1、第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算,定义：,既有大小又有方向的量叫向量,几何表示法：,用有向线段表示.,字母表示法：,用字母a,b等或者用有向线段 的起点与终点字母 表示,相等的向量：,长度相等且方向相同的向量,引入 复习平面向量,向量的加法：,平行四边形法则,三角形法则(首尾相连),平面向量的加减法运算,向量的减法,三角形法则,减向量终点指向被减向量终点,看下面建筑,这个建筑钢架中有很多向量，但它们有些并不在同一平面内这就是我们今天要学习的空间向量.,1. 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程. 2. 了解空间向量的概念. 3. 掌握空间
2、向量的加减运算. （重点）,1. 空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector ）. 向量的大小叫做向量的长度或模 (modulus).,探究点1 概念,2. 空间向量的表示,（1）我们规定，长度为0的向量叫做零向量 （zero vector），记为 .当有向线段的起点A与 终点B重合时，AB= . （2）模为1的向量称为单位向量（unit vector）. （3）两个向量不能比较大小，因为决定向量 的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较大 小.,提升总结,3. 相反向量 与向量 长度相等而方向相反的向量, 称为 的相反向量，记为 . 4. 相等向量（eq
3、ual vector） 方向相同且模相等的向量称为相等向量.,（1）空间的一个平移就是一个向量. （2）向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 . （3）空间的两个向量可用同一平面内的 两条有向线段来表示.,提升总结,结论：空间任意两个向量都是共面向量， 所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示.,1. 空间向量的加减运算 由于任意两个空间向量都能平移到同一空间，所以空间向量的加减运算与平面向量的加减运算相同.,探究点2 空间向量的加减运算,a-b,a+b,a,b,o,A,B,C,加法: OB=OA+AB=a+b， 减法：CA=OA-OC=a-b.,2. 空间向量的加法
4、运算律 （1）加法交换律 a + b = b + a （2）加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c),你能证明下列性质吗？,证明加法交换律:,a,a+b,a,b,o,A,B,C,b,因为 OA = CB = a， AB = OC = b， 所以 a + b = b + a.,证明加法结合律:,因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c, OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c), 所以 (a + b) + c = a + (b + c).,(1)空间向量的运算就是平面向量运算的推广. (2)两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立. (3
5、)空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加.,3.对空间向量的加减法的说明,4.扩展,（1）首尾相接的若干向量之和，等于由 起始向量的起点指向末尾向量的终点的量 即：,（2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：,例 已知平行六面体ABCD-ABCD，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量.,解:,.,.,提升总结 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的体对角线所表示的向量.,1.给出以下命题： （1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同. （2）若空间向量 满足 ，则 . （3）在正方体 中，必有 . （4）若空间向量
6、满足 ， 则 . （5）空间中任意两个单位向量必相等. 其中不正确命题的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4,C,答案：,D,提升总结 1.两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件 2.熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的运算法则及运算律是解决好这类问题的关键,一、回顾本节课你有什么收获？,1.空间向量的概念. 在空间，具有大小和方向的量. 2.空间向量的加减运算. 空间向量的加减运算应用三角形法则和平行四边形法则.,3.空间向量的加法符合交换律，结合律. 4.平面向量与空间向量. 空间任意两个向量都可平移
7、到同一个平面内，成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.,字母表示法,向量的大小,平面向量,空间向量,具有大小和方向的量,在空间，具有大小和方向的量,几何表示法,几何表示法,字母表示法,向量的大小,二、空间向量的基本概念,平面向量,空间向量,长度为零的向量,长度为零的向量,模为1的向量,模为1的向量,长度相等且方向 相反的向量,长度相等且方向 相反的向量,方向相同且模相等的向量,方向相同且模相等的向量,加法:三角形法则或 平行四边形法则,减法:三角形法则,加法交换律,加法结合律,三、空间向量的加法、减法运算,生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行.,
