1、第五章第五章 均匀设计法均匀设计法Uniform design(UD)51 基本原理基本原理 一、引言一、引言 正交试验设计利用：正交试验设计利用：均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐均衡分散：试验点在试验范围内排列规律整齐 整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀整齐可比：试验点在试验范围内散布均匀 可以进行部分试验而得到基本上反映全面情况的可以进行部分试验而得到基本上反映全面情况的试验结果，但是，当试验中因素数或水平数比较大时，试验结果，但是，当试验中因素数或水平数比较大时，正交试验的次数也会很大。如正交试验的次数也会很大。如5因素因素5水平，用正交表水平，用正交表需要安排需要安排5525
2、次试验。这时，可以选用均匀设计法，次试验。这时，可以选用均匀设计法，仅用仅用5次试验就可能得到能满足需要的结果次试验就可能得到能满足需要的结果 1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验总数又不超过50，显然优选法和正交设计都不能用，方开泰与王元经过几个月的共同研究，提出了一个新的试验设计，即所谓“均匀设计”，将这一方法用于导弹设计，取得了成效 均匀设计法愈正交设计法的不同：均匀设计法不再考虑“数据整齐可比”性，只考虑试验点在试验范围内充分“均衡分散”均匀设计属于近年发展起来的“伪蒙特卡罗方法”的范筹。将经典的确定的单变量问题的计算方法
3、推广后用于多变量问题的计算时，计算量往往跟变量个数有关，即使电脑再进步很多，这种方法仍无法实际应用，乌拉母（S.Ulam）与冯诺依曼(J.von Neumann)在40年代提出蒙特卡罗方法，即统计模拟方法，这个方法的大意是将一个分析问题化为一个有同样解答的概率问题，然后用统计模拟的方法来处理后面这个问题，这样使一些困难的分析问题反而得到了解决，例如多重定积分的近似计算。蒙特卡罗方法的关键是找一组随机数作为统计模拟之用，所以这一方法的精度在于随机数的均匀性与独立性。二、均匀设计表二、均匀设计表 均匀设计表符号表示的意义均匀设计表符号表示的意义U7(76)均匀表的 代号试验次数因素的水平数因素数
4、如如U6(64)表示要做次表示要做次6试验，每个因素有试验，每个因素有6个水个水平，该表有平，该表有4列。列。1234112362246533624441535531266541U6(64)列号试验号U7(74)123411236224653362444153553126767574717试验号7水平均匀设计表 每个均匀设计表都附有一个使用表，它指示我们如何从设计表中选用适当的列，以及由这些列所组成的试验方案的均匀度。下表是U6(64)的使用表。它告诉我们，若有两个因素，应选用1，3两列来安排试验；若有三个因素，应选用1，2，3三列，最后1列D表示刻划均匀度的偏差(discrepancy)，偏
5、差值越小，表示均匀度越好。s列号D2130.187531230.2656412340.2990U6(64)的使用表的使用表U7(74)的使用表的使用表s列号D2130.239831230.3721412340.4760U7*(74)123411357226263317544444557136767256321试验号7水平均匀设计表的使用表的使用表s列号D2130.158231230.2132U7*(74)均匀设计有其独特的布（试验）点方式：每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点 以上两个性质反映了均匀设计试验安排的“均衡性”，即
6、对各因素，每个因素的每个水平一视同仁。均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价 例如用例如用U6(64)的的1，3 和和1，4列分别画图，得到下面的列分别画图，得到下面的图图(a)和图和图(b)。我们看到，。我们看到，(a)的点散布比较均匀，而的点散布比较均匀，而(b)的点散布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交的点散布并不均匀。均匀设计表的这一性质和正交表有很大的不同，因此，每个均匀设计表必须有一个表有很大的不同，因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表。附加的使用表。三、试验结果分析三、试验结果分析均匀设计的结果没有整齐可比性，分析结均匀设计的结果没有整齐可比性，分析结果不能采用一般的
7、方差分析方法，通常要用果不能采用一般的方差分析方法，通常要用 回归分析回归分析或或逐步回归分析逐步回归分析的方法的方法：01 1_1_12_1_122,1,2,(82)1,2,(83)(84)(8 1)knijijikikkNiiyikkKNyykiNiiimmikikLxxxxi jmLyxxyyimLybb xb xb xxyxxyyx令代表因素 在第k次试验时取的值，表示响应值在第 次试验的结果。1,2,(85)im_111 11121 1221 1_011(86)87NkiMmymmymmmmmyNiiiyyNL bLbLL bL bLL bLbLbyb y回归方程组系数由下列正规方程
8、组决定：（）2211112()(89)mTmiiijijiiimiiijijib xb x xb xTCx xx0当各因素与响应值关系是非线性关系时，或存在因素的交互作用时，可采用多项式回归分析的方法例如各因素与响应值均为二次关系时的回归方程为：y=b其中反映了因素间的多互效应，反映因素而此项的银杏，通过变量代换(8-9)式可化为多元线性方程求解。的影响对此项12201(1,2,;1)(8 10)(89)()(8 11)Uijm Tllmlxx xim jybb xTC即令方程化为在这种情况下，为了求得二次项和交互作用项，就不能选用试验次数等于因素数的均匀设计表，二必须选用试验次数大于或等于回
9、归方程系数总数的 表了52 应用举例 利用均匀设计表来安排试验的步骤：利用均匀设计表来安排试验的步骤：（1）根据试验的目的，）根据试验的目的，选择合适的因素和相应的水平。选择合适的因素和相应的水平。（2）选择适合该试验的均匀设计表）选择适合该试验的均匀设计表，然后根据该表的，然后根据该表的使用表从中选出列号，将因素分别安排到这些列号上，使用表从中选出列号，将因素分别安排到这些列号上，并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号，则试并将这些因素的水平按所在列的指示分别对号，则试验就安排好了验就安排好了 在阿魏酸的合成工艺考察中，为了提高产量，在阿魏酸的合成工艺考察中，为了提高产量，选取了原料配比选
10、取了原料配比(A)、吡啶量、吡啶量(B)和反应时间和反应时间(C)三个因素，它们各取了三个因素，它们各取了7个水平如下：个水平如下：原料配比（原料配比（A）：）：1.0，1.4，1.8，2.2，2.6，3.0，3.4 吡啶量（吡啶量（B）(ml)：10，13，16，19，22，25，28 反应时间（反应时间（C）(h)：0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0，3.5 7个水平，需要安排个水平，需要安排7次试验，根据因素和水平，我们次试验，根据因素和水平，我们可以选用可以选用U7(76)完成该试验。完成该试验。123456112365622465353362414441536355312
11、4266541217777777U7(76)列号试验号因素数列号2133123412365123466123456U7(76)使用表使用表U7(76)共有6列，现在有3个因素，根据其使用表，应该取1，2，3列安排试验。No.配比配比（A）吡啶量吡啶量（B）时间时间（C）收率收率（Y）11.0(1)13(2)1.5(3)0.33021.4(2)19(4)3.0(6)0.33631.8(3)25(6)1.0(2)0.29442.2(4)10(1)2.5(5)0.47652.6(5)16(3)0.5(1)0.20963.0(6)22(5)2.0(4)0.45173.4(7)28(7)3.5(7)0.
12、482制备阿魏酸的试验方案U7(73)和结果根据试验方案进行试验，其收率根据试验方案进行试验，其收率(Y)列于表的列于表的最后一列，其中以第最后一列，其中以第7号试验为最好，其工艺号试验为最好，其工艺条件为配比条件为配比3.4，吡啶量，吡啶量28ml，反应时间，反应时间3.5h。我们可用线性回归模型来拟合上表的试验数据我们可用线性回归模型来拟合上表的试验数据n7 70.330,1.0,13,1.5),0.3361.4,19,3.0ijL解：这时 ，组观测值为(，）(0.482,3.4,29,3.5),它们的均值为：8_1231112121222323331232.2192.00.36834.4
13、816.81.40.2404252.010.50.56407.00.52450.037,0.00343,0.0770.36830.0372.20.00343 190.yyyijjixxxyLLLLLLLLLLLbbba 由于，故不必全部列出，将它们代入方程组中可以解得从而0772.00.2013b01230.07,0.2010.0370.003430.0077(812)YXXX于是回归方程为：进一步对它做方差分析，其方差分的估计析表如下：方差来源自由度平方和均方F回归误差总和3360.0487700.0148380.0636080.0162570.0049463.29方差分析表,13,30.0
14、5 F()(0.05)9.283.29mn mFFF 当时 表的临界值回归方程不可信。现在用现在用逐步回归分析逐步回归分析的方法来筛选变量：的方法来筛选变量：逐步回归是回归分析逐步回归是回归分析中的一种筛选变量的技术中的一种筛选变量的技术.开开始它将贡献最大的一个变量选入回归方程，并且预先始它将贡献最大的一个变量选入回归方程，并且预先确定两个阈值确定两个阈值Fin和和Fout，用于决定变量能否入选或剔除，用于决定变量能否入选或剔除.逐步回归在每一步有三种可能的功能：逐步回归在每一步有三种可能的功能：将一个新变量引进回归模型，这时相应的将一个新变量引进回归模型，这时相应的F统计量必须大于统计量必
15、须大于Fin 将一个变量从回归模型中剔除，这时相应的将一个变量从回归模型中剔除，这时相应的F统计量必须小于统计量必须小于Fout 将回归模型内的一个变量和回归模型外的一个变量交换位置。将回归模型内的一个变量和回归模型外的一个变量交换位置。设先用设先用后退法后退法来选变量来选变量.所谓后退法所谓后退法，就是开始，就是开始将所有的变量全部采用，然后逐步剔除对方程将所有的变量全部采用，然后逐步剔除对方程没有显著贡献的变量，直到方程中所有的变量没有显著贡献的变量，直到方程中所有的变量都有显著贡献为止。都有显著贡献为止。仍考虑线性模型，开始三个因素全部进入方程，仍考虑线性模型，开始三个因素全部进入方程，
16、得到一个三变量的方程。统计软件包通常还会得到一个三变量的方程。统计软件包通常还会提供每个变量的提供每个变量的t值，值，t值越大（按绝对值计）值越大（按绝对值计）表示该因素越重要表示该因素越重要.对本例有对本例有 t1=0.96,t2=-0.67,t3=2.77这表明三个因素中以这表明三个因素中以X3（反应时间）对得率（反应时间）对得率（Y）影响最大，）影响最大，配比次之，吡啶量最小。配比次之，吡啶量最小。这些这些t 值都是随机变量，它们遵从值都是随机变量，它们遵从tn-m-1分布。分布。若取若取=0.05，这时，这时n=7,m=3,tn-m-1的临界值的临界值t3(0.05)=3.18。t值大
17、于该值值大于该值的因素表示对方程有显著贡献，否则表示不显著。今的因素表示对方程有显著贡献，否则表示不显著。今 均小于均小于t3(0.05)=3.18，说明回归方程的三个变量至少有一个不起显著作用，说明回归方程的三个变量至少有一个不起显著作用.于是我们将贡献最小的于是我们将贡献最小的X2删去，重新建立删去，重新建立Y和和X1及及X3的线性回归的线性回归方程，得：方程，得：130.1690.02510.0742YXX22013433350.06526,t2.12,0.79,2.91,tt(0.05)2.78,YX0.21410.079(8 13)3.34(0.05)2.57,0.063ttttYX
18、tt1三个 值分别为这时这三个 值遵从含四个自由度的 分布，临界值为从而X 应从方程中剔除，然后对 和建立回归方程这里。因此，回归方程(8-13)并非真正的最终模型，而是在线性框架下的最终产物。XY3上述的分析只发现对 有显著作用，其它两个因素均没有显著作用，该结论与实际经验不温和，因此猜想用线性模型不一定符合实际。吻合201123313213(8 14)0.062320.2510.060.0235(8 15)0.0217,97.77XmmiiiiiijijiiijYXXX XYXXX XRXX03这时方程中有9项（不算）。利用逐步回归技术求得回归方程如下：其响应的。显然，回归方程(8-15)的效果优于(8-13)。该方程于是进一步考虑二次回表明因素和交互作用归模型对Y有显著的影响2333XX3.4(8 15)0.062320.33090.06/00,2.757551.85%YYXXYXY133的极大值。此处我们可以用简单的微积分求得极值。由于 在试验范围内极大值3.4，将代入得令，解得0.3309-0.12X(8-15)方程要求我们在配比1.0-3.4，吡啶量10-28，反应时间0X这时 的极大.5-3.5时，求方程(8值为。这时收-15)中率大于前U面所讲的用 表安排的7号试验的结果48.2%，达到了优化的目的为
