曲线在曲线 C 上上，求实数求实数 a 的的值值 解：解：(1)把点把点 A(1，0)的坐标代入方程组的坐标代入方程组，解得解得 t0， 所以点所以点 A(1，0)在曲线上在曲线上 把点把点 B(5，4)的坐标代入方程组的坐标代入方程组，解得解得 t2， 所所以点以点 B(5，4)也在曲线上也在曲线上 把点把点 E(3，2)的坐标也代入方程组的坐标也代入方程组， 得到得到 3 t21， 22t， 即即 t 2， t1. 故方程组无解故方程组无解，所以点所以点 E
12、 不在曲线上不在曲线上 (2)因为点因为点 F(10，a)在曲线在曲线 C 上上， 所以所以 10 t21， a2t， 解得解得 t 3， a6 或或 t 3， a6. 所以所以 a 6. 归纳升华归纳升华 1满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与点与 曲线的位置关系有两种：点在曲线上和点不在曲线上曲线的位置关系有两种：点在曲线上和点不在曲线上 2对于曲线对于曲线 C 的参数方程的参数方程 x f（t）， yg（t） (t 为参数为参数)， 若点若点 M(x1，y1)在曲线上在曲线上，则，则 x1 f（t）， y1g（t） 对应的参数对应的参数 t 有解
13、有解，否则参数否则参数 t 不存在不存在 变式训练变式训练 (1)曲线曲线 C： x t， yt2(t 为 为参数参数)与与 y 轴的轴的 交点坐标是交点坐标是_ (2)已知曲线已知曲线 C 的参数方程是的参数方程是 x 2t， y3t21(t 为参数 为参数) 判断点判断点 M1(0，1)和和 M2(4，10)与曲线与曲线 C 的位置关的位置关 系；系； 已知点已知点 M(2，a)在曲线在曲线 C 上上，求求 a 的的值值 (1)解析：解析：令令 x0，即即 t0 得得 y2， 所以曲线所以曲线 C 与与 y 轴交点坐标是轴交点坐标是(0，2) 答案：答案：(0，2) (2)解：解：把点把点
14、 M1(0，1)的坐标代入参数方程的坐标代入参数方程 x 2t， y3t21 得得 0 2t， 13t21， 所以所以 t0. 所以点所以点 M1(0，1)在曲线在曲线 C 上上 把点把点 M2(4，10)的坐标代入参数方程的坐标代入参数方程 x 2t， y3t21 得得 4 2t， 103t21， 方程组无解方程组无解 所以点所以点 M2(4，10)不在曲线不在曲线 C 上上 因为点因为点 M(2，a)在曲线在曲线 C 上上， 所以所以 2 2t， a3t21. 所以所以 t1，a31212.即即 a 的值为的值为 2. 类型类型 2 求曲线的参数方程求曲线的参数方程(自主研析自主研析) 典
15、例典例 2 已知动点已知动点 P、 Q 都在曲线都在曲线 C： x 2cos t， y2sin t (t 为参数为参数)上上，对应参数分别为对应参数分别为 t 与与 t2(02)，M 为为 PQ 的中的中点点 (1)求求 M 的轨迹的参数方程；的轨迹的参数方程； (2)将将 M 到坐标原点的距离到坐标原点的距离 d 表示为表示为 的函数的函数，并判并判 断断 M 的轨迹是否过坐标原的轨迹是否过坐标原点点 解：解：(1)依题意有依题意有 P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，设设 PQ 的中点的中点 M(x，y)，由中点坐标公式得由中点坐标公式得 x 2cos 2cos
16、 2 2 cos cos 2， y 2sin 2sin 2 2 sin sin 2. 因此因此 M(cos cos 2，sin sin 2) 所以所以 M 的轨迹的参数方程为的轨迹的参数方程为 x cos cos 2， ysin sin 2 ( 为参数为参数，02) (2)M 点到坐标原点的距离点到坐标原点的距离 dx2y2 （cos cos 2）2（sin sin 2）2 22（cos cos 2sin sin 2）22cos 2 cos 2 (02) 当当 时时，d0，故故 M 的轨迹过坐标原点的轨迹过坐标原点 归纳升华归纳升华 1求曲线的参数方程主要有两种情形求曲线的参数方程主要有两种情
17、形，一是题设条一是题设条 件中已选定参数件中已选定参数，二是自选参数后者将因二是自选参数后者将因所选参数不同所选参数不同 而求出不同的参数方程而求出不同的参数方程，对于求出的参数方程对于求出的参数方程，都要标注都要标注 参数及其取值范围参数及其取值范围 2求曲线参数方程的步骤：第一步求曲线参数方程的步骤：第一步，建立适当的直建立适当的直 角坐标系角坐标系，设出曲线上任一点设出曲线上任一点 M 的坐标为的坐标为(x，y)，画出草画出草 图；第二步图；第二步，选择适当的参数选择适当的参数，参数的选择要考虑两点：参数的选择要考虑两点： 一是曲线上有一点的坐标一是曲线上有一点的坐标(x，y)与参数的关
18、系比较明显与参数的关系比较明显， 容易列出方程；二是容易列出方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定；第的值可以由参数唯一确定；第 三步三步， 根据已知条件、 图形的几何性质、 问题的物理意义等根据已知条件、 图形的几何性质、 问题的物理意义等， 建立点的坐标与参数的函数关系式建立点的坐标与参数的函数关系式，并化成最简形式；第并化成最简形式；第 四步四步， 证明以化简后的参数方程的解为坐标的点都是曲线证明以化简后的参数方程的解为坐标的点都是曲线 上的点上的点(求解过程中第求解过程中第四步通常省略四步通常省略，但要通过检验但要通过检验， 并准确标注参数及其取值范围并准确标注参数及其取值范围)
19、变式训练变式训练如图所示如图所示，ABP 是等腰是等腰 直角三角形直角三角形，B 是直角是直角，腰长为腰长为 a，顶点顶点 B、A 分别在分别在 x 轴、轴、y 轴上滑动轴上滑动，求点求点 P 在第一象限的轨迹的参数方程在第一象限的轨迹的参数方程 解：解：法一法一 设设 P 点的坐标为点的坐标为(x，y)，过过 P 点作点作 x 轴的轴的 垂线交垂线交 x 轴于轴于 Q.如图所示如图所示， 则则 Rt OAB Rt QBP. 取取 OBt，t 为参数为参数(0ta) 因为因为|OA|a2t2， 所所以以|BQ|a2t2. 所以点所以点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为在第一象限的轨迹的参数方程
20、为 x ta2t2， yt (0ta) 法二法二 设点设点 P 的坐标为的坐标为(x，y)，过点过点 P 作作 x 轴的垂线交轴的垂线交 x 轴于点轴于点 Q，如图所示如图所示 取取QBP， 为参数为参数 0 2 ，则则ABO 2 . 在在 Rt OAB 中中，|OB|acos 2 asin . 在在 Rt QBP 中中，|BQ|acos ，|PQ|asin . 所以点所以点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为在第一象限的轨迹的参数方程为 x a（sin cos ）， yasin 为参数为参数，0 2 . 类型类型 3 参数方程与普通方程的互化参数方程与普通方程的互化 典例典例 3 (1)化下列
21、曲线的参数方程为普化下列曲线的参数方程为普通方程通方程，并并 指出它是什么曲指出它是什么曲线线 x 12 t， y34 t (t 为参数为参数)； x cos sin ， ysin cos ( 为参数为参数) (2)根据所给的条件根据所给的条件，把曲线的普通方程化为参数方把曲线的普通方程化为参数方 程程 y22x，yt(t 为参数为参数)； x2(y1)21，xcos ( 为参数为参数) 解：解：(1)因为因为 x12 t， 所以所以 2 tx1. 因为因为4 t2x2， 所以所以 y34 t32x2. 即即 y2x5(x1)，它表示一条射线它表示一条射线 因为因为 xcos sin 2sin
22、 4 ， 所以所以 x 2， 2 x212sin cos ， 将将 sin cos y 代入代入，得得 x212y. 所以普所以普通方程为通方程为 y1 2x 2 1 2( 2x 2)， 它是抛物它是抛物 线的一部分线的一部分 (2)把把 yt 代入代入 y22x 得得 x1 2t 2， ， 所以所以 x 1 2t 2， ， yt (t 为参数为参数)，这就是所求的参数方程这就是所求的参数方程 把把 xcos 代入代入 x2(y1)21. (y1)2sin2，y1 sin ， 所以所以 y1 sin . 不妨取不妨取 y 1 sin ， 则所求的参数方程为则所求的参数方程为 x cos ， y
23、1sin ( 为参数为参数) 归纳升华归纳升华 1消去参数的方法主要有三种消去参数的方法主要有三种 利用解方程的技巧求出参数的表示式利用解方程的技巧求出参数的表示式， 然后运用代然后运用代 入消元法或加减消元法消去参数入消元法或加减消元法消去参数 利用三角恒等式借助利用三角恒等式借助sin2cos21等等消去参数消去参数 根据参数方程本身的结构特征根据参数方程本身的结构特征， 选用一些灵活的方选用一些灵活的方 法法 )例如借助例如借助 2t 1t2 2 1t2 1t2 2 1， t1 t 2 t1 t 2 4 等等 )从整体上消去参数从整体上消去参数 2将参数方程化为普通方程时将参数方程化为普
24、通方程时，要注要注意防止变量意防止变量 x 和和 y 的取值范围扩大或缩小的取值范围扩大或缩小，必须根据参数的取值范围必须根据参数的取值范围， 确定函数确定函数 f(t)和和 g(t)的值域的值域，即即 x 和和 y 的的取值范围取值范围 3普通方程化为参数方程时普通方程化为参数方程时，选取参数后选取参数后，要特别要特别 注意参数的取值范围注意参数的取值范围， 它将决定参数方程是否与普通方程它将决定参数方程是否与普通方程 等价参数的选取不同等价参数的选取不同，得到的参数方程是不同的得到的参数方程是不同的 变式训练变式训练 (1)化下列曲线的参数方程为普通方程化下列曲线的参数方程为普通方程， 并
25、指出它是什么曲并指出它是什么曲线线 x 22cos ， y32sin ( 为参数为参数)； x ete t， ， y2（ete t） ）(t 为参数 为参数) (2)根据所给条件根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方把曲线的普通方程化为参数方程程 （ （x1）2 3 （ （y2）2 5 1，x 3cos 1( 为参为参 数数)； x2yx10，xt1(t 为参数为参数) 解：解：(1)由方程由方程 x 22cos ， y32sin ， 得得(x2)2(y3)24. 故表示的是以故表示的是以(2，3)为圆心为圆心，半径为半径为 2 的圆的圆 x ete t， ， y 2 ete t x y 2
26、 2et， xy 2 2e t. xy 2 xy 2 4. 因为因为 ete t 2，所以所以 x2. 所以化为普通方程为所以化为普通方程为 xy 2 xy 2 4(x2) 该方程表示的是双曲线该方程表示的是双曲线x 2 4 y2 16 1 的右支的右支 (2)将将 x 3cos 1 代入代入 （x1）2 3 （y2）2 5 1 得得 y2 5sin . 所以所以 x 3cos 1， y 5sin 2 ( 为参数为参数)， 这就是所求的参数方程这就是所求的参数方程 将将 xt1 代入代入 x2yx10 得：得： yx2x1(t1)2t11t23t1 所以所以 x t1， yt23t1 (t 为
27、参数为参数)， 这就是所求的参数方程这就是所求的参数方程 1利利用参数求曲线的轨迹方用参数求曲线的轨迹方程程 (1)利用参数求曲线的轨迹方程的基本步骤是：利用参数求曲线的轨迹方程的基本步骤是：确确 定参数；定参数；求出参数方程；求出参数方程；消参；消参；得到轨迹的普通得到轨迹的普通 方程方程(注意轨迹范围注意轨迹范围) (2)参数的选取应根参数的选取应根据具体条件来考虑据具体条件来考虑，例如可以是例如可以是 时间时间，旋转角旋转角，动直线的斜率、截距动直线的斜率、截距，动点的坐标动点的坐标等等 2将将参数方程化为普通方程时消去参数的常用方参数方程化为普通方程时消去参数的常用方 法法 (1)代入法：先代入法：先由一个方程求出参数的表达式由一个方程求出参数的表达式(用直角用直角 坐标变量表示坐标变量表示)，再代入另一个方再代入另一个方程程 (2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参利用代数或三角函数中的恒等式消去参数数 (3)将参数方程化为普通方程时将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量要注意防止变量 x 和和 y 取值范围的扩大或缩小取值范围的扩大或缩小， 必须根据参数的取值范围确必须根据参数的取值范围确 定参数定参数 f(t)和和 g(t)的值域的值域，即即 x 和和 y 的取值范的取值范围围
