1、3.3.2 简单的线性规划问题 第1课时 简单的线性规划问题 某工厂用某工厂用A,BA,B两种配件生产甲、乙两种产品，两种配件生产甲、乙两种产品， 每生产一件甲产品使用每生产一件甲产品使用4 4个个A A配件耗时配件耗时1 h1 h，每生产，每生产 一件乙产品使用一件乙产品使用4 4个个B B配件耗时配件耗时2 h2 h，该厂每天最多，该厂每天最多 可从配件厂获得可从配件厂获得1616个个A A配件和配件和1212个个B B配件，按每天工配件，按每天工 作作8 h8 h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？ 28 416 412 0 0. xy x y x
2、 y ， ， ， ， 将上述不等式组表示成平面上的区域将上述不等式组表示成平面上的区域, ,区域内所有区域内所有 坐标为整数的点坐标为整数的点 时时 , ,安排生产任务安排生产任务 都都 是有意义的是有意义的. . ( , )P x y ,x y 设甲、乙两种产品分别生产设甲、乙两种产品分别生产x,yx,y件，由已知条件，由已知条 件可得二元一次不等式组：件可得二元一次不等式组： y O x 4 3 4 8 28xy 4x =3y 上节课我们研究了二元一次不等式（组）与平面区域，上节课我们研究了二元一次不等式（组）与平面区域， 本节课我们将继续研究本节课我们将继续研究简单的线性规划问题简单的线
3、性规划问题. . 1.1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目 标函数、可行域、可行解等基本概念；标函数、可行域、可行解等基本概念； 2.2.了解线性规划问题的图解法，并能解决一些简了解线性规划问题的图解法，并能解决一些简 单的问题单的问题. .( (重点、难点）重点、难点） 进一步，若生产一件甲种产品获利进一步，若生产一件甲种产品获利2 2万元万元, ,生产生产 一件乙种产品获利一件乙种产品获利3 3万元万元, ,采用哪种生产安排利润最采用哪种生产安排利润最 大大? ? 提示：设生产甲产品提示：设生产甲产品x x件，乙产品件，乙产品y y件时，工厂
4、获件时，工厂获 得的利润为得的利润为z,z,则则z=2x+3y.z=2x+3y. 上述问题就转化为：当上述问题就转化为：当x,yx,y满足不等式组并且满足不等式组并且 为非负整数时，为非负整数时，z z的最大值是多少？的最大值是多少？ 探究点探究点1 1 简单线性规划问题及有关概念简单线性规划问题及有关概念 z z 把把z z变变形形为为, ,这这是是斜斜率率为为 z z 在在 轴轴上上的的截截距距为为 的的直直线线, , 22 23, 333 3 xyyx y 当当点点 在在可可允允许许的的取取值值范范围围内内变变化化时时， z z 求求截截距距的的最最值值, ,即即可可得得z z的的最最值
5、值. . 3 P 当当 变变化化时时，可可以以得得到到一一组组互互相相平平行行的的直直线线.z 故故可可先先作作出出过过原原点点的的直直线线，再再作作 的的平平行行线线 00 2 :. 3 lyxl 提示提示: 0 2 : 3 lyx O x 4 3 4 8 28xy 4x =3y (4,2)M 2 33 428 yx xxy 由由图图可可知知 当当直直线线 经经过过直直线线与与直直线线 z z 即即 的最大值为的最大值为 z2 43 214. z 所以，每天生产甲产品所以，每天生产甲产品4 4件，乙产品件，乙产品2 2件时，工件时，工 厂可获得最大利润厂可获得最大利润1414万元万元. .
6、z 3 最大值为最大值为 14 . 3 的交点的交点 (4,2)M 时，截距时，截距 的值最大，的值最大， y y 上述问题中，不等式组上述问题中，不等式组 是一组对变量是一组对变量 x,yx,y的约束条件，这组约束条件都是关于的约束条件，这组约束条件都是关于x,yx,y 的一次不等式，所以又称为的一次不等式，所以又称为线性约束条件线性约束条件. . 28 416 412 0 0 xy x y x y ， ， ， ， 1.1.线性约束条件线性约束条件 我们把要求最大值的函数我们把要求最大值的函数z=2x+3yz=2x+3y称为称为目标目标 函数函数. .又因为又因为z=2x+3yz=2x+3y
7、是关于变量是关于变量x,yx,y的一次解析的一次解析 式，所以又称为式，所以又称为线性目标函数线性目标函数. . 2.2.线性目标函数线性目标函数 3.3.线性规划线性规划 一般一般的的，在线性约束条件下求线性目标函数，在线性约束条件下求线性目标函数 的最大值或最小值问题，统称为的最大值或最小值问题，统称为线性规划线性规划问题问题. . 满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解(x,y)(x,y)叫做叫做可行解可行解. . 由所有可行解组成的集合叫做由所有可行解组成的集合叫做可行域可行域. . 使目标函数取得最大值或最小值的可行解使目标函数取得最大值或最小值的可行解 叫做这个问题的叫做这个问题
8、的最优解最优解. . 4.4.可行解、可行域、最优解可行解、可行域、最优解 （1 1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品获利）在上述问题中，如果每生产一件甲产品获利 3 3万元，每生产一件乙产品获利万元，每生产一件乙产品获利2 2万元，则如何安万元，则如何安 排生产才能获得最大利润？排生产才能获得最大利润？ （2 2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间 的关系吗？的关系吗？ 设生产甲产品设生产甲产品x x件件, ,乙产品乙产品y y件时，工厂获得的利件时，工厂获得的利 润为润为z,z,则则z=3x+2y.z=3x+2y. 【即时练习即时练习】 33
9、32, 222 2 zxyyx y 把把变变形形为为,这,这是是斜斜率率为为 在在 轴轴上上的的截截距距为为 的的直直线线. . z z z z 3 22 428 yx xxy 由由图图可可知知 当当直直线线 经经过过直直线线与与 z z 0 3 : 2 lyx O x 4 3 4 8 28xy 4x =3y (4,2)M y 最大值为最大值为 8.的交点的交点 (4,2)M 时，截距时，截距 的值最大，的值最大， 即即 的最大值为的最大值为 z3 42 216. z 所以，每天生产甲产品所以，每天生产甲产品4 4件，乙产品件，乙产品2 2件时，件时， 工厂获得最大利润工厂获得最大利润1616
10、万元万元. . （2 2）将目标函数）将目标函数 变形为变形为 将求将求z z的最值问题转化为求直线的最值问题转化为求直线 在在 轴上的截距轴上的截距 的最值问题；的最值问题； z(0)axby b z , a yx bb y z b 在确定约束条件和线性目标函数的前提下，用在确定约束条件和线性目标函数的前提下，用 图解法求最优解的步骤为：图解法求最优解的步骤为： （1 1）在平面直角坐标系内画出可行域；）在平面直角坐标系内画出可行域； za yx bb 【提升总结提升总结】 （3 3）画出直线）画出直线 =0axby 并平行移动，并平行移动， 或最后经过的点为最优解；或最后经过的点为最优解；
11、 平移过程中最先平移过程中最先 （4 4）求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函）求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函 数的最值数的最值. . 例例 1.设设, x y满足满足约束约束条件条件 3, 4, 4312, 4336. x y xy xy 求求目标函数目标函数23zxy的最小值的最小值与与最大值最大值. 探究点探究点2 2 简单线性规划问题的图解方法简单线性规划问题的图解方法 解解：作出可行域（如图作出可行域（如图阴影部分阴影部分）. . 令令0z ，作直线，作直线:230lxy. . 当当把把直线直线l向下平移时， 所对应的向下平移时， 所对应的23zxy的函数值随之减小，的
12、函数值随之减小， 所以，当直线所以，当直线l经过可行域的顶点经过可行域的顶点 B B 时，时，23zxy取取得最小值得最小值. . : 230lxy y x o 4336xy 4y 4312xy 3x A B C D 4 4 2 2 顶点顶点 B B 为直线为直线3x 与直线与直线4y 的交点，的交点， 其坐标为其坐标为3, 4； 当当把把直线直线l向上平移时，所对应的向上平移时，所对应的23zxy的函数值随之的函数值随之增增大，大， 所以，当直线所以，当直线l经过可行域的顶点经过可行域的顶点 D D 时，时，23zxy取取得最大值得最大值. . y x o 4336xy 4y 4312xy
13、3x : 230lxy A B C D 4 4 2 2 顶点顶点 D D 为直线为直线4312xy与直线与直线4336xy的交点，的交点， 解方程组解方程组 4312, 4336. xy xy 可以求得顶点可以求得顶点 D D 的坐标为的坐标为3,8 此时，顶点此时，顶点3, 4和顶点和顶点 D D3,8为最优解为最优解 所以所以 min max 2 ( 3)3 ( 4)18, 2 33 830. z z y x o 4336xy 4y 4312xy 3x : 230lxy A B C D 4 4 2 2 求求 的的 最大值和最小值最大值和最小值. . 已知已知 满足满足 1, 53, 531
14、5. yx xy xy ,x y 2zxy 1 2. 22 由由得得 z zxyyx 解：解：作出如图所示的可行域，作出如图所示的可行域， 作作并并平平行行移移动动, , 0 :20,lxy 【变式练习变式练习】 3 5 1 x o o 5315xy 1yx 53xy B(1.5,2.5)B(1.5,2.5) A A(-2,-1) C(3,0) y 20xy 当直线当直线l经过点经过点B B时，对应时，对应 的的z z最小，当直线最小，当直线l经过点经过点 C C时，对应的时，对应的z z最大最大. . 所以所以z z最小值 最小值=1.5 =1.5- -2 22.52.5 = =- -3.5
15、,3.5, z z最大值 最大值=3 =3- -0=3.0=3. 解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤： （2 2）移：移：在线性目标函数所表示的一组平行线在线性目标函数所表示的一组平行线 中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵 截距最大或最小的直线；截距最大或最小的直线； （3 3）求：求：通过解方程组求出最优解；通过解方程组求出最优解； （4 4）答：答：作出答案作出答案. . （1 1）画：画：画出线性约束条件所表示的可行域；画出线性约束条件所表示的可行域； 最优解一般在可行域的顶点处取得最优解一般在可行域的顶点处取得 【提升总结提升总
16、结】 例例已已知知满满足足设设 若若 取取得得最最大大值值时时，对对应应点点有有无无数数个个，求求 的的值值 43, 2,3525,(0), 1. . xy x yxyzaxy a x za 分析：分析：对应无数个点，即直线与边界线重合对应无数个点，即直线与边界线重合. . 作出可行域，结合图形，看直线作出可行域，结合图形，看直线 与哪条边界线重合时，可取得最大值与哪条边界线重合时，可取得最大值. . :lyaxz 33 ,. 55 3 . 5 ACl kka a 因因为为所所以以 即即 解：解：当直线当直线 与边界线重合时，有无与边界线重合时，有无 数个点使函数值取得最大值，数个点使函数值取
17、得最大值， :lyaxz . lAC kk 此时有此时有 y x O C B 1x 43xy 3525xy （2014 广东高考）若变量广东高考）若变量 x，y 满足约束条件满足约束条件 yx， ， xy1， y1， 且且z2xy的最大值和最小值分别为的最大值和最小值分别为m和和n， 则则 mn( ) A5 B6 C7 D8 【变式练习变式练习】 由由z=2x+y,z=2x+y,得得y=y=- -2x+z,2x+z, 平移直线平移直线y=y=- -2x+z,2x+z,由图象可知当直线由图象可知当直线y=y=- -2x+z2x+z经过点经过点A A， 直线直线y=y=- -2x+z2x+z的截距
18、最小，此时的截距最小，此时z z最小，最小， 【解析解析】选选B.B.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分： y1,x=1, yx,y1, 由解得 即即A A（- -1 1，- -1 1），此时），此时z=z=- -2 2- -1=1=- -3 3，此时，此时n=n=- -3 3， 平移直线平移直线y=y=- -2x+z,2x+z,由图象可知当直线由图象可知当直线y=y=- -2x+z2x+z经过点经过点B,B, 直线直线y=y=- -2x+z2x+z的截距最大，此时的截距最大，此时z z最大，最大， y1,x=2, xy1,y1, 由解得 由由B(2
19、,B(2,- -1),1),此时此时z=2z=22 2- -1=31=3，即，即m=3m=3， 则则m m- -n=3n=3- -（- -3 3）=6=6， 故选故选B.B. 1.（2015天津高考）天津高考）设变量设变量 x,y 满足约束条件满足约束条件 20 20 280 x xy xy ,则目标函数则目标函数 z=3x+y 的最大值为（的最大值为（ ） A. 7 B.8 C.9 D.14 【解析】【解析】选选 C. 51 322899 22 zxyxxy , 当当 2,3xy 时取得最大值时取得最大值 9,故选故选 C.此题也可画出此题也可画出 可行域可行域,借助图像求解借助图像求解.
20、2.2.（20132013陕西高考）若点陕西高考）若点(x,y)(x,y)位于曲线位于曲线y=|x|y=|x| 与与y = 2y = 2所围成的封闭区域所围成的封闭区域, , 则则2x2xy y的最小值的最小值 为为( )( ) A.A.6 B.6 B.2 C.0 D.22 C.0 D.2 A A 3.（2013 四川高考）若变量四川高考）若变量 , x y 满足约束条件满足约束条件 8, 24, 0, 0, xy yx x y 且且 5zyx 的的 a b ab 最大值为最大值为 ，最小值为，最小值为 ，则，则 的值是（的值是（ ） A.48 B.30 C.24 D.16A.48 B.30
21、C.24 D.16 C C 4.（2015全国卷全国卷 I）若若 x,y 满足约束满足约束 条件条件 20 210 220 xy xy xy , 则则 z=3x+y 的最大值为的最大值为 4 4 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0 l ： 30xy ，平移直线平移直线0 l ，当直线当直线l:z=3x+y 过点过点 A 时，时， z 取最大值，由取最大值，由 2=0 21=0 xy xy 解得解得 A（1,1） ，） ， z=3x+y 的最大值为的最大值为 4. 2.2.线性目标函数的最值的图解法及其步骤线性目标函数的最值的图解法及其
22、步骤. . 最优解在可行域的顶点或边界取得最优解在可行域的顶点或边界取得. . 把目标函数转化为某一直线把目标函数转化为某一直线, ,其斜率与可行域其斜率与可行域 边界所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚边界所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚. . 1.1.线性约束条件、线性目标函数、可行域、可线性约束条件、线性目标函数、可行域、可 行解等基本概念的理解；行解等基本概念的理解； 3.3.线性规划的有关概念线性规划的有关概念 名称名称 定义定义 约束条件约束条件 由变量由变量x x，y y组成的不等式组组成的不等式组 线性约束条件线性约束条件 由变量由变量x x，y y组成的一次不等式组组成的一次
23、不等式组 目标函数目标函数 关于关于x x，y y的函数解析式的函数解析式 线性目标函数线性目标函数 关于关于x x，y y的一次函数解析式的一次函数解析式 可行解可行解 满足线性约束条件的解（满足线性约束条件的解（x,yx,y） 可行域可行域 所有可行解组成的集合所有可行解组成的集合 最优解最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 问题统称线性规划问题问题统称线性规划问题 真理喜欢批评，因为经过批评，真理就 会取胜；谬误害怕批评，因为经过批评，谬误 就会失败。
