1、1.2 应用举例 第1课时 解三角形的实际应用举例 距离问题 B B C C A A 1.1.什么是正弦定理？运用正弦定理能解怎样的三什么是正弦定理？运用正弦定理能解怎样的三 角形？角形？ （1 1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所 对角的正弦的比相等，即对角的正弦的比相等，即 已知三角形的任意两边与其中一边的对角已知三角形的任意两边与其中一边的对角. . （2 2）正弦定理能解决的三角形类型）正弦定理能解决的三角形类型 已知三角形的任意两角及其一边；已知三角形的任意两角及其一边； sinsinsin abcabc = ABCABC 2.2.什么是余弦
2、定理？运用余弦定理能解怎样的三什么是余弦定理？运用余弦定理能解怎样的三 角形？角形？ （1 1）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于 其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的 余弦的积的两倍，即余弦的积的两倍，即 已知三边求三角；已知三边求三角； （2 2）余弦定理能解决的三角形类型：）余弦定理能解决的三角形类型： 已知两边及它们的夹角，求第三边已知两边及它们的夹角，求第三边. . 222 222 222 2cos 2cos a =bcbcAa =bcbcA； b =acacBb =acacB； c =ababc
3、osC.c =ababcosC. +-2+-2 3.3.有这样一个问题有这样一个问题: :遥不可及的月球离地球究竟有遥不可及的月球离地球究竟有 多远呢？在古代，天文学家没有先进的仪器就已多远呢？在古代，天文学家没有先进的仪器就已 经估算出了两者的距离，他们是用什么神奇的方经估算出了两者的距离，他们是用什么神奇的方 法探索到这个奥秘的呢？法探索到这个奥秘的呢？ 我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着 许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三 角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形角形、相似三角形的方法，或借
4、助解直角三角形 等不同的方法来解决，但由于在实际测量问题的等不同的方法来解决，但由于在实际测量问题的 真实背景下，某些方法却不能实施真实背景下，某些方法却不能实施. .如因为没有足如因为没有足 够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性以，有些方法会有局限性. . 上面介绍的问题就是上面介绍的问题就是 用以前的方法所不能解决的用以前的方法所不能解决的. . 今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学 实践中的重要应用，首先研究如何测量距离实践中的重要应用，首先研究如何测量距离. . 1.1.
5、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解 决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测 量相关术语量相关术语. .( (重点、难点重点、难点) ) 2.2.激发学生学习数学的兴趣激发学生学习数学的兴趣, ,并体会数学的应用并体会数学的应用 价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题 意和应用转化思想解决数学问题的能力意和应用转化思想解决数学问题的能力. . 例例1.1.设设A,BA,B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离两点在河的两岸，要测量两点之间的距离. . 测量者在测
6、量者在A A的同测，在所在的河岸边选定一点的同测，在所在的河岸边选定一点C C，测，测 出出ACAC的距离是的距离是55m55m，BACBAC5151， ACBACB7575， 求求A A，B B两点间的距离（精确到两点间的距离（精确到0.1m0.1m）. . 探究点探究点1 1 关于测量从一个可到达的点到一个不可到关于测量从一个可到达的点到一个不可到 达的点之间的距离的问题达的点之间的距离的问题 解：解：根据正弦定理，得根据正弦定理，得 答：答：A,BA,B两点间的距离为两点间的距离为65.765.7米米. . oooo oooooooo ABACABAC = = sinsinACBsinA
7、CBsinABCABC ACsinACsinACB55sinACB55sinACBACB AB =AB = sinsinABCsinABCsinABCABC 55sin7555sin7555sin7555sin75 =65.7(m)=65.7(m) sin(180 -51 -75 )sin54sin(180 -51 -75 )sin54 分析：分析：已知两角一边，可以用正弦定理解三角形已知两角一边，可以用正弦定理解三角形. . ABACABAC sinCsinBsinCsinB 一艘船以一艘船以32.2 n mile / h32.2 n mile / h的速度向的速度向 正北航行正北航行. .
8、在在A A处看灯塔处看灯塔S S在船的北偏东在船的北偏东 2020o o的方向，的方向，30 min30 min后航行到后航行到B B处，在处，在B B 处看灯塔在船的北偏东处看灯塔在船的北偏东6565o o的方向，已的方向，已 知距离此灯塔知距离此灯塔6.5 n mile 6.5 n mile 以外的海区以外的海区 为航行安全区域，这艘船可以继续沿正为航行安全区域，这艘船可以继续沿正 北方向航行吗？北方向航行吗？ 【变式练习变式练习】 设点线为则 为继续 继续 在ASB中，SBA115， S=45，由正弦定理得 ABsin20 16.1sin20 SB = sin45sin45 7.787(
9、n mile). S到直AB的距离h, h =SBsin65 7.06(n mile). 因h6.5 n mile,所以此船可以 沿正北方向航行 答：此船可以沿正北方 解： 向航行. 例例2 2 如图，如图，A A，B B两点都在河的对岸两点都在河的对岸( (不可到达不可到达) )， 设计一种测量设计一种测量A A，B B两点间距离的方法两点间距离的方法. . A A B B 探究点探究点2 2 关于测量关于测量两个都不可两个都不可到达的点之间的距到达的点之间的距 离的问题离的问题 分析：分析：这是例这是例1 1的变式题，研究的是两个不可到达的变式题，研究的是两个不可到达 的点之间的距离测量问
10、题的点之间的距离测量问题. . A A B B 首先需要构造三角形，所以需要确定首先需要构造三角形，所以需要确定C C，D D两点两点. . 用例用例1 1的方法，可以计算出河的这一岸的一点的方法，可以计算出河的这一岸的一点C C到到 对岸两点的距离，再测出对岸两点的距离，再测出BCABCA的大小，借助于余的大小，借助于余 弦定理可以计算出弦定理可以计算出A A，B B两点间的距离两点间的距离. . C C D D A A B B 解：解：测量者可以在河岸边选定两点测量者可以在河岸边选定两点C C，D D，测得，测得CD=aCD=a， 并且在并且在C C，D D两点分别测得两点分别测得BCA=
11、BCA=, ACD=, ACD=, , CDB=CDB=, BDA=, BDA=. .在在ADCADC和和BDCBDC中，应用正弦中，应用正弦 定理得定理得 D D C C sin() sin 180() sin() sin() a AC a 180 asinasin BC sin()sin() 计算出计算出ACAC和和BCBC后，再在后，再在ABCABC中，应用余弦定理中，应用余弦定理 计算出计算出ABAB两点间的距离两点间的距离 22 2cosABACBCACBC 【总结提升总结提升】 在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找 到多种解决问题的方案，
12、但有些过程较烦琐，如何到多种解决问题的方案，但有些过程较烦琐，如何 找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特 点，结合题目条件来选择最佳的计算方式点，结合题目条件来选择最佳的计算方式. . 我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线， 如例如例1 1中的中的ACAC，例，例2 2中的中的CD.CD. 在测量过程中在测量过程中, ,要根据实际需要选取合适的要根据实际需要选取合适的 基线长度基线长度, ,使测量具有较高的精确度使测量具有较高的精确度. . 一般来说一般来说, ,基线越长基线越长, ,测量的精确度越高
13、测量的精确度越高. . 思考：思考：你还能找出生活中这样的例子吗？你还能找出生活中这样的例子吗？ 基线：基线： A B C D 为了测定河对岸两点为了测定河对岸两点A，B间的距离间的距离,在岸边选定在岸边选定1千千 米长的基线米长的基线CD,并测得并测得ACD=90o, BCD=60o， BDC=75o，ADC=30o，求，求A，B两点的距离两点的距离. 【变式训练变式训练】 . 2222 CD2 3CD2 3 AD =；AD =； sin603sin603 CDsin606CDsin606 BD =;BD =; sin(180 -60 -75 )2sin(180 -60 -75 )2 AB
14、=AD +BD -2AB =AD +BD -2ADADBDBDcos(75 -30cos(75 -30 解解 ) ) 3030 = = 6 6 : : A B C D 1.（2015 广东广东高考高考）设设 ABC 的内角的内角 A，B，C 的对的对 边分别为边分别为 a，b，c，若，若 3a ， 1 sin 2 B ， 6 C ，则，则 b . 1 1 【解析】因为【解析】因为 1 sin 2 B 且且 0,B ，所以，所以 6 B 或或 5 6 B ， 又， 又 6 C ， 所以， 所以 6 B ， 2 3 ABC ， 又又 3a ， 由 正 弦 定 理 得， 由 正 弦 定 理 得 si
15、nsin ab AB 即即 3 2 sinsin 36 b 解得解得 1b ，故应填入，故应填入 1 2.（2015 重庆高考重庆高考）在在 ABC 中，中，B=120 o ，AB= 2 ， A 的角平分线的角平分线 AD= 3 ,则则 AC=_. 【 解 析 】 由 正 弦 定 理 得【 解 析 】 由 正 弦 定 理 得 sinsin ABAD ADBB ， 即， 即 23 sinsin120ADB ，解得，解得 2 sin 2 ADB ， 45ADB ， 从 而， 从 而 15BADDAC ， 所 以， 所 以 1801203030C ， ， 2cos306ACAB . 6 3 3自动卸
16、货汽车的车厢采用液压机构自动卸货汽车的车厢采用液压机构. .设计时需要计设计时需要计 算油泵顶杆算油泵顶杆BCBC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是6060， 油泵顶点油泵顶点B B与车厢支点与车厢支点A A之间的距离为之间的距离为1.95m1.95m，ABAB与水平与水平 线之间的夹角为线之间的夹角为6 62020，ACAC长为长为1.40m1.40m，计算，计算BCBC的长的长 （精确到（精确到0.01m0.01m） 分析：分析：（1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度 最大角度最大角度 最大角度最大角度 最大角度最大角度 （2 2）题目中涉及一个怎
17、样的）题目中涉及一个怎样的 三角形？三角形？ C A B 最大角度最大角度 最大角度最大角度 最大角度最大角度 最大角度最大角度 问题转化为：已知问题转化为：已知ABCABC中，中，ABAB1.95m1.95m，ACAC 1.40m1.40m，夹角，夹角CABCAB66662020，求，求BCBC 解：解：由余弦定理由余弦定理，得得 答：答：顶杆顶杆BCBC约长约长1.89m. 1.89m. C A B 222222 22o22o BC = AB +AC -2BC = AB +AC -2ABABACACcos CABcos CAB =1.95 +1.40 -2 =1.95 +1.40 -21.
18、951.951.401.40cos66 20cos66 20 3.571 3.571 所 所以以 BC1.89(m) BC1.89(m) 解斜三角形应用题的一般步骤：解斜三角形应用题的一般步骤： (1)(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出分析：理解题意，分清已知与未知，画出 示意图示意图. . (2)(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知建模：根据已知条件与求解目标，把已知 量与求解量尽量集中在有关的三角量与求解量尽量集中在有关的三角 形中，建立一个解斜三角形的数学形中，建立一个解斜三角形的数学 模型模型. . (3)(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解 出三角形，求得数学模型的解出三角形，求得数学模型的解. . (4)(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意检验：检验上述所求的解是否符合实际意 义，从而得出实际问题的解义，从而得出实际问题的解. . 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。
