1、 第第2 2课时课时 三角形中的几何计算三角形中的几何计算 1.1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和能够运用正弦定理、余弦定理等知识和 方法进一步解决有关三角形的问题方法进一步解决有关三角形的问题, , 掌握掌握 三角形的面积公式的简单推导和应用三角形的面积公式的简单推导和应用; ; 2.2.三角形各种类型的判定方法三角形各种类型的判定方法. . 1.1.我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些？我们以前接触过的三角形的面积公式有哪些？ D D 思考：思考：如何用已知边和角表示三角如何用已知边和角表示三角 形的面积？形的面积？ 探究一探究一 三角形面积公式三角形面积公式 A A a a h h
2、a a C C B B c c b b 2.2.已知边角求三角形面积已知边角求三角形面积: : h ha absinCbsinCcsinB csinB h hb b=csinA=csinAasinC asinC h hc c=asinB=asinBbsinAbsinA A A a a h ha a C C B B D D c c b b 分析：分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积这是一道在不同已知条件下求三角形的面积 的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以 应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什应用解三角形面积的知识，观察已知什么
3、，尚缺什 么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积. . (3)(3)根据余弦定理的推论，得根据余弦定理的推论，得 例例2 2 如图如图, ,某市在进行城市环境建设中某市在进行城市环境建设中, ,要把一个三角形的要把一个三角形的 区域改造成市内公园区域改造成市内公园, ,经过测量得到这个三角形区域的三条经过测量得到这个三角形区域的三条 边长分别为边长分别为68m,88m,127m,68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确这个区域的面积是多少？（精确 到到0.10.1） 分析：分析：本题可转化为已本题可转化为已 知三角形的三边，求角知三角
4、形的三边，求角 的问题，再利用三角形的问题，再利用三角形 的面积公式求解。的面积公式求解。 C A B 解：解： 设设a=68m,b=88m,c=127m,a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，根据余弦定理的推论， ，得，得 例例3 3 在在ABCABC中中，求证：求证： 分析：分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的这是一道关于三角形边角关系恒等式的 证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到 用正弦定理和余弦定理来证明用正弦定理和余弦定理来证明. . 探究二探究二 三角形边角关系应用三角形边角关系应用 证明：证明：（1 1）根据正弦
5、定理，可设）根据正弦定理，可设 （2 2）根据余弦定理）根据余弦定理 右边右边=(b=(b2 2+c+c2 2- -a a2 2)+(c)+(c2 2+a+a2 2- -b b2 2)+(a)+(a2 2+b+b2 2- -c c2 2) ) =a=a2 2+b+b2 2+c+c2 2= =左边左边. . （1 1）acosA = bcosBacosA = bcosB 例例4 4 判断满足下列条件的三角形的形状，判断满足下列条件的三角形的形状， 提示：提示：利用正弦定理或余弦定理，利用正弦定理或余弦定理，“化边为角化边为角”或或“化化 角为边角为边”. . 探究三探究三 判断三角形的形状判断三
6、角形的形状 另解：另解：由正弦定理得由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB,sinAcosA=sinBcosB, 所以所以sin2A=sin2B, sin2A=sin2B, 即即2A=2B, 2A=2B, 根据边的关系易得是等腰三角形根据边的关系易得是等腰三角形 所以所以A=B A=B 思考：思考：为什么两种求解方法答案不同，哪个正确？哪个错为什么两种求解方法答案不同，哪个正确？哪个错 误？为什么？误？为什么？ 因为因为sin2A=sin2B,sin2A=sin2B,有可能推出有可能推出2A2A与与2B2B两个角互补，两个角互补， 即即2A+2B=1802A+2B=180，A+B=90
7、A+B=90. . 前一种解法正确前一种解法正确. . 后一种解法遗漏了一种情况；后一种解法遗漏了一种情况； 所以此三角形为直角三角形所以此三角形为直角三角形. . 思考思考: :能否直接用角推导能否直接用角推导, ,而不转化为边呢而不转化为边呢? ? 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的 式子或只含角的三角函数式，然后化简并考查边或角的关式子或只含角的三角函数式，然后化简并考查边或角的关 系，从而确定三角形的形状系，从而确定三角形的形状. .特别是有些条件既可用正弦特别是有些条件既可用正弦 定理也可用余弦定理甚至可以两者混用定理也可用余
8、弦定理甚至可以两者混用. . 形状形状 所以所以B=60B=60或或120120 （1 1）若）若B=60B=60，则，则C=180C=180- -6060- -4545=75=75 故故S= absinC= S= absinC= 2 2 sin75sin75= = ； 1 2 1 2 6 33 2 答：三角形的面积为答：三角形的面积为 333- 3 . 22 或或 . 1.1.三角形面积公式：三角形面积公式： 2.2.确定三角形的形状确定三角形的形状 利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角 为边”为边”. . 3三角形形状的判断 判断三角形的
9、形状是解三角形问题中常见题型， 其关键是实现边角互相转化，主要方法有两种： 方法一：化角为边，利用正弦定理、余弦定理 把所给条件中的角都转化为边，通过恒等变形， 寻找边的关系，从而判断三角形的形状 方法二：化边为角，利用正弦定理、余弦定理 把所给的条件中的边都化为角，通过三角变换， 寻求角的值或角的关系常见结论有： 4.解三角形问题的几种类型 在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少 有一个为边)才能解该三角形据此可按已知条 件分以下几种情况 已知条件 应用定理 一般解法 一边和两角 (如a，B，C) 正弦定理 由ABC180，求角A； 由正弦定理求出b与c，在有解 时只有一解 两边和夹角
10、(如a，b，C) 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三边c；由正弦 定理求出一边所对的角；再由 ABC180求出另一角， 在有解时只有一解 三边(a，b， c) 余弦定理 由余弦定理求出角A、角B；再 利用ABC180，求出角 C，在有解时只有一解 两边和其中 一边的对角 (如a，b，A) 正弦定理 余弦定理 由正弦定理求出角B；由AB C180，求出角C；再利 用正弦定理或余弦定理求c，可 有两解、一解或无解 若cos(AB)0，则角C是钝角； 若cos(AB)0，则角C是锐角； 若cos(AB)0，则角C是直角 有时已知中有边角混杂的式子，可以利用正弦 定理和余弦定理，把所给的条件进行边角
11、转化， 以达到化异为同的效果 练 习 1在ABC 中，a6，c4，B30 ，则ABC 的面 积是( ) A12 B6 C12 3 D8 3 2在ABC 中，c 3，b1，B30 ，则ABC 的 面积为( ) A. 3 2 或 3 B. 3 2 或 3 4 C. 3或 3 4 D. 3 3在ABC中，若A60，b16，SABC64，则c _. 4在ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 满足sin AtanB，ab(1cosA)，求证：AC. 5. ABC 中，A、B、C 的对边分别是 a，b，c，且cos B cos C b 2ac.求： (1)角 B 的大小； (2)若 b 1
12、3，ac4，求ABC 的面积 1在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，B 3，cos A 4 5，b 3. (1)求 sin C 的值 (2)求ABC 的面积 2.在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c. 求证：a 2b2 c2 sinAB sin C . 3.在ABC 中，求证：c(acosBbcosA)a2b2. 4在ABC 中，BC 5，AC3，sin C2sin A. (1)求 AB 的值； (2)求 sin 2A 4 的值 5.在ABC 中，a，b，c 分别为内角A、B、C 的对 边，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC 若sinBsinC1 （1）试判断ABC 的形状. （2）求sinBsinC 的最大值.
