1、2.1.1 椭圆及其标准方程 第二章 2.1 椭 圆 1.掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题. 2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程. 3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的 的点的轨迹叫 做 .这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 知识点二 椭圆的标准方程 答案 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 焦点 _ _ a、b、c的关系 _ _ x2 a2 y2 b21 (ab0) y2
2、a2 x2 b21 (ab0) (c,0)，(c,0) (0，c)，(0，c) c2a2b2 c2a2b2 距离之和等于常数(大于|F1F2|) 椭圆 焦点 焦距 思考 (1)椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于 |F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？ 答案 当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之 和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在. (2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？ 答案 a，b的值及焦点所在的位置. 答案 返回 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 用待定系数法求椭圆的标准方程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准
3、方程： (1)两个焦点的坐标分别是(4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的 和是10； 解 因为椭圆的焦点在x轴上， 所以设它的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0). 因为2a10，所以a5. 又因为c4，所以b2a2c252429. 故所求椭圆的标准方程为 x2 25 y2 9 1. 解析答案 (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0). 解 因为椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为y 2 a2 x2 b21(ab0). 因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 所以 4 a2 0 b21， 0 a2 1 b21， 解得 a24， b21， 故所求椭圆的
4、标准方程为y 2 4 x21. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 1 求焦点在坐标轴上，且经过 A( 3，2)和 B(2 3，1)两点的 椭圆的标准方程. 解析答案 题型二 椭圆定义的应用 例2 已知两定点F1(1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|PF2|2|F1F2|. (1)求点P的轨迹方程； 解 依题意知|F1F2|2， |PF1|PF2|2|F1F2|42|F1F2|， 点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆， 且 2a4,2c2，a2，c1，b 3， 故所求点 P 的轨迹方程为x 2 4 y 2 3 1. 解析答案 (2)若F1PF2120，求PF1F2的面积. 解 设m|PF
5、1|，n|PF2|，则mn2a4. 在PF1F2中，由余弦定理，得 |F1F2|2m2n22mncosF1PF2， 4(mn)22mn(1cos 120)，解得mn12. 1 2mnsinF1PF2 1 212sin 120 3 3. 反思与感悟 1 2 PF F S 解析答案 跟踪训练 2 如图所示，已知过椭圆 x2 25 y2 161 的右焦点 F2 的直线 AB 垂直 于 x 轴，交椭圆于 A，B 两点，F1是椭圆的左焦点.求AF1B 的周长. 解 如题图所示，由题意知，点 A，B 在椭圆 x2 25 y2 161 上， 所以a5， 故有|AF1|AF2|2a10，|BF1|BF2|2a
6、10，|AF2|BF2|AB|， 所以AF1B的周长为|AF1|BF1|AB| |AF1|BF1|AF2|BF2| (|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|) 2a2a20. 解析答案 题型三 与椭圆有关的轨迹问题 例3 已知B、C是两个定点，|BC|8，且ABC的周长等于18.求这个 三角形的顶点A的轨迹方程. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过 点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程. 解 如图，设圆P的半径为r，又圆P过点B，|PB|r. 又圆P与圆A内切，圆A的半径为10， 两圆的圆心距|PA|10r， 即|PA|PB|1
7、0(大于|AB|6). 圆心P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆. 2a10,2c|AB|6. a5，c3，b2a2c225916. 圆心 P 的轨迹方程为 x2 25 y2 161. 思想方法 分类讨论思想的应用 例 4 设 F1， F2为椭圆x 2 9 y 2 4 1 的两个焦点.P 为椭圆上的一点， 已知 P， F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，求|PF1| |PF2|的值. 解析答案 返回 解后反思 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.设F1，F2为定点，|F1F2|6，动点M满足|MF1|MF2|6，则动点 M的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D
8、.线段 解析 |MF1|MF2|6|F1F2|， 动点M的轨迹是线段. D 解析答案 1 2 3 4 5 2.已知椭圆4x2ky24的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 B 解析 由题意得，椭圆标准方程为 x2y 2 4 k 1， 又其一个焦点坐标为(0,1)，故4 k11，解得 k2. 1 2 3 4 5 3.设P是椭圆 x2 16 y2 121上一点， P到两焦点F1， F2 的距离之差为2， 则PF1F2 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 解析 根据椭圆的定义知|PF1|PF2|8. 又|PF1|PF
9、2|2，所以|PF1|5，|PF2|3. 而|F1F2|4， 所以|F1F2|2|PF2|2|PF1|2， 所以PF1F2是直角三角形，故选B. B 解析答案 解析答案 1 2 3 4 5 4.“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 方程可化为x 2 1 m y 2 1 n 1. 若 mn0，则 0 1 m 1 m0，可得 mn0. C 解析答案 1 2 3 4 5 5.已知椭圆 x2 49 y2 241 上一点 P 与椭圆两焦点 F1、F2 的连线夹角为直角， 则|PF1| |PF
10、2|_. 解析 依题意知，a7，b2 6，c49245，|F1F2|2c10. 由于PF1PF2，所以由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 即|PF1|2|PF2|2100. 又由椭圆定义知|PF1|PF2|2a14， 所以(|PF1|PF2|)22|PF1| |PF2|100， 即1962|PF1| |PF2|100. 解得|PF1| |PF2|48. 48 课堂小结 返回 1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|MF2|2a， 当2a|F1F2|时，轨迹是椭圆； 当2a|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2； 当2a0， B0，AB)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的.
