1、3.2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则(二) 第三章 3.2 导数的计算 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则. 2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算 法则求函数的导数. 学习 目标 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点 导数运算法则 答案 法则 语言叙述 f(x)g(x) _ 两个函数的和(或差)的导数，等于这两 个函数的导数的和(或差) f(x)g(x) _ 两个函数的积的导数，等于第一个函 数的导数乘上第二个函数，加上第一 个函数乘上第二个函数的导数 _ (g(x)0) 两个函数的商的导数
2、，等于分子的导 数乘上分母减去分子乘上分母的导数， 再除以分母的平方 f(x)g(x) f(x) g(x)f(x) g(x) fx gx fxgxfx gx gx2 思考 若f(x)x2 sin x，则f(x)(x2) (sin x)2x sin x是否正确？ 答案 不正确.f(x)(x2) sin xx2 (sin x) 2x sin xx2 cos x. 答案 返回 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 利用导数的运算法则求函数的导数 例1 求下列函数的导数： (1)y(x21)(x1)； 解 y(x21)(x1)x3x2x1， y(x3)(x2)x3x22x1. (2)y3xlg x.
3、解 函数y3xlg x是函数f(x)3x与函数g(x)lg x的差. 由导数公式表分别得出 f(x)3xln 3，g(x) 1 xln 10， 利用函数差的求导法则可得(3xlg x)f(x)g(x)3xln 3 1 xln 10. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)yx3x2x3； 解 y(x3x2x3) (x3)(x2)x3 3x22x1. 解析答案 (2)y 2 x2 3 x3； 解 方法一 因为y2x23x3， 所以y(2x23x3) (2x2)(3x3) 4x39x4 4 x3 9 x4. 方法二 y 2 x2 3 x3 2 x2 3 x3 2 x 22 x
4、2 x4 3 x 33 x3 x6 4 x3 9 x4. 解析答案 (3)y 1sin x 1cos x； 解 y 1sin x 1cos x 1sin x1cos x1sin x1cos x 1cos x2 cos xcos 2xsin xsin2x 1cos x2 1cos xsin x 1cos x2 . 解析答案 (4)y1 x 1 x 1 x 1 x . 解 因为 y1 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 1x 1 x 2 1x 21x 1x 4 1x2， 所以 y 4 1x2 41x41x 1x2 4 1x2. 解析答案 题型二 导数的应用 例2 求过点(1，1)与曲线f(x)x
5、32x相切的直线方程. 解 设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率为 kf(x0)3x2 02. 故切线方程为 yy0(3x2 02)(xx0). (x0，y0)在曲线上，y0x3 02x0， 又(1，1)在切线上， 将式和(1，1)代入式，得1(x3 02x0)(3x 2 02)(1x0). 解得 x01 或 x01 2. P 点坐标为(1，1)或(1 2， 7 8)， 故所求的切线方程为 y1x1 或 y7 8 5 4(x 1 2). 即xy20或5x4y10. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练 2 若函数 f(x)e x x 在 xc 处的导数值与函数值互为相反数， 求 c 的值. 解 因
6、为 f(x)e x x ，所以 f(c)e c c ， 又因为 f(x)e x xex x2 e xx1 x2 ， 所以 f(c)e cc1 c2 . 依题意，知 f(c)f(c)0，所以e c c e cc1 c2 0， 所以 2c10，解得 c1 2. 思想方法 方程思想的应用 例3 设f(x)x3ax2bx1的导数f(x)满足f(1)2a，f(2)b， 其中常数a，bR，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程. 解析答案 返回 解后反思 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.函数 y( x1)( x1)的导数等于( ) A.1 B. 1 2 x C. 1 2x D. 1 4
7、x 解析 因为 y( x1)( x1)x1， 所以yx11. A 解析答案 1 2 3 4 5 2.函数 ycos x 1x的导数是( ) A.sin xxsin x 1x2 B.xsin xsin xcos x 1x2 C.cos xsin xxsin x 1x2 D.cos xsin xxsin x 1x 解析 y cos x 1x sin x1xcos x 1 1x2 cos xsin xxsin x 1x2 . C 1 2 3 4 5 3.曲线 y x x2在点(1，1)处的切线方程为( ) A.y2x1 B.y2x1 C.y2x3 D.y2x2 解析答案 解析 yxx2xx2 x22
8、 2 x22， ky|x1 2 1222， 切线方程为y12(x1)，即y2x1. A 解析答案 1 2 3 4 5 4.直线 y1 2xb 是曲线 yln x(x0)的一条切线，则实数 b_. 解析 设切点为(x0，y0)， y1 x， 1 2 1 x0， x02，y0ln 2，ln 21 22b，bln 21. ln 21 解析答案 1 2 3 4 5 5.曲线yxex2x1在点(0,1)处的切线方程为_. 解析 yexxex2，ky|x0e0023， 所以切线方程为y13(x0)， 即3xy10. 3xy10 课堂小结 返回 求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用 运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征， 根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式.对于不具备导数运算法 则结构形式的要进行适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求 导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
