1、2.3.1 抛物线及其标准方程 第二章 2.3 抛物线 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念. 2.会求简单的抛物线方程. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 抛物线的定义 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 的点的 轨迹叫做 .点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 . 答案 距离相等 抛物线 焦点 准线 知识点二 抛物线标准方程的几种形式 答案 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 _ _ y22px(p0) y22px(p0) (p 2，0) xp 2 (p 2， 0) xp 2 答案 _
2、_ x22py(p0) x22py(p0) (0，p 2) yp 2 (0，p 2) yp 2 思考 (1)抛物线的标准方程y22px(p0)中p的几何意义是什么？ 答案 焦点到准线的距离. (2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？ 答案 不一定.当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线 l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线. 答案 返回 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 求抛物线的标准方程 例1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为(2,0)； 解 由于焦点在 x 轴的负半轴上，且p 22， p4，抛物线的标准方程为y28x
3、. (2)准线为y1； 解 焦点在 y 轴正半轴上，且p 21， p2，抛物线的标准方程为x24y. 解析答案 (3)过点A(2,3)； 解 由题意，抛物线方程可设为y2mx(m0)或x2ny(n0)， 将点A(2,3)代入，得32m 2或22n 3， m9 2或 n 4 3. 所求抛物线的标准方程为 y29 2x 或 x 24 3y. (4)焦点到准线的距离为5 2. 解 由焦点到准线的距离为5 2，可知 p 5 2. 所求抛物线的标准方程为y25x或y25x或x25y或x25y. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1) 过点(3，4)； 解析答案
4、(2) 焦点在直线x3y150上. 解 令x0得y5； 令y0得x15. 抛物线的焦点为(0，5)或(15,0). 所求抛物线的标准方程为x220y或y260x. 解析答案 题型二 抛物线定义的应用 例2 如图，已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点， 又有点A(3,2)，求|PA|PF|的最小值，并求此时P点坐标. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的 距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为( ) A. 17 2 B.2 C. 5 D.9 2 解析 如图，由抛物线定义知|PA|PQ|PA|PF|， 则所求距离之和的
5、最小值转化为求|PA|PF|的最小值， 则当A、P、F三点共线时，|PA|PF|取得最小值. 又 A(0,2)，F(1 2，0)， (|PA|PF|)min|AF| 01 2 2202 17 2 . A 解析答案 题型三 抛物线的实际应用 例3 如图所示，一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的 隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡 车通过的a的最小整数值. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 如图所示，一隧道内设双行线公路， 其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成， 为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道 顶部在竖直方向上高度之差至少要有
6、0.5米. (1)以隧道的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐 标系(如图)，求该抛物线的方程； 解 依题意，设该抛物线的方程为x22py(p0)， 如图所示， 因为点 C(5，5)在抛物线上，解得 p5 2， 所以该抛物线的方程为x25y. 解析答案 (2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米 (精确到0.1米)? 解 设车辆高h米，则|DB|(h0.5)米， 故D(3.5，h6.5)， 代入方程x25y，解得h4.05米， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米. 解析答案 返回 解后反思 例4 已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且此抛物线上
7、的一 点A(m，3)到焦点F的距离为5，求m的值及抛物线的标准方程. 思想方法 分类讨论思想的应用 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.抛物线 y1 8x 2 的准线方程是( ) A.x 1 32 B.x1 2 C.y2 D.y4 解析 将 y1 8x 2 化为标准形式 x28y， 由此可知准线方程为y2. C 解析答案 1 2 3 4 5 2.过抛物线y28x的焦点作倾斜角为45的直线，则被抛物线截得的 弦长为( ) A.8 B.16 C.32 D.61 解析 由y28x得焦点坐标为(2,0)， 由此直线方程为yx2， B 由 y28x， yx2 联立得 x212x40， 设交点为A
8、(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程知x1x212， 弦长|AB|x1x2p12416. 1 2 3 4 5 3.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线 1上， 则抛物线的方程为( ) A.y28x B.y24x C.y22x D.y28x 解析答案 x2 4 y 2 2 解析 由题意知，抛物线的焦点为双曲线x 2 4 y 2 2 1 的顶点， 即为(2,0)或(2,0)， 所以抛物线的方程为y28x或y28x. D 解析答案 1 2 3 4 5 4.已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，则抛物线y24x上一动 点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( ) A.2
9、B.3 C.11 5 D.37 16 解析 易知直线l2：x1恰为抛物线y24x的准线， 如图所示，动点P到l2：x1的距离可转化为PF的长度， 其中F(1,0)为抛物线y24x的焦点. 由图可知，距离和的最小值， 即 F 到直线 l1的距离 d |46| 32422. A 解析答案 1 2 3 4 5 5.若双曲线x 2 3 16y 2 p2 1(p0)的左焦点在抛物线 y22px 的准线上， 则 p_. 解析 由双曲线x 2 3 16y 2 p2 1 得标准形式为x 2 3 y2 p2 16 1， 由此 c23 p2 16， 左焦点为( 3 p2 16，0)， 由 y22px 得准线为 xp 2， 3 p2 16 p 2， p4. 4 课堂小结 返回 1.抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上. 2.确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标 准方程有四种类型.因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时， 应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点 在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx (m0)，焦点在y轴上的抛物 线标准方程可设为x22my (m0).
