1、第2课时 数列的通项公式与递推公式 【知识提炼知识提炼】 数列的递推公式数列的递推公式 如果已知数列如果已知数列aan n 的第的第1 1项项( (或前几项或前几项) )，且任何一项，且任何一项a an n 与与_间的关系可以用一个公式来间的关系可以用一个公式来 表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. . 它的前一项它的前一项( (或前几项或前几项) ) 【即时小测即时小测】 1.1.思考下列问题思考下列问题 (1)(1)所有数列都有递推公式吗？所有数列都有递推公式吗？ 提示：提示：不一定不一定. .例如例如 精确到精确到1 1，0.10.1，0
2、.010.01， 0.0010.001，的不足近似值排列成一列数：的不足近似值排列成一列数：1 1，1.41.4，1.411.41， 1.4141.414，没有递推公式没有递推公式. . 2 (2)(2)仅由数列仅由数列aan n 的关系式的关系式a an n=a=an n- -1 1+2(n2+2(n2，nNnN* *) )就能就能 确定这个数列吗？确定这个数列吗？ 提示：提示：不能不能. .数列的递推公式是由初始值和相邻几项的数列的递推公式是由初始值和相邻几项的 递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那 么这个数列是不能确定的么这个数列是
3、不能确定的. . 2.2.已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 100，且，且a an+1 n+1= a = an n，则数列，则数列aan n 是是( ( ) ) A.A.递增数列递增数列 B.B.递减数列递减数列 C.C.常数列常数列 D.D.摆动数列摆动数列 【解析解析】选选B.B.由由a a1 100，且，且a an+1 n+1= a = an n， 则则a an n00，又，又 11，所以，所以a an+1 n+1a an n. . 因此数列因此数列aan n 为递减数列为递减数列. . 1 2 1 2 n 1 n a1 a2 3.3.数列数列 的递推公式可以是的递推公式可以
4、是( ( ) ) A.aA.an n= (nN= (nN* *) B.a) B.an n= (nN= (nN* *) ) C.aC.an+1 n+1= a = an n(nN(nN* *) D.a) D.an+1 n+1=2a =2an n(nN(nN* *) ) 【解析解析】选选C.C.数列从第二项起，后一项是前一项的数列从第二项起，后一项是前一项的 ，故递推公式为，故递推公式为a an+1 n+1= a = an n(nN(nN* *).). 1 1 1 1 2 4 8 16 ， ， n 1 1 2 n 1 2 1 2 1 2 1 2 4.4.在数列在数列aan n 中，已知中，已知a a
5、1 1=1=1，a an n= (n2)= (n2)，则，则 a a5 5=_.=_. 【解析解析】由由a a1 1=1=1，a an n= = 得得a a2 2=2=2，a a3 3= = ，a a4 4= = ， a a5 5= .= . 答案：答案： n 1 1 1 a n 1 1 1 a 3 2 5 3 8 5 8 5 5.5.若数列若数列aan n 中，中，a a1 1=2=2，且，且a an+1 n+1= (n = (n是正整数是正整数) )，则数，则数 列的通项公式列的通项公式a an n=_.=_. 【解析解析】a a1 1=2=2，a a2 2=2=22 2，a a3 3=2
6、=24 4，a a4 4=2=28 8，猜想，猜想a an n= = 答案：答案： 2 n a n 1 2 2. n 1 2 2 【知识探究知识探究】 知识点知识点 递推公式递推公式 观察图形，根据下面的说明，回答问观察图形，根据下面的说明，回答问 题：题： 某剧场有某剧场有9 9排座位，第一排有排座位，第一排有7 7个座位，从第二排起，个座位，从第二排起， 后一排都比前一排多后一排都比前一排多2 2个座位个座位( (如图如图).). 问题问题1 1：写出前五排座位数，并考虑第：写出前五排座位数，并考虑第n n排与第排与第n+1n+1排座排座 位数有何关系，第位数有何关系，第n n排座位数排座
7、位数a an n与第与第n+1n+1排座位数排座位数a an+1 n+1能 能 用等式表示吗？用等式表示吗？ 问题问题2 2：由递推公式给出一个数列需具备几个条件？：由递推公式给出一个数列需具备几个条件？ 【总结提升总结提升】 1.1.由递推公式给出一个数列的两个条件由递推公式给出一个数列的两个条件 用递推公式给出一个数列，必须给出：用递推公式给出一个数列，必须给出： “基础”“基础”数列数列aan n 的第的第1 1项或前几项；项或前几项； 递推关系递推关系数列数列aan n 的任一项的任一项a an n与它的前一项与它的前一项a an n- -1 1 ( (或前几项或前几项) )之间的关系
8、，并且这个关系可以用一个公式之间的关系，并且这个关系可以用一个公式 来表示来表示. . 2.2.通项公式与递推公式的异同点通项公式与递推公式的异同点 不同点不同点 相同点相同点 通项通项 公式公式 可根据某项的序号，直可根据某项的序号，直 接用代入法求出该项接用代入法求出该项 都可确定一个数列，都可确定一个数列， 都可求出数列的任何都可求出数列的任何 一项一项 递推递推 公式公式 可根据第可根据第1 1项或前几项的项或前几项的 值，通过一次或多次赋值，通过一次或多次赋 值逐项求出数列的项，值逐项求出数列的项， 直至求出所需的项直至求出所需的项 都可确定一个数列，都可确定一个数列， 都可求出数列
9、的任何都可求出数列的任何 一项一项 【题型探究题型探究】 类型一类型一 由递推公式写数列的项由递推公式写数列的项 【典例典例】1.(20151.(2015广州高二检测广州高二检测) )在数列在数列aan n 中，已中，已 知知a a1 1= = ，a an n=(=(- -1)1)n n2a2an n- -1 1(n2)(n2)，则，则a a4 4等于等于( ( ) ) A.A.- -2 2 B.2B.2 C.C.- -4 4 D.4D.4 1 2 2.2.已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=1=1，以后的各项由公式，以后的各项由公式a an+1 n+1= = 给出，试写出这个数
10、列的前给出，试写出这个数列的前5 5项项. . n n 2a a2 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，已知中，已知a a1 1，怎样求，怎样求a a2 2？进而怎？进而怎 样求样求a a3 3，a a4 4？ 提示：提示：在递推公式中令在递推公式中令n=2n=2，3 3，4 4，结合，结合a a1 1的值即可以的值即可以 求出数列的前几项求出数列的前几项. . 2.2.典例典例2 2中求数列前中求数列前5 5项的关键是什么？项的关键是什么？ 提示：提示：关键是利用关键是利用a a1 1及递推关系求解及递推关系求解. . 【解析解析】1.1.选选C.C.对对n n依次取依次取2 2，
11、3 3，4 4得得 a a2 2=(=(- -1)1)2 22 2 =1=1， a a3 3=(=(- -1)1)3 32 21=1=- -2 2，a a4 4=(=(- -1)1)4 42 2( (- -2)=2)=- -4.4. 1 2 2.2.因为因为a a1 1=1=1，a an+1 n+1= = ，所以，所以a a2 2= = a a5 5= = 故该数列的前故该数列的前5 5项为项为 n n 2a a2 1 1 2a2 a23 ， 32 34 23 21 22 2a2a12 32 aa 21 a22a25 22 32 ， 4 4 2 2 2a1 5 . 2 a23 2 5 2 1
12、2 1 1. 3 2 5 3 ， 【延伸探究延伸探究】若典例若典例2 2中“中“a an+1 n+1= ” = ”变为变为 “a an+1 n+1= ” = ”，其他条件不变，结论如何？，其他条件不变，结论如何？ n n 2a a2 n n 3a a2 【解析解析】因为因为a a1 1=1=1，a an+1 n+1= = ，所以，所以a a2 2= =1= =1， a a3 3= =1= =1，a a4 4=1=1，a a5 5=1.=1. 故该数列的前故该数列的前5 5项为项为1 1，1 1，1 1，1 1，1.1. n n 3a a2 1 1 3a a2 2 2 3a a2 【方法技巧方法
13、技巧】由递推公式写出数列的项的方法由递推公式写出数列的项的方法 (1)(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公 式中各部分的关系，依次代入计算即可式中各部分的关系，依次代入计算即可. . (2)(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的 项表示前面的项的形式项表示前面的项的形式. . (3)(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的 项表示后面的项的形式项表示后面的项的形式. . 【变式训练变式训练】(2015(2015西安高二检测西安高
14、二检测) )数列数列aan n 满足满足 a an+1 n+1= = ，若，若a a1 1= = ，则，则a a2 014 2 014=( =( ) ) nn n 1n 1 2a 0a 2 1 2aa1 2 ， ， ， 3 5 1234 A.B.C.D. 5555 【解析解析】选选A.A.因为因为a a1 1= = ，所以，所以a a2 2=2a=2a1 1- -1= 1= ， 所以所以a a3 3=2a=2a2 2= = ，a a4 4=2a=2a3 3= = ， 所以所以a a5 5=2a=2a4 4- -1= 1= ，a a6 6=2a=2a5 5- -1= 1= ， a a7 7=2a
15、=2a6 6= = ，a a8 8=2a=2a7 7= = ， 所以所以a an+4 n+4=a =an n，nNnN* *，所以，所以a a2014 2014=a =a4 4 503+2503+2=a =a2 2= .= . 31 52 1 5 2 5 4 5 3 5 1 5 2 5 4 5 1 5 【补偿训练补偿训练】数列数列aan n 中中a a1 1=1=1，a a2 2=3=3， - -a an n- -1 1aan+1 n+1= = ( (- -1)1)n n- -1 1(n2)(n2)，那么，那么a a4 4=_.=_. 【解析解析】令令n=2n=2，得，得 - -a a1 1a
16、 a3 3= =- -1 1，所以，所以a a3 3=10.=10. 令令n=3n=3，得，得 - -a a2 2a a4 4=(=(- -1)1)2 2，所以，所以a a4 4=33.=33. 答案：答案：3333 2 n a 2 2 a 2 3 a 类型二类型二 由数列的递推公式求通项公式由数列的递推公式求通项公式 【典例典例】1.1.已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=1=1，a an n=a=an n- -1 1+ + (n2)(n2)，则，则a an n=_.=_. 2.2.已知数列已知数列aan n 中，中，a a1 1=1=1，且，且a an+1 n+1=3a =3
17、an n(nN(nN* *).). (1)(1)写出这个数列的前写出这个数列的前5 5项项. . (2)(2)猜想数列猜想数列aan n 的通项公式并加以证明的通项公式并加以证明. . 1 n(n 1) 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，可对递推公式作何种变形？中，可对递推公式作何种变形？ 提示：提示：将递推公式作移项，将其变形为将递推公式作移项，将其变形为a an n- -a an n- -1 1= = 再分别令再分别令n=2n=2，3 3，4 4，n n- -1 1，n n后将后将 这这n n- -1 1个等式相加个等式相加. . 111 n(n 1)n 1n ， 2.2.典例
18、典例2 2中，递推公式反映了数列有何特征？中，递推公式反映了数列有何特征？ 提示：提示：将将a an+1 n+1=3a =3an n变形为变形为 =3=3，数列中后一项与前一，数列中后一项与前一 项的比是常数项的比是常数3.3. n 1 n a a 【解析解析】1.1.由由a an n=a=an n- -1 1+ (n2)+ (n2)，可得，可得， a an n- -a an n- -1 1= (n2)= (n2)， 所以所以a a2 2- -a a1 1=1=1- - ，a a3 3- -a a2 2= = - - ，a a4 4- -a a3 3= = - - ， a an n- -a a
19、n n- -1 1= = 将各式累加得将各式累加得a an n- -a a1 1=1=1- - ，又因为，又因为a a1 1=1=1，所以，所以a an n=2=2- - . . 又又a a1 1=2=2- - =1=1，符合上式，所以，符合上式，所以a an n=2=2- - . . 答案：答案：2 2- - 1 n(n 1) 111 n(n 1)n 1n 1 2 1 2 1 3 1 3 1 4 11 n 1n ， 1 n 1 n 1 1 1 n 1 n 2.(1)2.(1)因为因为a a1 1=1=1，且，且a an+1 n+1=3a =3an n 所以所以a a2 2=3=31=31=3
20、1 1，a a3 3=3=33=33=32 2， a a4 4=3=39=39=33 3，a a5 5=3=327=327=34 4. . (2)(2)由由(1)(1)猜想数列猜想数列aan n 的通项公式的通项公式a an n=3=3n n- -1 1(nN(nN* *).). 证明：因为证明：因为a an n=3a=3an n- -1 1(n2)(n2)，所以，所以 =3=3， 所以所以 =3=3n n- -1 1， 又又a a1 1=1=1，符合上式，所以，符合上式，所以a an n=3=3n n- -1 1(nN(nN* *).). n n 1 a a nn 12 n 1n 21 aa
21、a aaa 【延伸探究延伸探究】 1.(1.(变换条件变换条件) )若典例若典例2 2中“中“a a1 1=1=1，且，且a an+1 n+1=3a =3an n”变为变为 “a a1 1=2=2，且，且a an+1 n+1= a = an n”，则通项公式如何？，则通项公式如何？ 1 3 【解析解析】因为因为a an n= a= an n- -1 1(n2)(n2)，所以，所以 所以所以 所以所以a an n=2=2 又又a a1 1=2=2，符合上式，所以，符合上式，所以a an n=2=2 (nN(nN* *).). n n 1 a1 a3 ， n 1 nn 12 n 1n 21 aaa
22、1 ( ) aaa3 ， n 1 1 ( ). 3 n 1 1 ( ) 3 1 3 2.(2.(变换条件变换条件) )若典例若典例2 2中“中“a an+1 n+1=3a =3an n”变为“变为“a an+1 n+1= = aan n”，通项公式如何？，通项公式如何？ 【解析解析】方法一：累乘法方法一：累乘法 因为因为 所以所以 所以所以 又因为又因为a a1 1=1=1，所以，所以a an n= = n n 1 n 1 n an an 1 ， 3524n 1234n 1 aaaaa1234n 1 aaaaa2345n ， n 1 a1 . an 1 11 a. nn 方法二：迭代法方法二：
23、迭代法 因为因为a an+1 n+1= a = an n，所以，所以a an n= = a an n- -1 1= = a an n- -2 2= = a an n- -3 3= = a a1 1= a= a1 1. . 又因为又因为a a1 1=1=1，所以，所以a an n= .= . n n 1 n 1 n n 1 n n2 n 1 n 1 n n2 n 1 n3 n2 n 1 n n2 n 1 n3 n2 1 2 1 n 1 n 方法三：构造特殊数列法方法三：构造特殊数列法 因为因为 ，所以，所以(n+1)a(n+1)an+1 n+1=na =nan n， 所以数列所以数列nanan
24、n 是常数列，是常数列， 所以所以nanan n=1=1a a1 1=1=1，所以，所以a an n= .= . n 1 n an an 1 1 n 【方法技巧方法技巧】 1.1.由递推公式写出通项公式的步骤由递推公式写出通项公式的步骤 (1)(1)先根据递推公式写出数列的前几项先根据递推公式写出数列的前几项( (至少是前至少是前3 3项项).). (2)(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项 统一形式统一形式. . (3)(3)写出一个通项公式并证明写出一个通项公式并证明. . 2.2.递推公式的常见类型及通项公式的求法递推公式的常见类
25、型及通项公式的求法 (1)(1)求形如求形如a an+1 n+1=a =an n+f(n)+f(n)的通项公式的通项公式. . 将原来的递推公式转化为将原来的递推公式转化为a an+1 n+1- -a an n=f(n) =f(n)，再用累加法，再用累加法 ( (逐差相加法逐差相加法) )求解，即求解，即a an n=a=a1 1+(a+(a2 2- -a a1 1)+(a)+(a3 3- -a a2 2)+(a)+(an n- - a an n- -1 1)=a)=a1 1+f(1)+f(2)+f(3)+f(n+f(1)+f(2)+f(3)+f(n- -1).1). (2)(2)求形如求形如
26、a an+1 n+1=f(n)a =f(n)an n的通项公式的通项公式. . 将原递推公式转化为将原递推公式转化为 =f(n)=f(n)，再利用累乘法，再利用累乘法( (逐商逐商 相乘法相乘法) )求解，即由求解，即由 =f(1)=f(1)， =f(2)=f(2)， = = f(nf(n- -1)1)，累乘可得，累乘可得 =f(1)f(2)f(n=f(1)f(2)f(n- -1).1). n 1 n a a 2 1 a a 3 2 a a n n 1 a a n 1 a a 【补偿训练补偿训练】在数列在数列aan n 中，中，a a1 1=2=2，且，且a an+1 n+1=a =an n+
27、 + loglog2 2(1+ )(1+ )，则，则a an n=_.=_. 1 n 【解析解析】由由a an+1 n+1=a =an n+log+log2 2(1+ )(1+ )知，知， a an+1 n+1- -a an n=log =log2 2(1+ )(1+ )， 则则a a2 2- -a a1 1=log=log2 2( )( )，a a3 3- -a a2 2=log=log2 2( )( )， a a4 4- -a a3 3=log=log2 2( )( )， a an n- -a an n- -1 1=log=log2 2( ).( ). 1 n 1 n 2 1 3 2 4
28、3 1 n 1 累加得累加得，a an n- -a a1 1=log=log2 2( )( ) +log+log2 2( )( ) +log+log2 2( )( ) + + +log+log2 2( )( ) =log=log2 2( )( )=log=log2 2n n， 所以所以a an n=2+log=2+log2 2n.n. 答案：答案：2+log2+log2 2n n 2 1 3 2 4 3 1 n 1 34n 2 23n 1 易错案例易错案例 由递推公式求数列中的项由递推公式求数列中的项 【典例典例】(2015(2015烟台高二检测烟台高二检测) )在数列在数列aan n 中，若
29、中，若 a a1 1=2=2，且对所有，且对所有nNnN* *满足满足a an n=a=an+1 n+1+2 +2，则，则a a2016 2016=_. =_. 【失误案例失误案例】 【错解分析错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：提示：求通项公式时，采用累加法漏掉了求通项公式时，采用累加法漏掉了a a1 1，错解为，错解为 a an n= =- -2n+2.2n+2. 【自我矫正自我矫正】由题意知由题意知a an+1 n+1- -a an n= =- -2 2， ， 所以所以a an n=(a=(an n- -a an n- -1 1)+(a)+(
30、an n- -1 1- -a an n- -2 2)+(a)+(an n- -2 2- -a an n- -3 3)+)+(a+(a2 2- - a a1 1)+a)+a1 1 = =- -2(n2(n- -1)+2=1)+2=- -2n+42n+4， 所以所以a a2 016 2 016= =- -2 2 2 016+4=2 016+4=- -4 028.4 028. 答案：答案：- -4 0284 028 【防范措施防范措施】解决与递推公式相关问题的两个关注点解决与递推公式相关问题的两个关注点 (1)(1)明确递推公式类型：因为数列是一个特殊的函数，明确递推公式类型：因为数列是一个特殊的函
31、数， 有时可以借助于函数知识，记住类型找方法，如本例有时可以借助于函数知识，记住类型找方法，如本例 中中a an+1 n+1- -a an n= =- -2 2即为 即为a an+1 n+1- -a an n=f(n) =f(n)的类型，求通项公式时的类型，求通项公式时 要写成要写成a an n=(a=(an n- -a an n- -1 1)+(a)+(an n- -1 1- -a an n- -2 2)+(a)+(an n- -2 2- -a an n- -3 3)+(a)+(a2 2- - a a1 1)+a)+a1 1的形式的形式. . (2)(2)明确项数：在采用“累加法”或“累乘法”时，要明确项数：在采用“累加法”或“累乘法”时，要 注意有多少项注意有多少项. .如本题中，采用累加法共有如本题中，采用累加法共有(n(n- -1)1)个个- -2 2， 而不是而不是n n个个. .
