1、坐标系 第一讲第一讲 1.2 极坐标系 2.1 曲线的参数方程 2.1.1 参数方程的概念与圆的参数 方程 栏目导 航 课前教材预案课前教材预案 课堂深度拓展课堂深度拓展 课后限时作业课后限时作业 课末随堂演练课末随堂演练 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线 Ox，同时确定一个单位长度和计算角度的正 方向(通常取_为正方向)，这样就 建立了一个极坐标系(其中O称为极点，射 线Ox称为极轴) 课前教材预案课前教材预案 要点一 极坐标系的建立 逆时针方向 对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的 长度，用 表示从Ox到OM 的角度，叫做点 M的_， 叫做点M的_， 有序数对(，)就叫做M的_
2、特别强调：由极径的意义可知0；当极角 的取值范围是0,2)时，平面上的点(除去极 点)就与极坐标(，)建立一一对应的关 系我们约定，极点的极坐标是极径0， 极角为任意角 要点二 极坐标系内一点的极坐标 极径 极角 极坐标 1互化前提：极点与直角坐标系的 _；极轴与直角坐标系的x轴的 _； 两种坐标系中取_ 2互化公式：直角坐标系的原点O为极点， x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同 的长度单位平面内任意一点P的直角坐标 与极坐标分别为(x，y)和(，)，则由三角函 数的定义可以得到如下两组公式： 要点三 极坐标与直角坐标的互化 原点重合 正半轴重合 相同的长度单位 x_ y_ 或 2x2y
3、2， tan y xx0. 说明：(1)上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式 (2)通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取 0，02. cos sin 课堂深度拓展课堂深度拓展 考点一 极坐标系中的点的极坐标 求点的极坐标的注意点 与平面直角坐标系一样，极坐标系也是刻画 平面上点的位置的一种方法在极坐标系中， 点的坐标为(，)，在0，00，) 解析：如图所示，作出极坐标系点 A 关于极轴的对称点为 B 4， 6 . 点 A 关于 直线 l 的对称点为 C 4，5 6 . 点 A 关于极点 O 的对称点为 D 4，7 6 . 【变式 1】 (2016 江苏高三月考)与极坐标 2， 6 不表
4、示同一个点的极坐标是( ) A 2，25 6 B 2，7 6 C 2，11 6 D 2，13 6 解析：根据极坐标(，)与(，2k)(kZ)在极坐标系中表示同一个点的规律， 检验可知只有 2，7 6 不是同一个点的极坐标 B 考点二 将点的极坐标化为直角坐标 将点的极坐标化为直角坐标的技巧 (1)点的极坐标与直角坐标互化公式有三个前提条件：极点与直角坐标系的原点 重合；极轴与直角坐标系的 x 轴非负半轴重合；两种坐标系的长度单位相同 (2)由公式 xcos ， ysin 结合点的极坐标(，)，直接求出(x，y) 【例题 2】 写出下列各点的直角坐标 (1) 4，2 3 ；(2) 2，5 6 ；
5、(3) 4， 3 . 思维导引：由公式 xcos ， ysin 结合点的极坐标(，)求解 解析：(1)由 x4cos2 34 1 2 2， y4sin2 34 3 2 2 3， 得 4，2 3 的直角坐标为(2,2 3) (2)由 x2cos5 62 3 2 3， y2sin5 62 1 21， 得 2，5 6 的直角坐标为( 3，1) (3)由 x4cos 3 41 22， y4sin 3 4 3 2 2 3， 得 4， 3 的直角坐标为(2，2 3) 【变式 2】 若以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 (1)将 M 的极坐标 8，2 3 化成直角坐标； (2)将 A 的极坐标
6、 4，5 3 化成直角坐标 解析：(1)由 x8cos2 3 4，y8sin2 3 4 3.得 M 的直角坐标为(4,4 3) (2) x4cos5 3 2， y4sin5 3 2 3 . 即 A 的直角坐标为(2，2 3) 考点三 将点的直角坐标化为极坐标 (1)牢记将直角坐标化为极坐标的公式； (2)注意极径和极角的取值范围 【例题 3】 分别将下列各点的直角坐标化为极坐标(限定 0，00,02) 解析： x2y2 22222 2， tan 2 2 1，且点 B 位于第四象限内， 7 4 .点 B 的极坐标为 2 2，7 4 . 又x0，y0，15，点 C 的极坐标为 15，3 2 . 考
7、点四 极坐标系中两点之间的距离 求极坐标系中两点间距离的方法 求 极 坐 标 下 两 点 A(1， 1) ， B(2， 2) 的 距 离 时 可 以 利 用 公 式 |AB| 2 1 2 2212cos12求得；也可以把 A，B 两点由极坐标化为直角坐标，利用直 角坐标中两点间的距离公式 d x1x22y1y22求得 思维导引：直接利用两点间的距离公式求 解 【例题 4】 (2016 安徽安庆检测)在极坐标系中求下列两点之间的距离 (1)A 3， 3 ，B 1，2 3 ； (2)A 2， 4 ，B 4， 3 ； (3)A 1， 3 ，B 2，2 3 . 解析：(1)A 3， 3 ，B 1，2
8、3 AOB 2 3 3 ，即 A 与 B 在一条直线 上|AB|314. (2)A 2， 4 ，B 4， 3 ，AOB 3 4， cosAOBcos 3 4 cos 3cos 4sin 3sin 4 1 2 2 2 3 2 2 2 6 2 4 . |AB| 2242224cosAOB 41616 6 2 4 204 64 2. (3)A 1， 3 ，B 2，2 3 AOB2 3 3 3， |AB| 1222212cosAOB 144cos 3 3. 【变式 4】 在极坐标中，如果等边三角形的两个顶点是 A 2， 4 ，B 2，5 4 ，则求 第三个顶点 C 的坐标 解析：由题设知，A，B 两点关于极点 O 对称，又|AB|4，由正三角形的性质知， |CO|2 3，AOC 2，从而 C 的极坐标为 2 3，3 4 或 2 3， 4 . 课末随堂演练课末随堂演练 课后限时作业课后限时作业 制作者：状元桥 适用对象：高二学生 制作软件：Powerpoint2003、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上 操作系统
