1、第2课时 基本不等式的应用 张先生打算建造一个面积为张先生打算建造一个面积为6 0006 000平方米的矩形饲平方米的矩形饲 养场，进行猪养殖，现在需要进行周边院墙的建养场，进行猪养殖，现在需要进行周边院墙的建 设，经过计算，他的设，经过计算，他的 儿子说建成正方形的儿子说建成正方形的 院墙最省，而他认为院墙最省，而他认为 建成长建成长300300米、宽米、宽200200 米的矩形的院墙最米的矩形的院墙最 省，你认为谁说的省，你认为谁说的 对？要解决这个问题，对？要解决这个问题， 可用基本不等式来解决，这一节我们就学习基本不等可用基本不等式来解决，这一节我们就学习基本不等 式的有关应用式的有关
2、应用. . 1.1.利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题利用基本不等式解决简单的最大值、最小值问题. . （重点）（重点） 2.2.会合理拆项或凑项，会应用基本不等式会合理拆项或凑项，会应用基本不等式. .（重点）（重点） 3.3.会求给定条件的最值问题会求给定条件的最值问题. . 分析：分析：设矩形菜园的长为设矩形菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m， 面积确定，面积确定，则则xy=100xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2 2（x+yx+y）m.m. 即求（即求（x+yx+y）的最小值）的最小值. . 例例1 (1)1 (1)用篱笆围一个面积为用篱笆围一个面积为100 m
3、100 m2 2的矩形菜的矩形菜 园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短笆最短. .最短的篱笆是多少？最短的篱笆是多少？ 探究点探究点1 1 基本不等式在求最值中的应用基本不等式在求最值中的应用 解：解：设矩形菜园的长为设矩形菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m， 则则xy=100xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2 2（x+yx+y）m. m. 2 xy xy 因因为为，2 10020.xy所所以以 2()40.xy则 当且仅当当且仅当x=yx=y时等号成立，此时时等号成立，此时x=y=10. x=y=10. 因此，这个矩形的长、
4、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10 m10 m时，所用时，所用 篱笆最短，最短篱笆是篱笆最短，最短篱笆是40 m. 40 m. 结论结论1 1 两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值. . 当当xyxy的值是常数的值是常数 时，当且仅当时，当且仅当x=yx=y时，时， x+yx+y有最小值有最小值 2.P P 【提升总结提升总结】 分析：分析：设矩形菜园的长为设矩形菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m， 周长确定，周长确定，则则2 2（x+yx+y）=36=36，篱笆的面积为，篱笆的面积为xy mxy m2 2. . 即求即求xyxy的最大值的最大值. . 例
5、例1 (2)1 (2)一段长为一段长为36 m36 m的篱笆围成一个矩形菜的篱笆围成一个矩形菜 园园, ,问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面 积最大积最大. .最大面积是多少？最大面积是多少？ 解析：解析：设矩形菜园的长为设矩形菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m， 则则 2(x + y)= 36, x+ y=182(x + y)= 36, x+ y=18， 矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xy mxy m2 2 . . 18 981. 22 xy xyxy 因因为为，得得 当且仅当当且仅当x x= =y y=9=9时，等号成立时，等号成立.
6、 . 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9 m9 m时，时， 菜园的面积最大，最大面积是菜园的面积最大，最大面积是81 m81 m2 2 . . 结论结论2 2 两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值. . 当当x+yx+y的值是常数的值是常数S S时，当且仅当时，当且仅当x=yx=y时，时， xyxy有最大值有最大值 2 1 . 4 S 【提升总结提升总结】 注意：注意：各项皆为正数；各项皆为正数； 和为定值或积为定值；和为定值或积为定值； 注意等号成立的条件注意等号成立的条件. . 一一“正正”， 二二“定定”， 三三“等等”. . 最值定理最值定理
7、 结论结论1 1 两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值. . 结论结论2 2 两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值. . 某单位用某单位用 2 160 万元购得一块空地， 计划在该地块上建万元购得一块空地， 计划在该地块上建 造一栋至少造一栋至少 10 层、每层层、每层 2 000 平方米的楼房经测算，如平方米的楼房经测算，如 果将楼房建为果将楼房建为 x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为层，则每平方米的平均建筑费用为 56048x(单位：元单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费为了使楼房每平方米的平均综合费 用最少，该楼房应建为多少层？
8、用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用平均注：平均综合费用平均 建筑费用平均购地费用，平均购地费用建筑费用平均购地费用，平均购地费用购地总费用 购地总费用 建筑总面积建筑总面积) 【变式练习变式练习】 【解解析析】设将楼房建为设将楼房建为 x 层，则每平方米的平均购层，则每平方米的平均购 地费用为地费用为2 160 104 2 000x 10 800 x .每平方米的平均综合费每平方米的平均综合费 用用 y56048x10 800 x 56048(x225 x ) 当当 x225 x 取最小值时，取最小值时，y 有最小值有最小值 x0，x225 x 2x 225 x 30. 当且仅当当
9、且仅当 x225 x ，即，即 x15 时，上式等号成立时，上式等号成立 所以当所以当 x15 时，时，y 有最小值有最小值 2 000 元元 因此该楼房建为因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用层时，每平方米的平均综合费用 最少最少. 例例2 2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池, ,其其 容积为容积为4 800 m4 800 m3 3, ,深为深为3 m.3 m.如果池底每平方米的造如果池底每平方米的造 价为价为150150元元, , 池壁每平方米的造价为池壁每平方米的造价为120120元元, ,怎样设怎样设 计水池能使总造价最低计水池能使总
10、造价最低? ?最低总造价是多少最低总造价是多少? ? 分析：分析：水池呈长方体形，高为水池呈长方体形，高为 3 m,3 m,底面的长与宽没有确定底面的长与宽没有确定. . 如果底面的长与宽确定了，水如果底面的长与宽确定了，水 池总造价也就确定了池总造价也就确定了. .因此应因此应 当考察底面的长与宽取什么值当考察底面的长与宽取什么值 时水池总造价最低时水池总造价最低. . , 240 000+720(x+y) 240 000+720240 000+720(x+y) 240 000+7202 xy,2 xy, 即即z240 000+720z240 000+7202 1 6002 1 600 z2
11、97 600.z297 600. ().xy=240 000+720=240 000+720 4800 150120(2 32 3 ) 3 zxy 由容积为由容积为4 800 m4 800 m3 3 ，可得，可得3xy=4 800,3xy=4 800,因此因此xy=xy= 1 600.1 600.由基本不等式与不等式的性质，可得由基本不等式与不等式的性质，可得 解：解：设底面的长为设底面的长为x m，宽为，宽为y m, ,水池总造水池总造 价为价为z元，根据题意，有元，根据题意，有 所以，将水池的底面设计成边长为所以，将水池的底面设计成边长为40 m40 m 的正方形时总造价最低，最低总造价是
12、的正方形时总造价最低，最低总造价是 297 600297 600元元. . （20142014福建高考）要制作一个容积为福建高考）要制作一个容积为 4m4m 3 3，高为 ，高为 1m1m 的无盖长方体容器， 已知该的无盖长方体容器， 已知该容容器的底面造价是每平方器的底面造价是每平方 米米 2020 元，侧面造价是元，侧面造价是每平方米每平方米 1010 元，则该元，则该容容器的最器的最 低总造价是低总造价是 （ ） A.80A.80 元元 B.120B.120 元元 C.160C.160 元元 D.240D.240 元元 【变式练习变式练习】 C C 【解析】【解析】选选 C.C.由容器体
13、积为由容器体积为 4 4，高为，高为 1 1 可知，容器的可知，容器的 底面积为底面积为 4 4 设底面长为设底面长为 x x，则宽为，则宽为 4 x ，总造价为，总造价为 W W由题意，由题意， 44 =(2 x 1+21) 10+4 20=20(x+)+8020 2 4+80=160W xx ， 当当 4 =x x ，即，即=2x时取“时取“= =” 1 3f(x)2x1(x0). x 例求的最大值 为 条应负数转为数 1 1 x 0.-2x 0,-0. x x 1111 所所以以（-2x)+(-) 2 2.所-2x)+(-) 2 2.所以以2x+-2 2.2x+-2 2. xxxx 解解
14、：因因x x为 特别提醒：特别提醒： 如果所求因式都是负数，通常如果所求因式都是负数，通常 采用添负号变为正数的处理方法采用添负号变为正数的处理方法. . 关注因式是关注因式是 负数负数 解解: 因为因为 x 0. 11 ()()2 ()()2xx xx 当且仅当当且仅当 时时, 即即 x = - 1时取等号时取等号, 所以所以 当当 x = - 1时时, 的值最大的值最大, 最大值为最大值为 - 2. 1 x x 1 x x 2 11 ()()xx xx 故 x 3,所x 3,所以以x-30,0.x-30,0. x-3x-3 111111 所所以以y = x+= x-3+32 (x-3)y
15、= x+= x-3+32 (x-3)+3 = 2+3 = 5,+3 = 2+3 = 5, x-3x-3x-3x-3x-3x-3 1 1 且且x-3 =,即x-3 =,即x = 4,yy= 5.x = 4,yy= 5. x-x- : : 因因解解 3 3 2.2.凑定型凑定型 (1)(1)构造积为定值，利用基本不等式求最值构造积为定值，利用基本不等式求最值. . (2)(2)构造和为定值，利用基本不等式求最值构造和为定值，利用基本不等式求最值. . 1 50x,yx(1 3x). 3 例已知求函数的最大值 为x +(1 - 3x)不x +(1 - 3x)不 是是 定定 值值 ， 3x +(1 -
16、 3x)3x +(1 - 3x)分分 析析 ：定定 值值 . . 为 2 2 1 1 0 0. 3 3 11 3x+1-3x111 3x+1-3x1 所所以以y = x(1-3x)= y = x(1-3x)= 3x(1-3x)() =.3x(1-3x)() =. 3232 因因解解： 312312 3x=1-3x3x=1-3x 1 x 6 max 1 yy. 12 有有最最大大值值，当且仅当当且仅当 ，即，即 时，时， 合理地拆分转化，构造合理地拆分转化，构造和为定值和为定值或或积为定积为定 值，并值，并利用基本不等式的条件来求解，是解决利用基本不等式的条件来求解，是解决 此类问题的关键此类问
17、题的关键. . 【提升总结提升总结】 1 1100. 1 11 11 11 1 2 (1)1211. 1 ，所所以以， 所所以以 为为解解：因因xx x xx xx x x 当且仅当当且仅当 1 1, 1 x x 即即 0x 时，时， 1 1 x x 有最小值有最小值1.1. 若若 则则 为何值时为何值时 1 1 x x 有最小值，最小值为多少？有最小值，最小值为多少？ 1,x x 【即时练习即时练习】 1111 所所以以 xy, 即xy, 即2 2.2 2. xyxy2 22 2 为1 = 2x + y21 = 2x + y2解解 ： 因因2xy ,2xy , 111111 所所以以+22+
18、222 2 =4 2.2 2 =4 2. xyxyxyxy 即即 的最小值为的最小值为 11 xy 4 2. 11 xy 例例6 6 已知已知x0,y0,x0,y0,且且2x+y=1,2x+y=1,求求 的最小值的最小值. . 3.3.整体代换型整体代换型 这个解法这个解法 正确吗？正确吗？ 不正确不正确. . 过程中两次运用了基本不等式中取过程中两次运用了基本不等式中取“= =”过渡，过渡， 而这两次取而这两次取“= =”的条件是不同的，故结果错误的条件是不同的，故结果错误. . 21xy 11 xy 1=2,xy 11 f(x) xy 分析：分析：本题给定约束条件本题给定约束条件 ，来求，
19、来求 注意到注意到 故可以采用对目标函数故可以采用对目标函数 乘乘“1 1”构造使用基本不等式的条件构造使用基本不等式的条件. . 的最小值的最小值, , 令 112x+y2x+y112x+y2x+y +=+=+ xyxyxyxy y2xy2x =3=3 f（f（x）x） +3+2 2,+3+2 2, xyxy 解解 : := = 正确解答正确解答: : 当且仅当当且仅当 2 , yx xy 即即 2yx 时取时取“= =”号号. . 2- 2 ,2 , 2 21. 2-1, 而 xyx xy y 即此时即此时 min 11 ()32 2. xy 对于给定条件求最值的问题，常可采用乘对于给定条
20、件求最值的问题，常可采用乘 “1”1”变换的方法，创造使用基本不等式的条件变换的方法，创造使用基本不等式的条件. . 【提升总结提升总结】 已已知知且且求求的的最最小小值值 19 0,0,1,.xyxy xy 199xy199xy (x + y)(+)= 10 +(x + y)(+)= 10 + xyyxyy 解解： x x 9x y9x y 10+2.=16.10+2.=16. yxyx 9xy9xy =，=， yxyx 且且等等成成立立, , 1919 +=1+=1 xyxy 当仅当时号 x =4,x =4, 即即, , y =12y =12时 取取得得最最小小值值16.16.xy 【变式
21、练习变式练习】 范围是（范围是（ ） D D 1.（2013 福建高考）福建高考）若若 221,则则的的 取取 值值 xy xy 0,2 2,0 2,)(, 2 A B C D 2.（2015湖南高考湖南高考）若实数若实数 , a b 满足满足 12 ab ab ， 则则ab的最小值为的最小值为( ) A. 2 B.2 C.2 2 D.4 【解析】【解析】选选 C. 1212122 0022,， ， ，ababab abababab 2 2ab ， （当且仅当， （当且仅当 2ba 时取等号） ，所以时取等号） ，所以ab的最小值为的最小值为 2 2. 3.（2015福建高考福建高考）若直线若
22、直线 1(0,0) xy ab ab 过点过点 （1,1） ，则，则 ab的最小值等于（ 的最小值等于（ ） A2 B3 C4 D5 【解析】由已知得【解析】由已知得 11 1 ab ，则，则 11 =()()abab ab 2+ ba ab ，因为，因为 0,0ab ，所以，所以 +2=2 bab a aba b ， 故故 4ab ，当，当 = ba ab ，即，即 2ab 时取等号时取等号 C C 4.（2015天津高考天津高考）已知已知 0,0,8,abab 则当则当 a 的值的值 为为 时时， 22 loglog2ab 取得最大值取得最大值. 【解析】【解析】 2 22 222 log
23、log21 loglog2log 2 24 ab abab 2 2 1 log 164, 4 当当 2ab 时取等号时取等号,结合结合 0,0,8,abab 可得可得 4,2.ab 4 4 5.（2015重庆高考重庆高考）设设 ,0,5a bab , 则则 1+3ab 的最大值为的最大值为_. 【解析】由【解析】由 22 2abab 两边同时加上两边同时加上 22 ab 得得 222 ()2()abab 两边同时开方即得：两边同时开方即得： 22 2()abab （ 0,0ab 且当且仅当且当且仅当 ab时取 时取“=”） ，） ， 从而有从而有 1+3ab+ 2(13)2 93 2 ab （当且仅当（当且仅当 13 ab ,即即 73 , 22 ab 时，时，“=”成立）成立）. 把握基本不等式成立的三个条件：把握基本不等式成立的三个条件： 1.1.不具备“正值”条件时，需将其转化为正值不具备“正值”条件时，需将其转化为正值. . 2.2.不具备“定值”条件时，需构造定值条件不具备“定值”条件时，需构造定值条件. . （构造：互为相反数、互为倒数）（构造：互为相反数、互为倒数） 3.3.不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利不具备“相等”条件时，需进行适当变形或利 用函数单调性求值域用函数单调性求值域. . 预备十二分的力量，才能希望有十分的成功。 张太雷
