1、1.2 应用举例 第1课时 解三角形的实际应用举例 距离问题 一、测量两点间的距离问题一、测量两点间的距离问题 探究探究1 1：结合图探究下面的问题：结合图探究下面的问题 (1)A(1)A，B B两点之间不可到达，在点两点之间不可到达，在点A A的一侧，需要测出哪些量，的一侧，需要测出哪些量， 可以求可以求A A，B B两点的距离？两点的距离？ 提示：提示：测量者在点测量者在点A A的同侧，在所在的河岸边选定一点的同侧，在所在的河岸边选定一点C C，测出，测出 ACAC的距离，的距离，BACBAC的大小，的大小，ACBACB的大小三个量的大小三个量. . (2)(2)根据已知的边和对应角，运用
2、哪个定理比较恰当？根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较恰当？ 提示：提示：根据测量出的两个角一个边，然后根据三角形的内角和根据测量出的两个角一个边，然后根据三角形的内角和 定理很容易通过两个已知角算出边定理很容易通过两个已知角算出边ACAC的对角，再应用正弦定理的对角，再应用正弦定理 算出边算出边AB.AB.因此运用正弦定理比较恰当因此运用正弦定理比较恰当. . 探究探究2 2：结合图探究下面的问题：结合图探究下面的问题 (1)A(1)A，B B两点都在河的对岸，不可到达，两点都在河的对岸，不可到达， 结合图象，需要测出哪些量，可以求出结合图象，需要测出哪些量，可以求出 A A，B B两点间
3、的距离？两点间的距离？ 提示：提示：结合图象，需要测出结合图象，需要测出CDCD的长，的长，BCDBCD的大小，的大小，BDCBDC的大的大 小，就可以计算出小，就可以计算出BCBC的长，同理可以计算出的长，同理可以计算出ACAC的长，再算出的长，再算出ABAB 的长的长. .故只需测量出图中故只需测量出图中CDCD的长，角的长，角 ， ， ， 的大小的大小. . (2)(2)分析求解过程中主要利用了哪些定理？分析求解过程中主要利用了哪些定理？ 提示：提示：主要应用了正弦定理和余弦定理主要应用了正弦定理和余弦定理. . 【探究总结探究总结】对测量不可到达两种距离的说明对测量不可到达两种距离的说
4、明 (1)(1)测量从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离问题，测量从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离问题， 一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而得到一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而得到 运用正弦定理去解决的方法运用正弦定理去解决的方法. . (2)(2)测量两个不可到达点之间的距离问题，一般是把求距离问测量两个不可到达点之间的距离问题，一般是把求距离问 题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题，然后把求未知题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题，然后把求未知 的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，的另外边长问题转化为只有一点不能到达
5、的两点距离测量问题， 然后运用正弦定理解决然后运用正弦定理解决. . 二、航行中的距离问题二、航行中的距离问题 探究探究1 1：根据方向角的含义完成下列填空，明确方向角的表示：根据方向角的含义完成下列填空，明确方向角的表示 方法方法 (1)(1)如图所示，图的如图所示，图的m m角描述为角描述为 . . (2)(2)如图的如图的n n角描述为角描述为 . . 答案：答案：(1)(1)北偏西北偏西m m (2)(2)南偏东南偏东n n 探究探究2 2：根据方位角的定义完成下面的填空，明确方位角的表：根据方位角的定义完成下面的填空，明确方位角的表 示方法示方法 如图如图 图的方位角为图的方位角为
6、；图的方位角为；图的方位角为 . . 答案：答案：130130 200200 【探究总结探究总结】对方向角、方位角的两点说明对方向角、方位角的两点说明 (1)(1)方向角指的是四正方向角指的是四正( (正北、正南、正东、正西正北、正南、正东、正西) )方向线与目方向线与目 标方向线所成角；方位角指的是从指北方向顺时针转到目标方标方向线所成角；方位角指的是从指北方向顺时针转到目标方 向线的水平角向线的水平角. . (2)(2)表示方向的角除方位角外，也可用一些通俗的说法，如方表示方向的角除方位角外，也可用一些通俗的说法，如方 位角位角120120也可以说成也可以说成“南偏东南偏东6060”，方位
7、角，方位角270270也可称也可称 “正西方向正西方向”，方位角，方位角4545也可称也可称“东北方向东北方向”等等. . 【拓展延伸拓展延伸】解三角形应用题的两种情况解三角形应用题的两种情况 (1)(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦 定理或余弦定理解之定理或余弦定理解之. . (2)(2)已知量与未知量涉及两个或多个三角形，这时需要选择条已知量与未知量涉及两个或多个三角形，这时需要选择条 件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题 的解的解. . 类型一类
8、型一 测量从一个可到达点到一个不可到达的点之间的距离测量从一个可到达点到一个不可到达的点之间的距离 1.(20141.(2014四川高考四川高考) )如图，从气球如图，从气球A A上上 测得正前方的河流的两岸测得正前方的河流的两岸B B，C C的俯角的俯角 分别为分别为7575，3030，此时气球的高是，此时气球的高是 60m60m，则河流的宽度，则河流的宽度BCBC等于等于( ( ) ) A.240(A.240( - -1)m1)m B.180( B.180( - -1)m1)m C.120(C.120( - -1)m1)m D.30( +1)mD.30( +1)m 2 3 33 2.2.如
9、图，为了测量河的宽度，在岸边选定两点如图，为了测量河的宽度，在岸边选定两点A A，B B，望对岸岸，望对岸岸 边的标记物边的标记物C C，测得，测得CAB=30CAB=30，CBA=75CBA=75，AB=120mAB=120m，则河，则河 的宽度是的宽度是 m.m. 【解题指南解题指南】1.1.先求先求ACAC，再由正弦定理求，再由正弦定理求BCBC即可即可. . 2.2.利用三角形内角和定理，三角形为等腰三角形，求出一边再利用三角形内角和定理，三角形为等腰三角形，求出一边再 求河宽求河宽. . 【自主解答自主解答】1.1.选选C.C.设气球的高度为设气球的高度为ADAD，交，交CBCB延长
10、线于点延长线于点D D， 在在RtRtACDACD中，中，AC=120mAC=120m， 在在ABCABC中，由正弦定理知，中，由正弦定理知， BC= BC= sinBAC= sinBAC= sin45sin45= = =120( =120( - -1)(m).1)(m). AC sin ABC 120 sin105 602 sin (6045 ) 3 2.2.作作CDABCDAB，垂足为，垂足为D.D. 因为因为ACB=180ACB=180- -3030- -7575=75=75=ABC=ABC， 所以所以AB=AC=120mAB=AC=120m， 因为因为CAD=30CAD=30， 所以在
11、所以在RtRtCDACDA中，中， CD=ACsin30CD=ACsin30=120=120sin30sin30=60(m).=60(m). 答案：答案：6060 【规律总结规律总结】测量从一个可到达点到一个不可到达的点之间距测量从一个可到达点到一个不可到达的点之间距 离的技巧离的技巧 如图所示，如图所示，A A可到达，可到达，B B不可到达，欲求不可到达，欲求ABAB，可在，可在A A的同侧选一的同侧选一 点点C C，测出，测出ACAC的长及的长及BACBAC与与ACBACB的大小，然后用正弦定理求的大小，然后用正弦定理求 解解. . 【变式训练变式训练】如图所示，设如图所示，设A A，B
12、B两点在河的两岸，一测量者两点在河的两岸，一测量者 在在A A所在的河岸边选定一点所在的河岸边选定一点C C，测出，测出ACAC的距离为的距离为50m50m，ACB=ACB= 4545，CAB=105CAB=105，求，求A A，B B两点的距离两点的距离. . 【解析解析】由三角形内角和定理知由三角形内角和定理知B=180B=180- -CC- -A=180A=180- - 4545- -105105=30=30， 在在ABCABC中，由正弦定理得中，由正弦定理得 故故AB= AB= ABAC sin Csin B ， AC sin C50 sin 45 50 2 m . sin Bsin
13、30 类型二类型二 测量两个不可到达的点之间的距离测量两个不可到达的点之间的距离 1.1.如图，如图，CDCD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CDCD所所 在水平面上的山体外取点在水平面上的山体外取点A A，B B，并测得四边形，并测得四边形ABCDABCD中，中，ABC=ABC= BAD= AB=BC=400BAD= AB=BC=400米，米，AD=250AD=250米，则应开凿的隧道米，则应开凿的隧道CDCD 的长为的长为 米米. . 3 ，2 3 ， 2.2.如图，隔河看两目标如图，隔河看两目标A A，B B，但不能到达，在岸边选取相距，但
14、不能到达，在岸边选取相距 kmkm的的C C，D D两点，并测得两点，并测得ACB=75ACB=75，BCD=45BCD=45，ADCADC =30=30，ADB=45ADB=45(A(A，B B，C C，D D在同一平面内在同一平面内) )，求两目标，求两目标A A， B B之间的距离之间的距离. . 3 【解题指南解题指南】1.1.测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把 求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题求解求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题求解. . 2.2.要求出要求出A A，B B之间的距离，可以在之间的距离，可以在A
15、BC(ABC(或或ADB)ADB)中去找关系，中去找关系， 求出有关量的值，然后解三角形可得求出有关量的值，然后解三角形可得. . 【自主解答自主解答】1.1.在在ABCABC中，中，AB=BC=400AB=BC=400米，米，ABC= ABC= 所以所以 ABCABC为等边三角形，为等边三角形，BAC= BAC= 又又BAD= BAD= 故故CAD= CAD= 所以在所以在ACDACD中，由余弦定理得，中，由余弦定理得，CDCD2 2=AC=AC2 2+AD+AD2 2- -2AC2ACADcosCADADcosCAD =400=4002 2+250+2502 2- -2 240040025
16、0250cos =122500cos =122500，所以，所以CD=350(CD=350(米米).). 答案：答案：350350 3 ， 3 ，2 3 ， 3 ， 3 2.2.在在ACDACD中，因为中，因为ADC=30ADC=30，ACD=120ACD=120， 所以所以CAD=30CAD=30. .所以所以AC=CD= km.AC=CD= km. 在在BDCBDC中，中，CBD=180CBD=180- -4545- -7575=60=60， 由正弦定理，可得由正弦定理，可得BC= BC= 由余弦定理，可得由余弦定理，可得ABAB2 2=AC=AC2 2+BC+BC2 2- -2AC2AC
17、BCBCcosBCAcosBCA， 所以所以ABAB2 2= = 所以所以AB= (km).AB= (km). 故两目标故两目标A A，B B间的距离为间的距离为 km.km. 3 3sin 7562 . sin 602 2 2 6262 3()2 3 () cos 755. 22 5 5 【规律总结规律总结】1.1.测量不可到达的两点之间距离的技巧测量不可到达的两点之间距离的技巧 首先把求不可到达的两点首先把求不可到达的两点A A，B B之间的距离转化为利用正、余弦之间的距离转化为利用正、余弦 定理求三角形的边长问题，之后再转化成一个可到达点到另一定理求三角形的边长问题，之后再转化成一个可到
18、达点到另一 个不可到达点的距离的问题个不可到达点的距离的问题. . 2.2.测量不可到达的两点之间的距离问题的关键测量不可到达的两点之间的距离问题的关键 (1)(1)选取的基线既易于测量，又简单恰当选取的基线既易于测量，又简单恰当. . (2)(2)要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高 的精确度的精确度. . 【拓展延伸拓展延伸】解决有关距离问题的思路解决有关距离问题的思路 解决有关距离问题的方法是建立数学模型，即构造三角形，转解决有关距离问题的方法是建立数学模型，即构造三角形，转 化为解三角形问题化为解三角形问题. .通常是根据
19、题意，从实际问题中抽象出一通常是根据题意，从实际问题中抽象出一 个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而个或几个三角形，然后通过解这些三角形得到所求的量，从而 得到实际问题的解得到实际问题的解. .解题时应认真审题，结合图形去选择定理，解题时应认真审题，结合图形去选择定理， 使解题过程简捷使解题过程简捷. . 【变式训练变式训练】某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩( (如如 图图) )，其一角已破损，现测得如下数据：，其一角已破损，现测得如下数据：BC=2.57cmBC=2.57cm，CE=CE= 3.57cm3.57cm，BD=4.38cm
20、BD=4.38cm，B=45B=45，C=120C=120. .为了复原，请计算为了复原，请计算 原玉佩两边的长原玉佩两边的长( (结果精确到结果精确到0.01cm).0.01cm). 【解析解析】将将BDBD，CECE分别延长相交于一点分别延长相交于一点A A，在，在ABCABC中，中， BC=2.57 cmBC=2.57 cm，B=45B=45，C=120C=120， A=180A=180- -(B+C)(B+C) =180=180- -(45(45+120+120)=15)=15. . 因为因为 所以所以AC= AC= 利用计算器算得利用计算器算得AC7.02cm.AC7.02cm. 同
21、理，同理，AB8.60cm.AB8.60cm. 故原玉佩两边的长分别约为故原玉佩两边的长分别约为7.02cm7.02cm、8.60cm.8.60cm. BCAC sin Asin B ， BCsin B2.57sin 45 . sin Asin 15 类型三类型三 航行中的距离问题航行中的距离问题 1.1.一船以每小时一船以每小时15km15km的速度向东航行，船在的速度向东航行，船在A A处看到一个灯塔处看到一个灯塔M M 在北偏东在北偏东6060方向，行驶方向，行驶4h4h后，船到后，船到B B处，看到这个灯塔在北处，看到这个灯塔在北 偏东偏东1515方向，这时船与灯塔的距离为方向，这时船
22、与灯塔的距离为 km.km. 2.2.如图，如图，A A，B B是海面上位于东西方向相距是海面上位于东西方向相距5(3+ )5(3+ )海里的两个海里的两个 观测点，现位于观测点，现位于A A点北偏东点北偏东4545，B B点北偏西点北偏西6060的的D D点有一艘点有一艘 轮船发出求救信号，位于轮船发出求救信号，位于B B点南偏西点南偏西6060且与且与B B点相距点相距20 20 海海 里的里的C C点的救援船立即前往营救，其航行速度为点的救援船立即前往营救，其航行速度为3030海里海里/ /小时，小时， 该救援船到达该救援船到达D D点至少需要多长时间？点至少需要多长时间？ 3 3 【解
23、题指南解题指南】1.1.由题意画出示意图，然后利用正弦定理即可求由题意画出示意图，然后利用正弦定理即可求 出船与灯塔的距离出船与灯塔的距离. . 2.(1)2.(1)已知速度，要求时间，只要求出路程，即已知速度，要求时间，只要求出路程，即CDCD的长即可的长即可. . (2)(2)观察观察CDCD所在的三角形，有所在的三角形，有ADCADC和和BDCBDC，确定用，确定用BDCBDC来求来求 CD.CD. (3)(3)在在BDCBDC中，找出已知量，确定是用正弦定理还是用余弦定中，找出已知量，确定是用正弦定理还是用余弦定 理求解理求解. . 【自主解答自主解答】 1.1.如图所示，依题意有如图
24、所示，依题意有AB=15AB=154=604=60，MAB=30MAB=30， AMB=45AMB=45，在，在AMBAMB中，由正弦定理得中，由正弦定理得 解得解得BM= (km).BM= (km). 答案：答案： 60BM sin 45sin 30 ， 30 2 30 2 2.2.由题意知由题意知AB=5(3+ )AB=5(3+ )海里，海里， 因为因为DAB=90DAB=90- -4545=45=45，DBA=90DBA=90- -6060=30=30， 所以所以ADB=180ADB=180- -(45(45+30+30)=105)=105， 在在ADBADB中，由正弦定理得中，由正弦定
25、理得 所以所以DB=DB= = (= (海里海里) )， 3 DBAB sin DABsin ADB ， AB sin DAB sin ADB 5 33 sin 455 33 sin 45 sin 105sin 45 cos 60cos 45 sin 60 2 5 33 5 33 1 2 10 3 263 1 442 又因为又因为DBC=DBA+ABC=30DBC=DBA+ABC=30+(90+(90- -6060)=60)=60， BC= BC= 海里，海里， 所以在所以在DBCDBC中，由余弦定理得中，由余弦定理得 CDCD2 2=BD=BD2 2+BC+BC2 2- -2BD2BDBCc
26、osDBCBCcosDBC =300+1200=300+1200- -2 2 =900=900， 所以所以CD=30(CD=30(海里海里) )， 所以需要的时间所以需要的时间t= =1(t= =1(小时小时) )， 即救援船到达即救援船到达D D点至少需要点至少需要1 1小时小时. . 20 3 1 10 3 20 3 2 30 30 【延伸探究延伸探究】题题2 2中若不知救援船的速度，其他条件不变，要中若不知救援船的速度，其他条件不变，要 求救援船必须在求救援船必须在4040分钟内到达，则救援船的最小速度为多少？分钟内到达，则救援船的最小速度为多少？ 【解析解析】设救援船的速度为设救援船的
27、速度为v v海里海里/ /小时，由题小时，由题2 2解析可求得解析可求得 CD=30CD=30海里，由海里，由 得得v45.v45. 即救援船的最小速度为即救援船的最小速度为4545海里海里/ /小时小时. . 3040 v60 【规律总结规律总结】 1.1.航行问题的解题技巧航行问题的解题技巧 (1)(1)在航行等问题中，通常是把方位角在航行等问题中，通常是把方位角( (方向角方向角) )与几何图形结与几何图形结 合起来，求出几何图形的有关角合起来，求出几何图形的有关角. . (2)(2)几何图形的应用是解答实际问题的重要辅助手段，一是从几何图形的应用是解答实际问题的重要辅助手段，一是从 图
28、形的完整性方面画出图形；二是把多边形向三角形转化图形的完整性方面画出图形；二是把多边形向三角形转化. . 2.2.解斜三角形应用题的一般步骤解斜三角形应用题的一般步骤 (1)(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图. . (2)(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量 集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型. . (3)(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形
29、，求得 数学模型的解数学模型的解. . (4)(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实 际问题的解际问题的解. . 【变式训练变式训练】如图，货轮在海上以如图，货轮在海上以40km/h40km/h的速度由的速度由B B向向C C航行，航行， 航行的方位角航行的方位角NBC=140NBC=140，A A处有灯塔，方位角处有灯塔，方位角NBA=110NBA=110. . 在在C C处观察灯塔处观察灯塔A A的方位角的方位角NCA=35NCA=35，由，由B B到到C C需要航行半小需要航行半小 时，则时，则C C到灯塔到灯塔A A的距离是的距离是( ( ) ) A.10 6 km B.10 2 km C.1062 km D.1062 km 【解析解析】选选C.C.在在ABCABC中根据题意可得，中根据题意可得，ABC=30ABC=30， ACB=75ACB=75，BAC=75BAC=75，BC=20kmBC=20km， 根据正弦定理得，根据正弦定理得， 所以所以AC= AC= sinABC= sinABC= sin30sin30. . = (km)= (km)，故选，故选C.C. BCAC sin BACsin ABC ， BC sin BAC 20 sin 75 10( 62)
