1、2.5 等比数列的前n项和 第1课时 等比数列的前n项和 【知识提炼知识提炼】 等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式 1 na 1 na 1n aa q 1q n 1 a (1q ) 1q 【即时小测即时小测】 1.1.判断判断 (1)(1)求等比数列的前求等比数列的前n n项和可以直接套用公式项和可以直接套用公式 ( ( ) ) (2)(2)等比数列的前等比数列的前n n项和不可以为项和不可以为0.(0.( ) ) (3)(3)数列数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n=a=an n+b(a0+b(a0，a1)a1)，则数，则数 列列aan n 一定是等比数列一定是
2、等比数列.(.( ) ) n 1 n a (1 q ) S. 1 q 【解析解析】(1)(1)不正确不正确. .只有当公比不等于只有当公比不等于1 1时，才可以用时，才可以用 这个公式求和这个公式求和. . (2)(2)不正确不正确. .当公比等于当公比等于- -1 1，n n为偶数时，前为偶数时，前n n项和为项和为0.0. (3)(3)不正确不正确. .根据和与项的关系，当根据和与项的关系，当n2n2时，时，a an n=a=an n- -a an n- -1 1 =a=an n- -1 1(a(a- -1)1)，因为，因为a a不等于不等于0 0和和1 1，所以从第二项起，所以从第二项起
3、aan n 一定为等比数列，若一定为等比数列，若b=b=- -1 1，则该数列，则该数列aan n 为等比数列，为等比数列， 否则不是否则不是. . 答案：答案：(1)(1) (2)(2) (3)(3) 2.2.等比数列等比数列aan n 中，首项中，首项a a1 1=8=8，公比，公比q= q= ，那么它的，那么它的 前前5 5项的和项的和S S5 5的值是的值是( ( ) ) 【解析解析】选选A. A. 1 2 31333537 A. B. C. D. 2222 5 5 1 81 ( ) 31 2 S. 1 2 1 2 3.3.等比数列等比数列1 1，x x，x x2 2，x x3 3，（
4、x0x0）的前）的前n n项和项和S Sn n为为 ( ( ) ) nn 1 nn 1 1 x1 x A. B. 1 x1 x 1 x1 x (x1)(x1) C. D.1 x1 x n x1n x1 ， 【解析解析】选选C.C.当当x=1x=1时，时，S Sn n=1+1+=1+1+1=n+1=n， 当当x1x1时，时，S Sn n=1+x+x=1+x+x2 2+ +x+xn n= .= . n 1 x 1 x 4.4.等比数列等比数列aan n 中，若中，若a a1 1=1=1，a ak k=243=243，公比，公比q=3q=3，则，则 S Sk k=_.=_. 【解析解析】S Sk k
5、= =364.= =364. 答案：答案：364364 1 243 3 1 3 5.5.若一个等比数列若一个等比数列aan n 的前的前4 4项的和为项的和为 ，公比为，公比为 ， 则其首项则其首项a a1 1为为_._. 【解析解析】由题知由题知 所以所以a a1 1=1.=1. 答案：答案：1 1 15 8 1 2 4 1 1 a 1 ( ) 15 2 . 1 8 1 2 【知识探究知识探究】 知识点知识点1 1 等比数列前等比数列前n n项和公式项和公式 观察图形观察图形，回答下列问题：回答下列问题： 问题问题1 1：你会计算：你会计算1+2+21+2+22 2+2+23 3+ +2+2
6、63 63吗？等比数列的前 吗？等比数列的前n n 项和公式中涉及哪些量？如何计算？项和公式中涉及哪些量？如何计算？ 问题问题2 2：如何从函数观点研究等比数列前：如何从函数观点研究等比数列前n n项和公式？项和公式？ 【总结提升总结提升】 1.1.对等比数列前对等比数列前n n项和公式的三点说明项和公式的三点说明 (1)(1)求和公式中是求和公式中是q qn n，通项公式中是，通项公式中是q qn n- -1 1，不要混淆，不要混淆. . (2)(2)应用求和公式时注意公比应用求和公式时注意公比q q的取值，必要时应讨论的取值，必要时应讨论 q1q1和和q=1q=1的情况的情况. . (3)
7、(3)利用方程思想在利用方程思想在a a1 1，q q，n n，S Sn n和和a a1 1，a an n，q q，S Sn n中，中， 各已知三个量可求第四个量各已知三个量可求第四个量. . 2.2.函数观点下的等比数列前函数观点下的等比数列前n n项和公式项和公式 (1)(1)若数列若数列aan n 是非常数列的等比数列，则其前是非常数列的等比数列，则其前n n项和项和 公式为：公式为：S Sn n= =- -AqAqn n+A(A0+A(A0，q0q0，q1q1，nNnN* *).). (2)(2)注意到指数式的系数和常数项互为相反数，且注意到指数式的系数和常数项互为相反数，且A= A=
8、 1 a . 1 q (3)(3)当当q1q1时，数列时，数列S S1 1，S S2 2，S S3 3，S Sn n，的图象是的图象是 函数函数y=y=- -AqAqx x+A+A图象上一群孤立的点图象上一群孤立的点. . 当当q=1q=1时，数列时，数列S S1 1，S S2 2，S S3 3，S Sn n，的图象是正比的图象是正比 例函数例函数y=ay=a1 1x x图象上一群孤立的点图象上一群孤立的点. . 知识点知识点2 2 等比数列前等比数列前n n项和的性质项和的性质 观察如图所示内容，回答下列问题：观察如图所示内容，回答下列问题： 问题问题1 1：若等比数列：若等比数列aan n
9、 的前的前n n项和为项和为S Sn n，则，则S Sm+n m+n， ，S Sn n与与 S Sm m(m(m，nNnN* *) )有什么关系？有什么关系？ 问题问题2 2：若等比数列：若等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，则，则S Sn n，S S2n 2n- -S Sn n， ， S S3n 3n- -S S2n2n成等比数列吗？ 成等比数列吗？ 【总结提升总结提升】等比数列前等比数列前n n项和的三个常用性质项和的三个常用性质 (1)(1)数列数列aan n 为公比不为为公比不为- -1 1的等比数列，的等比数列，S Sn n为其前为其前n n项和，项和， 则则
10、S Sn n，S S2n 2n- -S Sn n， ，S S3n 3n- -S S2n2n，仍构成等比数列 ，仍构成等比数列. . (2)(2)若若aan n 是公比为是公比为q q的等比数列，则的等比数列，则S Sn+m n+m=S =Sn n+q+qn nS Sm m(n(n， mNmN* *).). (3)(3)若若aan n 是公比为是公比为q q的等比数列，的等比数列，S S偶 偶， ，S S奇 奇分别是数列 分别是数列 的偶数项的和与奇数项的和，则的偶数项的和与奇数项的和，则 在其前在其前2n2n项中，项中， =q=q； 在其前在其前2n+12n+1项中，项中，S S奇 奇- -S
11、 S偶偶=a =a1 1- -a a2 2+a+a3 3- -a a4 4+ +- -a a2n 2n+a +a2n+1 2n+1 S S 偶 奇 12n 112n 2 aaqaa (q1). 1q1 q 【题型探究题型探究】 类型一类型一 利用公式求等比数列前利用公式求等比数列前n n项和项和 【典例典例】(2015(2015四川高考四川高考) )设数列设数列aan n(n=1(n=1，2 2，3 3，) ) 的前的前n n项和项和S Sn n满足满足S Sn n=2a=2an n- -a a1 1，且，且a a1 1，a a2 2+1+1，a a3 3成等差数列成等差数列. . (1)(1
12、)求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. . (2)(2)设数列设数列 的前的前n n项和为项和为T Tn n，求，求T Tn n. . n 1 a 【解题探究解题探究】本例中如何得到数列本例中如何得到数列aan n 的递推公式？的递推公式？ 若数列若数列aan n 是等比数列，则数列是等比数列，则数列 是等比数列吗？是等比数列吗？ 提示：提示：直接利用前直接利用前n n项和项和S Sn n与通项与通项a an n的关系推出数列的关系推出数列aan n 的递推公式的递推公式. .数列数列aan n 是等比数列，则数列是等比数列，则数列 也是等也是等 比数列比数列. . n 1 a n
13、1 a 【解析解析】(1)(1)当当n2n2时，有时，有a an n=S=Sn n- -S Sn n- -1 1=2a=2an n- -a a1 1- -(2a(2an n- -1 1- -a a1 1) )， 则则a an n=2a=2an n- -1 1(n2)(n2)， =2(n2).=2(n2). 则则aan n 是以是以a a1 1为首项，为首项，2 2为公比的等比数列为公比的等比数列. . 又由题意得又由题意得2a2a2 2+2=a+2=a1 1+a+a3 3， 即即2 22a2a1 1+2=a+2=a1 1+4a+4a1 1，解得，解得a a1 1=2=2，则，则a an n=2
14、=2n n(nN(nN* *).). n n 1 a a (2)(2)由题意得由题意得 (nN(nN* *) )， 由等比数列求和公式得由等比数列求和公式得 n n 11 a2 n n n 11 1 ( ) 1 22 T1 ( ) . 1 2 1 2 【延伸探究延伸探究】 1.(1.(变换条件变换条件) )若将典例中条件“若将典例中条件“S Sn n=2a=2an n- -a a1 1，且，且a a1 1，a a2 2+1+1， a a3 3成等差数列”改为“数列成等差数列”改为“数列aan n 是公比为是公比为q(q1)q(q1)的等比的等比 数列，数列，a a1 1=1”=1”，其他条件不
15、变，试用，其他条件不变，试用S Sn n表示表示T Tn n. . 【解析解析】因为因为S Sn n= = 所以所以T Tn n= = nn 1 a (1 q )1 q 1 q1 q ， n n 1 n 1 n n 1 11 1 ( ) aq1 q S q. 1 q(1 q) 1 q 2.(2.(改变问法改变问法) )典例条件不变，计算典例条件不变，计算a a1 1aa2 2+a+a2 2aa3 3+a+a3 3aa4 4 + +a+an naan+1 n+1. . 【解析解析】因为因为a an n=2=2n n，所以，所以a an naan+1 n+1=2 =2n n22n+1 n+1=2
16、=22n+1 2n+1， ， 所以所以a a1 1a a2 2+a+a2 2a a3 3+a+a3 3a a4 4+ +a+an na an+1 n+1 =2=23 3+2+25 5+ +2+22n+1 2n+1 32n 12 n 2 2228 (41). 1 23 3.(3.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法) )若把典例中条件改为若把典例中条件改为 “a an n= = 求数列求数列aan n 的前的前n n项和项和S Sn n. . 【解析解析】由由a an n= = 可知数列可知数列aan n 的所有奇数项构成以的所有奇数项构成以2 2为首项，以为首项，以2 2为公为公 差的等差数
17、列，所有偶数项构成以差的等差数列，所有偶数项构成以4 4为首项，以为首项，以4 4为公为公 比的等比数列，比的等比数列， n n 1n 2n ， 为正奇数， ， 为正偶数， n n 1n 2n ， 为正奇数， ， 为正偶数， 当当n n为正奇数时，为正奇数时， 当当n n为正偶数时，为正偶数时， n 1 2 n 2n 1 n 1 n 1 (1) n 14(1 4) 22 S22n 1 221 4 171 nn2. 4123 n 2 n 2n n n (1) n4(1 4 ) 2 2 S22 221 4 1n44 n2 4233 ， 所以数列所以数列aan n 的前的前n n项和为项和为 2n
18、1 n 2n 171 nn2n 4123 S 1n44 n2n. 4233 ， 为正奇数， ， 为正偶数 【方法技巧方法技巧】等比数列前等比数列前n n项和公式的基本运算项和公式的基本运算 (1)(1)应用等比数列的前应用等比数列的前n n项和公式时，首先要对公比项和公式时，首先要对公比q=1q=1 或或q1q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨 论论. . (2)(2)当当q=1q=1时，等比数列是常数列，所以时，等比数列是常数列，所以S Sn n=na=na1 1； 当当q1q1时，等比数列的前时，等比数列的前n n项和项和S Sn n有两个公
19、式有两个公式. . 当已知当已知a a1 1，q q与与n n时，用时，用S Sn n= = 比较方便；比较方便； 当已知当已知a a1 1，q q与与a an n时，用时，用S Sn n= = 比较方便比较方便. . n 1 a (1 q ) 1 q 1n aa q 1 q 【补偿训练补偿训练】设等比数列设等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，已知，已知 a a2 2=6=6，6a6a1 1+a+a3 3=30=30，求，求a an n和和S Sn n. . 【解析解析】设数列设数列aan n 的公比为的公比为q q，由题设得，由题设得 当当a a1 1=3=3，q=2
20、q=2时，时，a an n=3=32 2n n- -1 1，S Sn n=3=3(2(2n n- -1)1)； 当当a a1 1=2=2，q=3q=3时，时，a an n=2=23 3n n- -1 1，S Sn n=3=3n n- -1.1. 1 2 11 a q6 6aa q30. ， 11 a3a2 q2q3. ， 解得或 【延伸探究延伸探究】 1.(1.(变换条件变换条件) )若将本题条件“若将本题条件“a a2 2=6=6，6a6a1 1+a+a3 3=30”=30”改为改为 “a a1 1+a+a3 3=10=10，a a4 4+a+a6 6= ”= ”，则结果如何？，则结果如何？
21、 5 4 【解析解析】设公比为设公比为q q， 由已知得由已知得 即即 得得q q3 3= = ，即，即q= q= ， 将将q= q= 代入得，代入得，a a1 1=8=8， 2 11 35 11 aa q10 5 a qa q 4 ， ， 2 1 32 1 a 1 q10 5 a q 1 q 4 ， ， 1 8 1 2 1 2 所以所以 n 14 n n 1 a8 ( )2 2 ， n n n 1 8 1 ( ) 1 2 S16(1). 1 2 1 2 2.(2.(变换条件、改变问法变换条件、改变问法) )若将本题条件“若将本题条件“a a2 2=6=6， 6a6a1 1+a+a3 3=30
22、”=30”改为“改为“4a4a3 3- -a a6 6=0”=0”，试计算，试计算 . . 【解析解析】由由4a4a3 3- -a a6 6=0=0得得q q3 3=4=4， 所以所以 6 3 S S 6 3 6 3 3 S1 q 1 q5. S1 q 类型二类型二 利用公式构建方程利用公式构建方程( (组组) )求关键量求关键量 【典例典例】1.(20151.(2015全国卷全国卷)数列数列aan n 中中a a1 1=2=2，a an+1 n+1=2a =2an n， S Sn n为的前为的前n n项和，若项和，若S Sn n=126=126，则，则n=_.n=_. 2.2.设等比数列设等
23、比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，若，若S S3 3+S+S6 6=S=S9 9，求数列，求数列 aan n 的公比的公比q q的值的值. . 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，数列中，数列aan n 是等比数列吗？求是等比数列吗？求 n n的基本思路是什么？的基本思路是什么？ 提示：提示：由由a an+1 n+1=2a =2an n确定数列确定数列aan n 为首项为首项a a1 1=2=2，公比，公比q=2q=2的的 等比数列等比数列. .根据根据S Sn n=126=126列方程求列方程求n.n. 2.2.典例典例2 2中，是否可以直接利用公式中，是否
24、可以直接利用公式S Sn n= = 根据条件根据条件S S3 3+S+S6 6=S=S9 9转化为关于转化为关于q q的方程求解？的方程求解？ 提示：提示：不可以不可以. .应分应分q=1q=1和和q q1 1两种情况讨论两种情况讨论. . n 1 a (1 q ) 1 q ， 【解析解析】 1.1.因为因为 =2=2，所以数列，所以数列aan n 是首项是首项a a1 1=2=2，公比，公比q=2q=2的的 等比数列，等比数列，S Sn n= =126= =126，即，即2 2n+1 n+1=128 =128，解得，解得n=6.n=6. 答案：答案：6 6 n 1 n a a n 2 1 2
25、 1 2 2.2.若若q=1q=1，则，则S S3 3=3a=3a1 1，S S6 6=6a=6a1 1，S S9 9=9a=9a1 1， 显然满足显然满足S S3 3+S+S6 6=S=S9 9，所以，所以q=1q=1符合题意；符合题意； 若若q1q1，则有，则有 解得解得q=q=- -1 1，所以所求公比，所以所求公比q=q=1.1. 369 111 a 1 qa 1 qa 1 q 1 q1 q1 q ， 【延伸探究延伸探究】典例典例2 2条件“条件“S S3 3+S+S6 6=S=S9 9”改为“改为“S S2 2=7=7， S S6 6=91”=91”，其他条件不变，结果如何？，其他条
26、件不变，结果如何？ 【解析解析】因为因为S S2 2=7=7，S S6 6=91=91，易知，易知q1q1， 所以所以 所以所以 所以所以q q4 4+q+q2 2- -12=012=0，所以，所以q q2 2=3=3，q=q= . . 1 6 1 a 1 q7 a 1 q 91 1 q ， ， 24 1 a 1 q 1 q 1 qq 91 1 q ， 3 【方法技巧方法技巧】等比数列前等比数列前n n项和运算的技巧项和运算的技巧 (1)(1)在等比数列的通项公式和前在等比数列的通项公式和前n n项和公式中，共涉及项和公式中，共涉及 五个量：五个量：a a1 1，a an n，n n，q q，
27、S Sn n，其中首项，其中首项a a1 1和公比和公比q q为基为基 本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答. . (2)(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通 常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整 体代换体代换. . 【变式训练变式训练】等比数列等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，已知，已知 a a1 1+a+an n=66=66，a a2 2a an n- -1 1=128=128，S Sn n=126=126，
28、求，求n n和公比和公比q q的值的值. . 【解析解析】方法一：在等比数列方法一：在等比数列aan n 中，中， a a1 1a an n=a=a2 2a an n- -1 1=128.=128. 又又a a1 1+a+an n=66=66，所以，所以 1n 1n aa66 a a128 ， ， 解得解得 或或 所以所以q1.q1. 由由a an n=a=a1 1q qn n- -1 1和和 1 n a2 a64 ， 1 n a64 a2 ， ， n 1 n a 1 q S126 1 q ， n 1n 1 nn 2q6464q2 2 1 q64 1 q 126126 1 q1 q n6 n6
29、 1 q2q. 2 ， 得或 ， ， ， 解得或 方法二：当方法二：当q=1q=1时，经检验不合适，由题意可得时，经检验不合适，由题意可得 由可得由可得q qn n- -1 1= = 代入，得代入，得 n 1 1 2n 1 1 n 1 a 1 q66 a q128 a 1 q 126 1 q ， ， ， 2 1 128 a ， 1 2 1 128 a (1)66 a ， 化简得化简得a a1 12 2- -66a66a1 1+128=0+128=0， 解得解得a a1 1=2=2或或a a1 1=64.=64. 当当a a1 1=2=2时，得时，得q qn n- -1 1=32=32， 将将a
30、 a1 1=2=2和和q qn n- -1 1=32=32代入，得代入，得 =126=126，解得，解得q=2.q=2. 又又q qn n- -1 1=32=32，即，即2 2n n- -1 1=32=2=32=25 5，所以，所以n=6.n=6. 2 1 32q 1 q 同理，当同理，当a a1 1=64=64时，可解得时，可解得q= q= ，n=6.n=6. 综上所述，综上所述，n n的值为的值为6 6，q=2q=2或或 . . 1 2 1 2 【补偿训练补偿训练】等比数列等比数列aan n 的首项的首项a a1 100，公比，公比q0q0，前，前 n n项和项和S Sn n=80=80，
31、其中最大的一项为，其中最大的一项为5454，前，前2n2n项和项和S S2n 2n= = 6 5606 560，求，求a a1 1和和q.q. 【解析解析】由由S Sn n=80=80，S S2n 2n=6 560 =6 560知知q1.q1. 所以所以 所以所以q qn n=81=81，因为，因为q0q0，所以，所以q1q1，又，又a a1 10.0. n 1 2n 1 a 1 q 80 1 q a 1 q 6 560 1 q ， ， 所以该数列为递增数列所以该数列为递增数列. .所以前所以前n n项中最大的项为项中最大的项为a an n， 所以所以a an n=a=a1 1q qn n-
32、-1 1=54=54，又，又q qn n=81=81，所以，所以3a3a1 1=2q=2q， 将将q qn n=81=81代入得代入得a a1 1=q=q- -1 1，所以，所以a a1 1=2=2，q=3.q=3. 类型三类型三 等比数列前等比数列前n n项和的性质项和的性质 【典例典例】1.(20151.(2015衡水高二检测衡水高二检测) )各项均为正数的等各项均为正数的等 比数列比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，若，若S Sn n=2=2，S S3n 3n=14 =14，则，则S S4n 4n等 等 于于( ( ) ) A.80A.80 B.30B.30 C.2
33、6C.26 D.16D.16 2.2.等比数列等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，已知，已知a a4 4=8=8，且，且 S Sn+1 n+1=pS =pSn n+1+1，则实数，则实数p p的值为的值为( ( ) ) A.1A.1 B.2B.2 C.C. D.4D.4 3.3.一个等比数列的首项是一个等比数列的首项是1 1，项数是偶数项，其奇数项，项数是偶数项，其奇数项 的和为的和为8585，偶数项的和为，偶数项的和为170170，求此数列的公比和项数，求此数列的公比和项数. . 3 4 【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中，可以利用哪个关于等比数列中，可以利
34、用哪个关于等比数列 前前n n项和的性质解题？项和的性质解题？ 提示：提示：利用等比数列中利用等比数列中S Sn n，S S2n 2n- -S Sn n， ，S S3n 3n- -S S2n2n， ，S S4n 4n- -S S3n3n仍 仍 成等比数列的性质解方程求值成等比数列的性质解方程求值. . 2.2.典例典例2 2中，中，S Sn+1 n+1与 与S Sn n有什么关系？有什么关系？ 提示：提示：S Sn+1 n+1=a =a1 1+qS+qSn n. . 3.3.典例典例3 3中，中，S S偶 偶与 与S S奇 奇有什么关系？ 有什么关系？ 提示：提示：S S偶 偶=S =S奇 奇
35、q. q. 【解析解析】1.1.选选B.B.由等比数列性质得，由等比数列性质得， S Sn n，S S2n 2n- -S Sn n， ，S S3n 3n- -S S2n2n， ，S S4n 4n- -S S3n3n仍成等比数列， 仍成等比数列， 则则(S(S2n 2n- -S Sn n) )2 2=S =Sn n(S(S3n 3n- -S S2n2n) )， ， 所以所以(S(S2n 2n- -2) 2)2 2=2=2(14(14- -S S2n 2n). ).又又S S2n 2n0 0，得，得S S2n 2n=6 =6， 又又(S(S3n 3n- -S S2n2n) )2 2=(S =(S2
36、n 2n- -S Sn n)(S )(S4n 4n- -S S3n3n) )， ， 所以所以(14(14- -6)6)2 2=(6=(6- -2)(S2)(S4n 4n- -14). 14).解得解得S S4n 4n=30. =30. 2.2.选选B.B.设等比数列设等比数列aan n 的公比为的公比为q q， 则则S Sn+1 n+1=a =a1 1+qS+qSn n，又因为，又因为S Sn+1 n+1=pS =pSn n+1+1， 所以所以a a1 1+qS+qSn n=pS=pSn n+1+1， 即即( (a a1 1- -1)+(q1)+(q- -p)p)S Sn n=0=0对任意对任
37、意nNnN* *成立，成立， 所以所以a a1 1=1=1，p=qp=q， 又因为又因为a a4 4=8=8，所以，所以1 1p p3 3=8=8，故，故p=2.p=2. 3.3.因为因为S S偶 偶=a =a2 2+a+a4 4+ +a+a2n 2n =a=a1 1q+aq+a3 3q+q+a+a2n 2n- -1 1q q =(a=(a1 1+a+a3 3+ +a+a2n 2n- -1 1)q=S )q=S奇 奇 q q， 所以所以 又又S Sn n=85+170=255=85+170=255， S 170 q2. S85 偶 奇 所以所以2 2n n=256=256， 所以所以n=8.n
38、=8.故公比故公比q=2q=2，项数为，项数为8.8. n n 1 n a 1 q 1 2 S255 1 q1 2 由，得， 【延伸探究延伸探究】若将典例若将典例3 3中“奇数项的和为中“奇数项的和为8585，偶数项，偶数项 的和为的和为170”170”改为“所有项之和是奇数项之和的改为“所有项之和是奇数项之和的3 3倍”，倍”， 其他条件不变，求这个数列的通项公式其他条件不变，求这个数列的通项公式. . 【解析解析】由题意得由题意得S S奇 奇+S +S偶 偶=3S =3S奇 奇， ， 所以所以S S奇 奇+qS +qS奇 奇=3S =3S奇 奇， ， 解得解得q=2q=2，又，又a a1
39、1=1=1， 所以所以a an n=1=12 2n n- -1 1=2=2n n- -1 1. . 【方法技巧方法技巧】等比数列前等比数列前n n项和性质的应用技巧项和性质的应用技巧 (1)(1)在涉及奇数项和在涉及奇数项和S S奇 奇与偶数项和 与偶数项和S S偶 偶时，常考虑其差 时，常考虑其差 或比进行简化运算或比进行简化运算. .若项数为若项数为2n2n，则，则 =q(S=q(S奇 奇 0)0)； 若项数为若项数为2n+12n+1，则，则 =q(S=q(S偶 偶 0).0). S S 偶 奇 1 Sa S 奇 偶 (2)(2)涉及涉及S Sn n，S S2n 2n， ，S S3n 3n
40、， ，的关系或的关系或S Sn n与与S Sm m的关系考虑应的关系考虑应 用以下两个性质用以下两个性质 等比数列前等比数列前n n项和为项和为S Sn n( (且且S Sn n0)0)，则，则S Sn n，S S2n 2n- -S Sn n， ， S S3n 3n- -S S2n2n仍成等比数列，其公比为 仍成等比数列，其公比为q qn n(q(q- -1).1). 等比数列等比数列aan n 的公比为的公比为q q，则，则S Sn+m n+m=S =Sn n+q+qn nS Sm m. . (3)(3)等比数列前等比数列前n n项和的性质是在等比数列的通项公式、项和的性质是在等比数列的通项
41、公式、 前前n n项和公式及等比数列的性质的基础上推得的，因而项和公式及等比数列的性质的基础上推得的，因而 利用有关性质可以简化计算，但利用通项公式、前利用有关性质可以简化计算，但利用通项公式、前n n项项 和公式仍是解答等比数列问题的最基本的方法和公式仍是解答等比数列问题的最基本的方法. . 【变式训练变式训练】设正项等比数列设正项等比数列aan n 的首项的首项a a1 1= = ，前，前n n 项和为项和为S Sn n，且，且2 210 10S S30 30- -(2 (210 10+1)S +1)S20 20+S +S10 10=0 =0，求数列，求数列aan n 的通的通 项公式项公
42、式. . 【解题指南解题指南】解答本题的关键是应用解答本题的关键是应用S S30 30- -S S2020=q =q10 10(S (S20 20- - S S10 10) )简化运算 简化运算. . 1 2 【解析解析】由已知得由已知得2 210 10(S (S30 30- -S S2020)=S )=S20 20- -S S1010， ， 即即2 210 10 q q10 10(S (S20 20- -S S1010)=S )=S20 20- -S S10.10. 因为因为a an n00，所以，所以S S20 20- -S S10100 0，所以，所以2 210 10 q q10 10=
43、1 =1， 所以所以q= .q= .从而从而a an n=( )=( )n n(nN(nN* *).). 1 2 1 2 【补偿训练补偿训练】1.1.已知等比数列已知等比数列aan n 中，中，a a1 1+a+a2 2+a+a3 3=40=40， a a4 4+a+a5 5+a+a6 6=20=20，则前，则前9 9项之和为项之和为_._. 【解析解析】S S3 3=a=a1 1+a+a2 2+a+a3 3=40=40，S S6 6- -S S3 3=a=a4 4+a+a5 5+a+a6 6=20=20， 所以所以S S9 9- -S S6 6=10=10，所以，所以S S9 9=(S=(S
44、9 9- -S S6 6)+(S)+(S6 6- -S S3 3)+S)+S3 3 =10+20+40=70.=10+20+40=70. 答案：答案：7070 2.2.等比数列等比数列aan n 前前8 8项的和为项的和为2424，前，前1616项的和为项的和为3636，则，则 前前2424项的和为项的和为_._. 【解题指南解题指南】利用数列前利用数列前8 8项、第项、第2 2个个8 8项、第项、第3 3个个8 8项的项的 和成等比数列求解和成等比数列求解. . 【解析解析】因为在等比数列因为在等比数列aan n 中，连续中，连续n n项的和仍组成项的和仍组成 等比数列等比数列( (这连续这连续n n项和必须非零才能成立项和必须非零才能成立) )， 所以所以S S8 8，S S16 16- -S S8 8， ，S S24 24- -S S1616成等比数列 成等比数列. . 所以所以(S(S16 16- -S S8 8)
