1、3.3.2 简单的线性规划问题 第1课时 简单的线性规划问题 【知识提炼知识提炼】 线性规划中的基本概念线性规划中的基本概念 名名 称称 定定 义义 目标函数目标函数 要求要求_的函数，叫做目标函数的函数，叫做目标函数 约束条件约束条件 目标函数中的变量所要满足的目标函数中的变量所要满足的_ 最大值或最小值最大值或最小值 不等式不等式( (组组) ) 名名 称称 定定 义义 线性目标函数线性目标函数 如果目标函数是如果目标函数是_，则，则 称为线性目标函数称为线性目标函数 线性约束条件线性约束条件 如果约束条件是如果约束条件是_ _，则称为线性约束条件，则称为线性约束条件 线性规划问题线性规划
2、问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的在线性约束条件下，求线性目标函数的_ _问题，称为线性规划问题问题，称为线性规划问题 关于变量的一次函数关于变量的一次函数 关于变量的一次不等式关于变量的一次不等式 ( (或等式或等式) ) 最最 大值或最小值大值或最小值 名名 称称 定定 义义 最优解最优解 使目标函数达到使目标函数达到_的点的坐标，的点的坐标， 称为问题的最优解称为问题的最优解 可行解可行解 满足线性约束条件的解，叫做可行解满足线性约束条件的解，叫做可行解 可行域可行域 由所有由所有_组成的集合叫做可行域组成的集合叫做可行域 最大值或最小值最大值或最小值 可行解可行解 【即时小测即时
3、小测】 1.1.思考下列问题思考下列问题 (1)(1)最优解表示的点一定是可行域中的孤立的点吗？最优解表示的点一定是可行域中的孤立的点吗？ 提示：提示：不一定不一定. .当线性目标函数对应的直线与可行域多当线性目标函数对应的直线与可行域多 边形的一条边平行时，最优解表示的点可能是一条直边形的一条边平行时，最优解表示的点可能是一条直 线或一条线段线或一条线段. . (2)(2)若将目标函数若将目标函数z=x+yz=x+y看成直线方程时，看成直线方程时，z z具有怎样的具有怎样的 几何意义？几何意义？ 提示：提示：把目标函数整理可得把目标函数整理可得y=y=- -x+zx+z，z z为直线在为直线
4、在y y轴上轴上 的截距的截距. . 2.2.下面给出的四个点中，满足约束条件下面给出的四个点中，满足约束条件 的可行解是的可行解是( ( ) ) A.(0A.(0，2)2) B.(B.(- -2 2，0)0) C.(0C.(0，- -2)2) D.(2D.(2，0)0) xy 10 xy 10 ， 【解析解析】选选C.C.判断已知点是不是满足约束条件的可行判断已知点是不是满足约束条件的可行 解，只需将四个点的坐标代入不等式组解，只需将四个点的坐标代入不等式组 进行验证，若满足则是可行解，否则就不是进行验证，若满足则是可行解，否则就不是. .经验证知经验证知 满足条件的是点满足条件的是点(0(
5、0，- -2).2). xy 10 xy 10 ， 3.3.在约束条件在约束条件 下，目标函数下，目标函数z=10x+yz=10x+y的最优的最优 解是解是( ( ) ) A.(0A.(0，1)1)，(1(1，0)0) B.(0B.(0，1)1)，(0(0，- -1)1) C.(0C.(0，- -1)1)，(0(0，0)0) D.(0D.(0，- -1)1)，(1(1，0)0) xy 10 xy1 x0 ， ， 【解析解析】选选D.D.作出可行域如图，作出可行域如图， 使目标函数取得最大、最小值的点分别是使目标函数取得最大、最小值的点分别是(1(1，0)0)和和(0(0， - -1).1).
6、4.4.将目标函数将目标函数z=2xz=2x- -y y看成直线方程时，则该直线的纵看成直线方程时，则该直线的纵 截距等于截距等于_._. 【解析解析】由目标函数可得由目标函数可得y=2xy=2x- -z z，故该直线的纵截距，故该直线的纵截距 为为- -z.z. 答案：答案：- -z z 5.5.已知已知x x，y y满足约束条件满足约束条件 则则z=2x+4yz=2x+4y的最的最 小值为小值为_._. xy 50 xy0 x3 ， ， ， 【解析解析】画出约束条件所表示的平面区域如图所示：画出约束条件所表示的平面区域如图所示： 作出直线作出直线2x+4y=02x+4y=0，并平移至过点，
7、并平移至过点A A处时处时z=2x+4yz=2x+4y取得取得 最小值最小值. . 由方程组由方程组 得得A(3A(3，- -3)3)， 所以所以z zmin min=2 =23+43+4( (- -3)=3)=- -6.6. 答案：答案：- -6 6 xy0 x3 ， ， 【知识探究知识探究】 知识点知识点 简单的线性规划问题简单的线性规划问题 观察图形，回答下列问题：观察图形，回答下列问题： 问题问题1 1：目标函数与线性目标函数有何不同？：目标函数与线性目标函数有何不同？ 问题问题2 2：可行域所表示的区域是怎样的图形？：可行域所表示的区域是怎样的图形？ 【总结提升总结提升】 1.1.对
8、线性规划有关概念的三点说明对线性规划有关概念的三点说明 (1)(1)线性约束条件包括两点：一是关于变量线性约束条件包括两点：一是关于变量x x，y y的不等的不等 式式( (或等式或等式) )，二是次数为，二是次数为1.1. (2)(2)目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函目标函数与线性目标函数的概念不同，线性目标函 数在变量数在变量x x，y y的次数上作了严格的限定：一次解析式，的次数上作了严格的限定：一次解析式， 即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数. . (3)(3)可行解必须使约束条件成立，而可行域是所有的可可行解必须使约束条件
9、成立，而可行域是所有的可 行解组成的平面区域行解组成的平面区域( (或其内部一些点或其内部一些点) )，可以是封闭，可以是封闭 的多边形，也可以是一侧开放的无穷大的区域的多边形，也可以是一侧开放的无穷大的区域. . 2.2.对目标函数对目标函数z=Ax+By+C(Az=Ax+By+C(A，B B不全为不全为0)0)的理解的理解 当当B0B0时，由时，由z=Ax+By+Cz=Ax+By+C得得y= y= 这样，二元一这样，二元一 次函数就可以视为斜率为次函数就可以视为斜率为- - ，在，在y y轴上截距为轴上截距为 ，且，且 随随z z变化的一组平行线变化的一组平行线. .于是，把求于是，把求z
10、 z的最大值和最小值的最大值和最小值 的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y y轴上轴上 的截距的最大值和最小值的问题的截距的最大值和最小值的问题. . AzC x. BB A B z C B (1)(1)当当B0B0时，时，z z的值随着直线在的值随着直线在y y轴上的截距的增大而轴上的截距的增大而 增大增大. . (2)(2)当当B2时，比如在的位置，此时，比如在的位置，此 时在原点取得最大值不满足题意，当时在原点取得最大值不满足题意，当0 ，故，故a a的取值范围是的取值范围是 答案：答案： 1 2 1 2 1 () 2 ， 1 () 2
11、， 易错案例易错案例 求目标函数的最值求目标函数的最值 【典例典例】(2015(2015福建高考福建高考) )若变量若变量x x，y y满足约束条件满足约束条件 则则z=2xz=2x- -y y的最小值等于的最小值等于 ( )( ) x2y0 xy0 x2y20 ， ， ， 53 A. B. 2 C. D.2 22 【失误案例失误案例】 【错解分析错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：提示：错误的根本原因是没有搞清错误的根本原因是没有搞清z=2xz=2x- -y y的几何意义，的几何意义， 误认为求误认为求z=2xz=2x- -y y的最小值即为求的
12、最小值即为求y=2xy=2x- -z z截距的最小值截距的最小值. . 【自我矫正自我矫正】选选A.A.画出可行域如图所示：画出可行域如图所示： 当目标函数平移至当目标函数平移至B B点时截距最大，点时截距最大， 所以所以 把点把点B B坐标代入目标函数可得坐标代入目标函数可得z zmin min=2 =2( (- -1) 1) x2y0 1 B( 1) x2y202 ， ， ， 15 . 22 【防范措施防范措施】 1.1.正确画出可行域正确画出可行域 解决线性规划问题时，要正确画出可行域，标清可行解决线性规划问题时，要正确画出可行域，标清可行 域中的关键点域中的关键点( (最优解的可疑点最优解的可疑点).). 2.2.明确目标函数的几何意义明确目标函数的几何意义 在线性目标函数在线性目标函数z=ax+byz=ax+by中，参数中，参数b b的符号直接影响目的符号直接影响目 标函数在标函数在y y轴上截距的正负，如本例中“轴上截距的正负，如本例中“- -z”z”是目标函是目标函 数的截距，其与“数的截距，其与“z”z”符号相反符号相反. .
