1、第一课 坐 标 系 【网络体系网络体系】 【核心速填核心速填】 1.1.坐标伸缩变换公式坐标伸缩变换公式 设点设点P(x,y)P(x,y)为平面直角坐标系中的任意一点为平面直角坐标系中的任意一点, ,在变换在变换: : _的作用下的作用下, ,点点P(x,y)P(x,y)对应到点对应到点P(x, P(x, y),y),称称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, ,简称简称 伸缩变换伸缩变换. . xx (0) yy (0) ， ， 2.2.极坐标与直角坐标的互化公式极坐标与直角坐标的互化公式 点点M M 直角坐标直角坐标(x,y)(x,y) 极坐标极坐标( (, ,
2、) ) 互化公式互化公式 x_, y_ cos sin 2 _, tan_ 22 xy y (x0) x 3.3.圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式 (a0)(a0) a a 2 2acosacos - -2 2acosacos 2 2asinasin 2 2acos(acos(- -) ) - -2 2asinasin 4.4.直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式 0 a cos a cos a sin a sin a con() 5.5.柱坐标、球坐标与直角坐标的互化公式柱坐标、球坐标与直
3、角坐标的互化公式 设空间一点设空间一点P P的直角坐标为的直角坐标为(x,y,z),(x,y,z),柱坐标为柱坐标为( (, , , z),z),球坐标为球坐标为(r,(r, ,),),则则 空间直角坐标空间直角坐标(x,y,z)(x,y,z) 转换公式转换公式 柱坐标柱坐标 ( (, ,z),z) 球坐标球坐标 (r,(r, ,) ) x_ y_ z_ ， ， cos sin z x_ y_ z_ ， ， rsin cos rsin sin rcos 【易错警示易错警示】 1.1.关于伸缩变换公式的注意事项关于伸缩变换公式的注意事项 (1)(1)伸缩变换不改变点所在的象限伸缩变换不改变点所在
4、的象限, ,坐标轴上的点经过坐标轴上的点经过 伸缩变换仍在坐标轴上伸缩变换仍在坐标轴上. . (2)(2)求曲线经过伸缩变换后的曲线方程求曲线经过伸缩变换后的曲线方程, ,要分清变换前要分清变换前 后的点的坐标后的点的坐标, ,常常运用代入法求解常常运用代入法求解. . 2.2.点的直角坐标化为极坐标的注意事项点的直角坐标化为极坐标的注意事项 在化点的直角坐标为极坐标时在化点的直角坐标为极坐标时, ,一般取一般取0,0,0,0, 2 2),),即即取最小正角取最小正角, ,由由tantan= (x0)= (x0)求求时时, ,必须必须 根据角根据角的终边经过点的终边经过点(x,y)(x,y)所
5、在的象限来确定所在的象限来确定的值的值. . y x 类型一类型一 平面直角坐标系平面直角坐标系 【典例典例1 1】说出由曲线说出由曲线y=tanxy=tanx得到曲线得到曲线y=3tan2xy=3tan2x的变换的变换 规律规律, ,并求出满足其图形变换的伸缩变换并求出满足其图形变换的伸缩变换. . 【解析解析】y=tanxy=tanx的纵坐标不变的纵坐标不变, ,横坐标缩短为原来的横坐标缩短为原来的 , , 得到得到y=tan2x.y=tan2x.再将其纵坐标伸长为原来的再将其纵坐标伸长为原来的3 3倍倍, ,横坐标横坐标 不变不变, ,得到曲线得到曲线y=3tan2x.y=3tan2x.
6、 设变换为设变换为 则则y=3tan2x,y=3tan2x, 即即y= tan2x.y= tan2x. 1 2 xx (0) yy (0) ， ， ， ， 3 与与y=tanxy=tanx比较比较, ,则有则有=3,= .=3,= . 所以所求的变换为所以所求的变换为 1 2 1 xx 2 y3y. ， 【方法技巧方法技巧】伸缩变换公式及其应用伸缩变换公式及其应用 (1)(1)设点设点P(x,y)P(x,y)为平面直角坐标系中的任意一点为平面直角坐标系中的任意一点, ,在变在变 换换: : 的作用下的作用下, ,点点P(x,y)P(x,y)对应到点对应到点 P(x, y),P(x, y),称称
7、为平面直角坐标系中的坐标伸缩为平面直角坐标系中的坐标伸缩 变换变换, ,简称伸缩变换简称伸缩变换. . xx,(0) yy,(0) ， (2)(2)求曲线关于伸缩变换公式变换后的曲线方程求曲线关于伸缩变换公式变换后的曲线方程, ,一一 般通过设定变换前与变换后曲线上的点的坐标建立联般通过设定变换前与变换后曲线上的点的坐标建立联 系系, ,这可以通过上标符号进行区分这可以通过上标符号进行区分; ; 椭圆通过适当的伸缩变换可以为圆椭圆通过适当的伸缩变换可以为圆. .直线和椭圆的位直线和椭圆的位 置关系问题利用伸缩变换公式变换为直线和圆的位置置关系问题利用伸缩变换公式变换为直线和圆的位置 关系利于解
8、决关系利于解决. . 【变式训练变式训练】1.1.圆圆x x2 2+y+y2 2=4=4经过伸缩变换经过伸缩变换 后的后的 图形的方程为图形的方程为_._. x2x y3y ， 【解析解析】由由 代入代入x x2 2+y+y2 2=4=4得得 故圆经过已知伸缩变换后的方程为故圆经过已知伸缩变换后的方程为 答案答案: : 1 xx x2x 2 1y3y yy 3 ， ， 得 ， 2222 xyxy 41 491636 ，即， 22 xy 1. 1636 22 xy 1 1636 2.2.在伸缩变换在伸缩变换 的作用下某曲线的作用下某曲线C C的方程变为的方程变为y=y= cos2x,cos2x,
9、试求曲线试求曲线C C的方程的方程. . 1 xx 2 1 yy 2 ， 1 2 【解析解析】由由 得得 y=cos xy=cos x， 即即y=cosx,y=cosx,故曲线故曲线C C的方程为的方程为y=cosx.y=cosx. 1 xx 2 1 yy 2 ， 1 2 1 2 类型二类型二 极坐标系与极坐标方程极坐标系与极坐标方程 【典例典例2 2】(2016(2016晋中高二检测晋中高二检测) )在极坐标系中在极坐标系中, ,已知已知 O O1 1和和O O2 2的极坐标方程分别为的极坐标方程分别为=2cos=2cos, ,= = 2asin2asin(a(a为常数为常数),), (1)
10、(1)分别将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程. . (2)(2)若两圆的圆心距为若两圆的圆心距为 , ,求求a a的值的值. . 5 【解析解析】(1)(1)将极坐标方程将极坐标方程=2cos,=2asin,=2cos,=2asin, 分别化为直角坐标方程为分别化为直角坐标方程为 x x2 2+y+y2 2- -2x=02x=0和和x x2 2+y+y2 2- -2ay=0.2ay=0. (2)(2)两圆的圆心坐标分别为两圆的圆心坐标分别为O O1 1(1,0)(1,0)和和O O2 2(0,a),(0,a), 由由|O|O1 1O O2 2|= ,|=
11、,得得1+a1+a2 2=5,=5,解得解得a=a=2.2. 5 【延伸探究延伸探究】若本例的条件不变若本例的条件不变, ,是否存在实数是否存在实数a,a,使两使两 圆相切圆相切? ? 【解析解析】因为两圆因为两圆x x2 2+y+y2 2- -2x=02x=0和和x x2 2+y+y2 2- -2ay=02ay=0都经过原都经过原 点点, ,且原点与两圆心不共线且原点与两圆心不共线, ,所以不存在实数所以不存在实数a a使两圆相使两圆相 切切. . 【方法技巧方法技巧】关于点的极坐标与曲线的极坐标方程的关于点的极坐标与曲线的极坐标方程的 问题问题 (1)(1)点与直角坐标之间建立的是一一对应
12、关系点与直角坐标之间建立的是一一对应关系, ,而点与而点与 极坐标之间不能建立一一对应关系极坐标之间不能建立一一对应关系, ,在在0,0,极角满足极角满足 0,20,2) )的条件下的条件下, ,点与极坐标是一一对应的点与极坐标是一一对应的. . (2)(2)极坐标系中的曲线问题主要涉及直线、圆的方程、极坐标系中的曲线问题主要涉及直线、圆的方程、 直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等问题直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等问题. .将将 极坐标方程转化为直角坐标方程是解决位置关系、计极坐标方程转化为直角坐标方程是解决位置关系、计 算距离等问题的关键算距离等问题的关键. . 【变式训练变
13、式训练】1.(20161.(2016丰城高二检测丰城高二检测) )若若 是极坐标系中的一点是极坐标系中的一点, ,则则 (kZ)(kZ)四点中与四点中与P P重合的点有重合的点有 ( ( ) ) A.1A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.4D.4个个 P2 3 (，) 285 Q 2R 2M2 333 ( ， )， ( ， )， (， )， 4 N 2,2k 3 () 【解析解析】选选D.D.点点 的直角坐标为的直角坐标为( (- -1, ),1, ),且且 (kZ)(kZ)四点的四点的 直角坐标分别为直角坐标分别为Q(Q(- -1, ),R(1, ),R(- -1, ),M(
14、1, ),M(- -1, ),1, ), N(N(- -1, ),1, ),所以与所以与P P重合的点有重合的点有4 4个个. . P2 3 (，) 285 Q 2R 2M2 333 ( ， )， ( ， )， (， )， 4 N 2,2k 3 () 3 33 3 3 2.2.在极坐标系中在极坐标系中, ,求由三条曲线求由三条曲线=0,=0,= ,= ,coscos+ + sinsin=1=1围成的图形的面积围成的图形的面积. . 3 3 【解析解析】曲线曲线cos+ sin=1cos+ sin=1的直角坐标方程的直角坐标方程 为为x+ yx+ y- -1=0.1=0.它与它与x x轴的交点为
15、轴的交点为B(1,0).B(1,0). 曲线曲线= = 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 x x- -y=0.y=0. 它们的交点坐标为它们的交点坐标为 所以由三条曲线所以由三条曲线=0,= ,cos+ sin=0,= ,cos+ sin= 1 1围成的图形如图所示围成的图形如图所示. . 3 3 3 3 1 3 A( , ) 4 4 ， 3 3 所以所以S= S= 1133 OB h1 2248 类型三类型三 柱坐标系与球坐标系柱坐标系与球坐标系 【典例典例3 3】已知点已知点A A的柱坐标为的柱坐标为 , ,求它的直角坐求它的直角坐 标与球坐标标与球坐标. . ( 26) 4 ， 【解析解
16、析】由得由得 故点故点A A的直角坐标为的直角坐标为(1,1, ).(1,1, ). x2cos 4 x1 y2siny1 4 z6 z6 ， ， ， 得， ， 6 故点故点A A的球坐标为的球坐标为 222222 rxyz11( 6)2 2 r2 2 z63 cos r262 2 y1 tan 1 4 x1 ， ， 由，得， ， (2 2). 6 4 ， 【方法技巧方法技巧】 1.1.坐标之间的互化公式坐标之间的互化公式 其中其中0,00,022, ,- -z+,0z+,0 . . 2.2.极坐标系中的面积距离问题极坐标系中的面积距离问题 在极坐标系中涉及距离在极坐标系中涉及距离, ,面积问
17、题有两种思路面积问题有两种思路: :一是将一是将 点的极坐标化为直角坐标点的极坐标化为直角坐标, ,利用直角坐标系中的公式解利用直角坐标系中的公式解 题题; ;二是直接利用图形中极径、极角的关系二是直接利用图形中极径、极角的关系, ,结合三角结合三角 形中的定理解题形中的定理解题. . 【变式训练变式训练】设点设点M M的球坐标为的球坐标为 , ,求它的柱求它的柱 坐标坐标. . 5 (2) 44 ， 【解析解析】由由 故点故点M M的直角坐标为的直角坐标为( (- -1,1,- -1, ),1, ), 故故= = 5 x2sincos 44 x1 5 y2sinsiny1 44 z2 z2cos 4 ， ， ， 得， ， 2 221 112 tan 1 1 ， 又又的终边过点的终边过点( (- -1,1,- -1),1),故故= = 又又z= ,z= , 故点故点M M的柱坐标为的柱坐标为 5 4 ， 2 5 ( 22). 4 ， ，
