1、二 综合法与分析法 【自主预习自主预习】 1.1.综合法综合法 一般地一般地, ,从从_出发出发, ,利用定义、公理、定理、利用定义、公理、定理、 性质等性质等, ,经过一系列的推理、论证而得出命题成立经过一系列的推理、论证而得出命题成立, ,这这 种证明方法叫做综合法种证明方法叫做综合法. .综合法又叫顺推证法或由因综合法又叫顺推证法或由因 导果法导果法. . 已知条件已知条件 2.2.分析法分析法 证明命题时证明命题时, ,从从_出发出发, ,逐步寻求使它成立逐步寻求使它成立 的的_,_,直至所需条件为直至所需条件为_ _(_(定义、公理或已证明的定理、性质等定义、公理或已证明的定理、性质
2、等),),从从 而得出要证的命题成立而得出要证的命题成立, ,这种证明方法叫做分析法这种证明方法叫做分析法, ,这这 是一种是一种_的思考和证明方法的思考和证明方法. . 要证的结论要证的结论 充分条件充分条件 已知条件或一个明显成已知条件或一个明显成 立的事实立的事实 执果索因执果索因 【即时小测即时小测】 1.1.关于综合法和分析法说法错误的是关于综合法和分析法说法错误的是 ( ( ) ) A.A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法 B.B.综合法又叫顺推证法或由因导果法综合法又叫顺推证法或由因导果法 C.C.分析法又叫逆推证法或执
3、果索因法分析法又叫逆推证法或执果索因法 D.D.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法 【解析解析】选选D.D.根据综合法的定义可得根据综合法的定义可得, ,综合法是执因导综合法是执因导 果法果法, ,是顺推法是顺推法; ;根据分析法的定义得根据分析法的定义得, ,分析法是执果索分析法是执果索 因法因法, ,是逆推证法是逆推证法. . 2.2.下列对命题“函数下列对命题“函数f(x)=x+ f(x)=x+ 是奇函数”的证明不是奇函数”的证明不 是综合法的是是综合法的是 ( ( ) ) A.A. xRxR且且x0x0有有f(f(- -x)=(x)=(-
4、-x)+ =x)+ =- -f(x),f(x), 所以所以f(x)f(x)是奇函数是奇函数 B.B. xRxR且且x0x0有有f(x)+f(f(x)+f(- -x)=x+(x)=x+(- -x)+ x)+ 所以所以f(x)=f(x)=- -f(f(- -x),x),所以所以f(x)f(x)是奇函数是奇函数 1 x 11 (x) xx 11 ()0 xx ， C.C. xRxR且且x0,x0,因为因为f(x)0,f(x)0,所以所以 所以所以f(f(- -x)=x)=- -f(x),f(x),所以所以f(x)f(x)是奇函数是奇函数 D.D.取取x=x=- -1,f(1,f(- -1)=1)=-
5、 -1+ =1+ =- -2,2,又又f(1)=1+ =2,f(f(1)=1+ =2,f(- -1)1) = =- -f(1),f(1),所以所以f(x)f(x)是奇函数是奇函数 1 x fx x 1, 1 f x x x 1 1 1 1 【解析解析】选选D.A,B,CD.A,B,C都是从已知条件出发都是从已知条件出发, ,利用奇函数利用奇函数 定义定义, ,得出结论的得出结论的, ,都是综合法都是综合法;D;D不是综合法证明不是综合法证明. . 3.3.要证要证a a2 2+b+b2 2- -1 1- -a a2 2b b2 20,0,只需证只需证 ( ( ) ) A.2abA.2ab- -
6、1 1- -a a2 2b b2 200 B.aB.a2 2+b+b2 2- -1 1- - 00 C. C. - -1 1- -a a2 2b b2 200 D.(aD.(a2 2- -1)(b1)(b2 2- -1)01)0 22 ab 2 2 ab () 2 【解析解析】选选D.D.因为因为a a2 2+b+b2 2- -1 1- -a a2 2b b2 2=(a=(a2 2- -1)(11)(1- -b b2 2) ) = =- -(a(a2 2- -1)(b1)(b2 2- -1),1), 故要证故要证a a2 2+b+b2 2- -1 1- -a a2 2b b2 20,0,只需证
7、只需证(a(a2 2- -1)(b1)(b2 2- -1)0.1)0. 【知识探究知识探究】 探究点探究点 综合法与分析法综合法与分析法 1.1.综合法与分析法证明不等式的逻辑关系是怎样的综合法与分析法证明不等式的逻辑关系是怎样的? ? 提示提示: :综合法综合法:A:AB B1 1B B2 2B Bn nB B ( (已知已知)()(逐步推演不等式成立的必要条件逐步推演不等式成立的必要条件)()(结论结论).). 分析法分析法:B:B B B1 1 B B2 2 B Bn n A A ( (结论结论)()(步步寻求不等式成立的充分条件步步寻求不等式成立的充分条件)()(已知已知).). 2.
8、2.如何理解分析法寻找的是充分条件如何理解分析法寻找的是充分条件? ? 提示提示: :用分析法证明用分析法证明, ,其叙述格式是其叙述格式是: :要证明要证明A,A,只需证明只需证明 B.B.即说明只要有即说明只要有B B成立成立, ,就一定有就一定有A A成立成立. .因此分析法是因此分析法是 “执果索因执果索因”, ,步步寻求上一步成立的充分条件步步寻求上一步成立的充分条件. .分析分析 法体现了数学中法体现了数学中“正难则反正难则反”的原则的原则, ,也是思维中的逆也是思维中的逆 向思维向思维. .逆求逆求( (不是逆推不是逆推) )结论成立的充分条件结论成立的充分条件. . 【归纳总结
9、归纳总结】 1.1.综合法和分析法的比较综合法和分析法的比较 (1)(1)相同点相同点: :都是直接证明都是直接证明. . (2)(2)不同点不同点: :综合法综合法: :由因导果由因导果, ,形式简洁形式简洁, ,易于表达易于表达; ; 分析法分析法: :执果索因执果索因, ,利于思考利于思考, ,易于探索易于探索. . 2.2.证明不等式的通常做法证明不等式的通常做法 常用分析法找证题切入点常用分析法找证题切入点, ,用综合法写证题过程用综合法写证题过程. . 类型一类型一 用综合法证明不等式用综合法证明不等式 【典例典例】(2016(2016大连高二检测大连高二检测) )已知已知a,b,
10、ca,b,c均为正实均为正实 数数, ,且且 (1)(1)证明证明: : (2)(2)求证求证: : 222 111 1. abc 111 3. abc 222 444 abc 1. bca 【解题探究解题探究】要证明该题要证明该题, ,根据题目的形式根据题目的形式, ,你联想到你联想到 利用哪个公式解决利用哪个公式解决? ? 提示提示: :根据题目给出的形式根据题目给出的形式, ,可根据基本不等式求证可根据基本不等式求证. . 【证明证明】(1)(1)由由a,b,ca,b,c均为正实数均为正实数, ,且且 可得可得 相加可得相加可得 222 111 1, abc 222222 1121121
11、12 , abab bcbc acac 222 111111 , abcabbcca 即有即有 当且仅当当且仅当a=b=c= a=b=c= 取得等号取得等号. . 故原不等式成立故原不等式成立. . 2 222 111111111 ()2() abcabcabbcca 3 222 111 3()3, abc (2)(2)由由a,b,ca,b,c均为正实数均为正实数, ,且且 可得可得 相加可得相加可得 即有原不等式成立即有原不等式成立. . 222 111 1, abc 22 42422 a1a12 2, babab 22 422422 b12 c12 , cbcaca 222 444222
12、abc111 1, bcaabc 【方法技巧方法技巧】综合法证明不等式的策略综合法证明不等式的策略 (1)(1)综合法证明不等式综合法证明不等式, ,揭示出条件和结论之间的因果揭示出条件和结论之间的因果 联系联系, ,为此要着力分析已知与求证之间为此要着力分析已知与求证之间, ,不等式的左右不等式的左右 两端之间的差异与联系两端之间的差异与联系. .合理进行转换合理进行转换, ,恰当选择已知恰当选择已知 不等式不等式, ,这是证明的关键这是证明的关键. . (2)(2)综合法证明不等式所依赖的已知不等式主要有如下综合法证明不等式所依赖的已知不等式主要有如下 几个几个: :a a2 20(aR)
13、;0(aR);(a(a- -b)b)2 20(a,bR),0(a,bR),其变形有其变形有 a a2 2+b+b2 22ab, ab,a2ab, ab,a2 2+b+b2 2 (a+b) (a+b)2 2; ;若若a,ba,b 为正实数为正实数, ,则则 特别特别 2;2;a a2 2+b+b2 2+c+c2 2 ab+bc+ca.ab+bc+ca. 2 ab 2 （） 1 2 ab ab， 2 ba ab (3)(3)在用综合法证明不等式时在用综合法证明不等式时, ,常利用不等式的基本性常利用不等式的基本性 质质, ,如同向不等式相加、同向不等式相乘等如同向不等式相加、同向不等式相乘等, ,
14、但在运用但在运用 这些性质时这些性质时, ,一定要注意这些性质成立的前提条件一定要注意这些性质成立的前提条件. . 【变式训练变式训练】(2015(2015绥化高二检测绥化高二检测) )已知已知a,ba,b都是正数都是正数, , 且且ab,ab,求证求证:a:a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2. . 【证明证明】因为因为ab,ab,所以所以a a- -b0,b0,所以所以a a2 2- -2ab+b2ab+b2 20,0, 所以所以a a2 2- -ab+bab+b2 2ab.ab. 而而a,ba,b均为正数均为正数, ,所以所以a+b0,a+b0, 所以所以(a+b)(a
15、(a+b)(a2 2- -ab+bab+b2 2)ab(a+b),)ab(a+b), 所以所以a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2成立成立. . 【补偿训练补偿训练】已知已知a,b,cRa,b,cR+ +, ,且互不相等且互不相等, ,且且abc=1,abc=1, 求证求证: : 【证明证明】因为因为a,b,cRa,b,cR+ +, ,且互不相等且互不相等, ,且且abc=1,abc=1, 所以所以 所以所以 111 abc. abc 111111 111 bccaab abc bccaab222 111 . abc 111 abc. abc 类型二类型二 用分析法证明不
16、等式用分析法证明不等式 【典例典例】1.(20161.(2016聊城高二检测聊城高二检测) )已知已知a,b,ma,b,m都是都是 正数正数, ,并且并且ac,abc,且且a+b+c=0,a+b+c=0,求证求证: : (1)b(1)b2 2- -ac0.(2) ac0.(2) ama . bmb 2 bac3a. 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1用分析法证明的关键是什么用分析法证明的关键是什么? ? 提示提示: :a,b,ma,b,m都是正数都是正数, ,要证要证 成立成立, ,只需证明只需证明 b(a+m)a(b+m)b(a+m)a(b+m)成立成立, ,所以关键是证明所以关键是
17、证明b(a+m)a(b+m)b(a+m)a(b+m) 成立成立. . ama bmb 2.2.典例典例2(2)2(2)中证明的关键是什么中证明的关键是什么? ? 提示提示: :证明的关键是对式子两端平方后证明的关键是对式子两端平方后, ,能得到显然成能得到显然成 立的条件立的条件. . 【证明证明】1.a,b,m1.a,b,m都是正数都是正数, , 要证要证 成立成立, ,只需证只需证b(a+m)a(b+m)b(a+m)a(b+m)成立成立, , 即证即证ba+bmab+am,ba+bmab+am,即证即证bmam,bmam,即证即证ba,ba, 而而acabc且且a+b+c=0,a+b+c=
18、0, 所以所以a0,c0. (2)(2)欲证欲证 只需证只需证b b2 2- -ac0. 即证即证(a(a- -b)(ab)(a- -c)0.c)0. 因为因为abc,abc, 所以所以(a(a- -b)(ab)(a- -c)0c)0成立成立, , 从而从而 成立成立. . 2 bac3a 【延伸探究延伸探究】 1.1.若将典例若将典例2 2中条件改为“中条件改为“ab0”,ab0”,求证求证: : 22 abab ab ab. 8a28b 【证明证明】要证原不等式成立要证原不等式成立, , 只需证只需证 即证即证 因为因为ab0,ab0,所以只需证所以只需证 即即 22 abab ab2 a
19、b 4a4b ， 2 22 abab ()ab() . 2 a2 b abab ab 2 a2 b ， ababba 11. ab2 a2 b ，即 只需证只需证 因为因为ab0,ab0,所以所以 成立成立. .所以原不等式成立所以原不等式成立. . ba 1. ab ba 1 ab 2.2.典例典例2 2条件改为设条件改为设a,b,ca,b,c均为正数均为正数, ,且且a+b+c=1,a+b+c=1,证证 明明:ab+bc+ac .:ab+bc+ac . 1 3 【证明证明】由由a a2 2+b+b2 22ab,b2ab,b2 2+c+c2 22bc,c2bc,c2 2+a+a2 22ca,
20、2ca, 得得a a2 2+b+b2 2+c+c2 2ab+bc+caab+bc+ca 由题设得由题设得(a+b+c)(a+b+c)2 2=1,=1, 即即a a2 2+b+b2 2+c+c2 2+2ab+2bc+2ca=1.+2ab+2bc+2ca=1. 所以所以3(ab+bc+ca)1,3(ab+bc+ca)1,即即ab+bc+ca .ab+bc+ca . 1 3 【方法技巧方法技巧】用分析法证明不等式的思路及注意点用分析法证明不等式的思路及注意点 (1)(1)思路思路: :分析法的思索路线是“执果索因”分析法的思索路线是“执果索因”, ,即从要证即从要证 的不等式出发的不等式出发, ,不
21、断地用充分条件来代替前面的不等式不断地用充分条件来代替前面的不等式, , 直至找到已知不等式为止直至找到已知不等式为止. . (2)(2)注意点注意点: :用分析法证明数学命题时用分析法证明数学命题时, ,一定要恰当地用一定要恰当地用 好反推符号“好反推符号“ ”或“要证明”“只需证明”“即证明”或“要证明”“只需证明”“即证明” 等词语等词语. . 【变式训练变式训练】 1.1.当当x4x4时时, ,证明证明: : 【证明证明】欲证欲证 只需证只需证 即证即证 x1 x2 x3 x4. x1 x2 x3 x4,x4x4 x1x4 x3x2,x4x4 22 ( x1x4) ( x3x2),x4
22、x4 展开整理展开整理, ,得得 只需证只需证(x(x- -1)(x1)(x- -4)(x4)(x- -2)(x2)(x- -3),3), 即即x x2 2- -5x+4x5x+4x2 2- -5x+6,5x+6,即即46,46,显然成立显然成立. . 所以原不等式所以原不等式 成立成立. . (x1)(x4) (x2)(x3), x1 x2 x3 x4 2.2.若若a,b,ca,b,c均为正数均为正数, ,求证求证: : 【证明证明】要证要证 只要证只要证 只要证只要证 abc3 . b cacab2 abc3 , b cacab2 c9 11, ab2 ab 1 b cac ab cab
23、cab c9 , b cacab2 只要证只要证(a+b+c) (a+b+c) 因为因为(a+b+c) (a+b+c) 所以原不等式成立所以原不等式成立. . 111 b cacab （） 1119 . b cacab2 （） 3 3 19 abbcca 3, bcacab2 11111 abb cca ()3 2b cacab2 自我纠错自我纠错 用分析法证明不等式用分析法证明不等式 【典例典例】已知已知a,b(0,+),a,b(0,+),且且a+b=1,a+b=1,求证求证: : 11 ab2. 22 【失误案例失误案例】 分析解题过程分析解题过程, ,找出错误之处找出错误之处, ,并写出
24、正确答案并写出正确答案. . 提示提示: :错误的根本原因是证明过程不符合分析法的证明错误的根本原因是证明过程不符合分析法的证明 思路思路. .正确解答过程如下正确解答过程如下: : 【证明证明】要证要证 成立成立, , 只需证明只需证明 成立成立, , 即只需证明即只需证明 1,1,即即 即只需证明即只需证明ab ab 成立成立, , 11 ab2 22 1111 ab2 (a)(b)4 2222 11 (a)(b) 22 11 abab1 24 ， 1 4 由由a,b(0,+),a,b(0,+),且且a+b=1,a+b=1,知知ab ab 显然成立显然成立, , 于是于是 2 2成立成立, ,不等式得证不等式得证. . 2 ab1 () 24 11 ab 22
