1、第2课时 简单线性规划的应用 类型一类型一 线性规划的实际应用问题线性规划的实际应用问题 1.(20131.(2013湖北高考湖北高考) )某旅行社租用某旅行社租用A A，B B两种型号的客车安排两种型号的客车安排 900900名客人旅行，名客人旅行，A A，B B两种车辆的载客量分别为两种车辆的载客量分别为3636人和人和6060人，人， 租金分别为租金分别为16001600元元/ /辆和辆和24002400元元/ /辆，旅行社要求租车总数不超辆，旅行社要求租车总数不超 过过2121辆，且辆，且B B型车不多于型车不多于A A型车型车7 7辆辆. .则租金最少为则租金最少为( ( ) ) A
2、.31200A.31200元元 B.36000B.36000元元 C.36800C.36800元元 D.38400D.38400元元 2.2.某家具厂有木料某家具厂有木料90m90m3 3，五合板，五合板600m600m2 2，准备加工成书桌和书，准备加工成书桌和书 橱出售橱出售. .已知生产每张书桌需要方木料已知生产每张书桌需要方木料0.1m0.1m3 3，五合板，五合板2m2m2 2，生，生 产每个书橱需要方木料产每个书橱需要方木料0.2m0.2m3 3，五合板，五合板1m1m2 2，出售一张书桌可获，出售一张书桌可获 利润利润8080元，出售一个书橱可获利润元，出售一个书橱可获利润120
3、120元元. . (1)(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少如果只安排生产书桌，可获利润多少. . (2)(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少如果只安排生产书橱，可获利润多少. . (3)(3)怎样安排生产可使所获利润最大怎样安排生产可使所获利润最大. . 【解题指南解题指南】1.1.把实际问题转化为线性规划问题求解把实际问题转化为线性规划问题求解. . 2.2.设生产书桌设生产书桌x x张，生产书橱张，生产书橱y y个，可得目标函数为个，可得目标函数为 z=80x+120y.(1)z=80x+120y.(1)求当求当y=0y=0时的最大利润，时的最大利润，(2)(2)求当求当x=0x=0
4、时的最大时的最大 利润，利润，(3)(3)找出约束条件，画出可行域，利用线性规划解题找出约束条件，画出可行域，利用线性规划解题. . 【自主解答自主解答】1.1.选选C.C.设设A A型、型、B B型车辆的数量分别为型车辆的数量分别为x x，y y辆，则辆，则 相应的租金为相应的租金为1600x+2400y1600x+2400y，依题意，依题意，x x，y y还需满足：还需满足： x+y21x+y21，yx+7yx+7，36x+60y90036x+60y900，于是问题等价于求满足约，于是问题等价于求满足约 束条件束条件 且使目标函数且使目标函数z=1600x+2400yz=1600x+240
5、0y达到最小达到最小 xy21 yx7 36x60y900 xy0xyN ， ， ， ， ， 的的x x，y y，作可行域如图所示，可行域的三个，作可行域如图所示，可行域的三个 顶点坐标分别为顶点坐标分别为P(5P(5，12)12)，Q(7Q(7，14)14)， R(15R(15，6)6)，由图可知，当直线，由图可知，当直线z=1600x+z=1600x+ 2400y2400y经过可行域的点经过可行域的点P P时，直线时，直线z=1600x+z=1600x+ 2400y2400y在在y y轴上的截距轴上的截距 最小，即最小，即z z取得最小值取得最小值. . 故应配备故应配备A A型车型车5
6、5辆，辆，B B型车型车1212辆辆. . z zmin min=1600x+2400y=1600 =1600x+2400y=16005+24005+240012=36800(12=36800(元元).). z 2 400 2.2.设生产书桌设生产书桌x x张，生产书橱张，生产书橱y y个，利润为个，利润为z z元，则目标函数为元，则目标函数为 z=80x+120yz=80x+120y，根据题知，约束条件为，根据题知，约束条件为 画出可行域如图所示，画出可行域如图所示， 0.1x0.2y90x2y900 2xy6002xy600 x0y0x0y0 xNyNxNyN ， ， 即 ， ， (1)(
7、1)若只生产书桌，则若只生产书桌，则y=0y=0，此时目标函数，此时目标函数z=80xz=80x，由图可知，由图可知 z zmax max=80 =80300=24000300=24000，即只生产书桌，可获利润，即只生产书桌，可获利润2400024000元元. . (2)(2)若只生产书橱，则若只生产书橱，则x=0x=0，此时目标函数，此时目标函数z=120yz=120y，由图可知，由图可知 z zmax max=120 =120450=54000450=54000，即只生产书橱，可获利润，即只生产书橱，可获利润5400054000元元. . (3)(3)作直线作直线l：80x+120y=0
8、80x+120y=0，并平移直线，并平移直线l，由图可知，当直线，由图可知，当直线l 过点过点C C时，时，z z取得最大值，解取得最大值，解 得得C(100C(100，400)400)，所，所 以以z zmax max=80 =80100+120100+120400=56000400=56000，即生产，即生产100100张书桌，张书桌，400400个书个书 橱，可获得最大利润橱，可获得最大利润. . x2y900 2xy600 ， ， 【规律总结规律总结】解决线性规划的实际问题的步骤解决线性规划的实际问题的步骤 (1)(1)转化：设出未知数，写出线性约束条件与目标函数，将实转化：设出未知数
9、，写出线性约束条件与目标函数，将实 际应用问题转化为数学上的线性规划问题际应用问题转化为数学上的线性规划问题. . (2)(2)求解：解这个线性规划问题求解：解这个线性规划问题. . (3)(3)作答：根据应用题提出的问题作答作答：根据应用题提出的问题作答. . 【拓展延伸拓展延伸】解答线性规划的实际应用问题应注意的问题解答线性规划的实际应用问题应注意的问题 (1)(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此 认真审题非常重要认真审题非常重要. . (2)(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断线性约束条件中有无等号要依据条件
10、加以判断. . (3)(3)结合实际问题，判断未知数结合实际问题，判断未知数x x，y y等是否有限制，如等是否有限制，如x x，y y为为 正整数、非负数等正整数、非负数等. . (4)(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是 不等式，而线性目标函数却是一个等式不等式，而线性目标函数却是一个等式. . (5)(5)图对于解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图对于解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在 图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范. . 【
11、变式训练变式训练】某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产 品要用品要用A A原料原料3 3吨，吨，B B原料原料2 2吨；生产每吨乙产品要用吨；生产每吨乙产品要用A A原料原料1 1吨，吨， B B原料原料3 3吨，销售每吨甲产品可获得利润吨，销售每吨甲产品可获得利润5 5万元，销售每吨乙产万元，销售每吨乙产 品可获得利润品可获得利润3 3万元万元. .该企业在一个生产周期内消耗该企业在一个生产周期内消耗A A原料不超原料不超 过过1313吨，吨，B B原料不超过原料不超过1818吨吨. .那么该企业可获得最大利润是多少？那么该企业可获得最大利润是
12、多少？ 【解析解析】设生产甲产品设生产甲产品x x吨，生产乙产品吨，生产乙产品y y吨，则有关系：吨，则有关系： A A原料用量原料用量 B B原料用量原料用量 甲产品甲产品x x吨吨 3x3x 2x2x 乙产品乙产品y y吨吨 y y 3y3y 则有则有 目标函数目标函数z=5x+3yz=5x+3y， 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知当作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知当x=3x=3， y=4y=4时可获得最大利润为时可获得最大利润为2727万元万元. . x0 y0 3xy13 2x3y18 ， ， ， ， 类型二类型二 线性规划中的最优整数解问题线性规划中的最优
13、整数解问题 1.1.富民鲜花店向禾青四组花卉种植户预定两种花卉：百合、玫富民鲜花店向禾青四组花卉种植户预定两种花卉：百合、玫 瑰，其中每株收购价百合为瑰，其中每株收购价百合为4 4元，玫瑰为元，玫瑰为3 3元，鲜花店需要百合元，鲜花店需要百合 在在1100110014001400株之间，玫瑰在株之间，玫瑰在80080012001200株之间株之间. .已知种植户只已知种植户只 有资金有资金50005000元去购买花苗在自家元去购买花苗在自家90m90m2 2的温室中培育的温室中培育. .每株花苗每株花苗 价格百合价格百合2.52.5元，玫瑰元，玫瑰2 2元元. .由于百合与玫瑰的生长所需要的采
14、由于百合与玫瑰的生长所需要的采 光条件不同，百合每株大约占地光条件不同，百合每株大约占地0.05m0.05m2 2，玫瑰大约占地，玫瑰大约占地 0.03m0.03m2 2，若种植户要获得最大利润，应种植百合，若种植户要获得最大利润，应种植百合 株，株， 种植玫瑰种植玫瑰 株株. . 2.2.某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、 可获利润和托运能力限制数据见下表，那么为了获得最大利润，可获利润和托运能力限制数据见下表，那么为了获得最大利润， 甲、乙两种货物应各托运多少箱甲、乙两种货物应各托运多少箱. . 货物货物 每箱体每箱
15、体 积积/m/m3 3 每箱重每箱重 量量/kg/kg 每箱利每箱利 润润/ /百元百元 甲甲 5 5 2 2 2020 乙乙 4 4 5 5 1010 托运能力托运能力 限制数限制数 2424 1313 【解题指南解题指南】1.1.设出百合与玫瑰种植的数量，建立数学模型，设出百合与玫瑰种植的数量，建立数学模型， 利用线性规划求解利用线性规划求解. . 2.2.设甲货物设甲货物x x箱，乙货物箱，乙货物y y箱，根据题意列出目标函数与约束条箱，根据题意列出目标函数与约束条 件，利用线性规划求解件，利用线性规划求解. . 【自主解答自主解答】1.1.设种植百合设种植百合x x株，玫瑰株，玫瑰y
16、y株，则种植户所获得的株，则种植户所获得的 利润为利润为z=(4z=(4- -2.5)x+(32.5)x+(3- -2)y=1.5x+y2)y=1.5x+y，约束条件为，约束条件为 作出不等式组表示的可行域，作出不等式组表示的可行域， 2.5x2y50005x4y10000 0.05x0.03y905x3y9000 1100x14001100x1400 800y1200800y1200 xyNxyN ， ， ， 即， ， ， 如图所示，如图所示， 作出直线作出直线l：1.5x+y=01.5x+y=0，把直线，把直线l向上平移，由图可知，当直线向上平移，由图可知，当直线 z=1.5x+yz=1.
17、5x+y过过C C点时，点时，z z取得最大值取得最大值. .由由 得得 C(1200C(1200，1000)1000)，即当种植百合，即当种植百合12001200株，玫瑰株，玫瑰10001000株时，种植株时，种植 户可获得最大利润户可获得最大利润. . 答案：答案：12001200 10001000 5x4y10000 5x3y9000 ， 2.2.设甲货物托运设甲货物托运x x箱，乙货物托运箱，乙货物托运y y箱，利润为箱，利润为z z，由题意得，由题意得 z=20x+10yz=20x+10y， 5x4y24 2x5y13 x0y0 xNyN ， ， ， ， 作出可行域如图所示，作直线作
18、出可行域如图所示，作直线l：20x+10y=020x+10y=0，当直线，当直线z=20x+z=20x+ 10y10y经过可行域上的点经过可行域上的点A A时，时，z z最大，又最大，又A(4.8A(4.8，0)0)不是整点，不是整点， 解方程组解方程组 得点得点B(4B(4，1)1)为整点为整点. .所以甲货物托运所以甲货物托运4 4 箱，乙货物托运箱，乙货物托运1 1箱，可获得最大利润箱，可获得最大利润. . 5x4y24 2x5y13 ， 【延伸探究延伸探究】在题在题2 2中，若托运甲货物为每箱中，若托运甲货物为每箱10(10(百元百元) )，托运，托运 乙货物为每箱乙货物为每箱40(4
19、0(百元百元) )，其他条件不变，那么甲、乙两种货物，其他条件不变，那么甲、乙两种货物 应各托运多少箱，可获得最大利润应各托运多少箱，可获得最大利润. . 【解析解析】目标函数为目标函数为z=10x+40yz=10x+40y，由图可知，当直线，由图可知，当直线z=10x+40yz=10x+40y 经过点经过点C C时，时，z z最大最大. .又点又点C C（0 0， ）不是整点，而整点）不是整点，而整点(0(0，2)2)， (1(1，2)2)，(3(3，1)1)，(4(4，1)1)都在可行域内，将各点代入都在可行域内，将各点代入z=10x+z=10x+ 40y40y，可知当，可知当 时，时，z
20、 z最大，即甲货物托运最大，即甲货物托运1 1箱，乙货物托箱，乙货物托 运运2 2箱，可获得最大利润箱，可获得最大利润. . 13 5 x1 y2 ， 【规律总结规律总结】求线性规划中最优整数解的三种方法求线性规划中最优整数解的三种方法 (1)(1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线，平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线， 最先经过或最后经过的整点坐标便是整点最优解最先经过或最后经过的整点坐标便是整点最优解. . (2)(2)筛选优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐筛选优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐 标逐一代入目标函数求值，经比较得最优解
21、标逐一代入目标函数求值，经比较得最优解. . (3)(3)调整最优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定调整最优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定 方程的知识调整最优值，最后筛选出最优解方程的知识调整最优值，最后筛选出最优解. . 提醒：提醒：在应用线性规划解决实际问题时，要考虑到未知量的实在应用线性规划解决实际问题时，要考虑到未知量的实 际意义，特别是有些未知量为整数这一限制条件际意义，特别是有些未知量为整数这一限制条件. . 【变式训练变式训练】求求z=600x+300yz=600x+300y的最大值，使的最大值，使x x，y y满足约束条件满足约束条件 且且x x，y y均为
22、整数均为整数. . 【解题指南解题指南】画出约束条件表示的平面区域即可行域，再分析画出约束条件表示的平面区域即可行域，再分析 求解求解. . 3xy300 x2y252 x0 y0 ， ， ， ， 【解析解析】约束条件表示的可行域如图所示，由约束条件表示的可行域如图所示，由z=600x+300yz=600x+300y， 得得y=y=- -2x+ 2x+ 平移直线平移直线y=y=- -2x2x，由图可知，直线越往上平移，由图可知，直线越往上平移z z 的值越大的值越大. .易求易求A(0A(0，126)126)，B(100B(100，0)0)， 由方程组由方程组 解得解得 z 300， 3xy3
23、00 x2y252 ， ， 348 x 5 456 y 5 ， ， 即点即点C C的坐标为的坐标为 因为题设要求整点因为题设要求整点(x(x，y)y)，使，使z=z= 600x+300y600x+300y取得最大值，而整点取得最大值，而整点(69(69，91)91)，(70(70，90)90)都在可行都在可行 域内，将两点坐标代入域内，将两点坐标代入z=600x+300yz=600x+300y，可知当，可知当 时，时，z z取取 得最大值，所以得最大值，所以z zmax max=600 =60070+30070+30090=69000.90=69000. 31 (6991 ). 55 ， x70 y90 ，
