1、3.2.1 几个常用函数的导数 3.2.2 基本初等函数的导数公式及 导数的运算法则(一) 第三章 3.2 导数的计算 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 学习 目标 1.能根据定义求函数 yc，yx，yx2，y1 x，y x的导数. 栏目 索引 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 几个常用函数的导数 答案 原函数 导函数 f(x)c f(x)_ f(x)x f(x)_ f(x)x2 f(x)_ f(x)1 x f(x) 1 x2 f(x) x f(x) 1 2 x 0 1 2x 知识点二 基本初等函数的导数公式 原函
2、数 导函数 f(x)c f(x)_ f(x)x(Q*) f(x)_ f(x)sin x f(x)_ f(x)cos x f(x)_ f(x)ax f(x) (a0) f(x)ex f(x)_ f(x)logax f(x) (a0，且a1) f(x)ln x f(x)_ 0 x1 cos x sin x axln a ex 1 xln a 1 x 答案 返回 题型探究 重点突破 解析答案 题型一 利用导数定义求函数的导数 例1 利用导数的定义求函数f(x)2 016x2的导数. 反思与感悟 解 f(x)lim x0 2 016xx22 016x2 xxx lim x0 2 016x22xxx22
3、 016x2 x lim x0 4 032xx2 016x2 x lim x0 (4 032x2 016x) 4 032x. 解析答案 跟踪训练1 利用导数的定义求函数yx2axb(a，b为常数)的导数. 解 ylim x0 xx2axxbx2axb x lim x0 x22xxx2axaxbx2axb x lim x0 2xxaxx2 x lim x0 (2xax)2xa. 解析答案 题型二 利用导数公式求函数的导数 例2 求下列函数的导数： (1)ysin 3； 解 y0； (2)y5x； 解 y(5x)5xln 5； (3)y 1 x3； 解 y(x3)3x4； 解析答案 反思与感悟 (
4、4)y4x3； 解 y(4x3)( ) 3 44x ； (5)ylog3x. 解 y(log3x) 1 xln 3. 3 4 x 1 4 3 4 x 解析答案 跟踪训练2 求下列函数的导数： (1)yx13； 解 y(x13)13x13113x12； (2)y4x； 解 y(4x)( ) (3)ysin x； 解 y(sin x)cos x； (4)y 1 5 x2 . 解 y( 1 5 x2 )( ) 1 4 x 13 1 44 11 ; 44 xx 2 5 x 27 1 55 22 . 55 xx 解析答案 题型三 利用导数公式求曲线的切线方程 反思与感悟 例 3 求过曲线 ysin x
5、上点 P 6， 1 2 且与过这点的切线垂直的直线方程. 解 ysin x，ycos x， 曲线在点 P 6， 1 2 处的切线斜率是：y| cos 6 3 2 . 过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为 2 3， 故所求的直线方程为 y1 2 2 3(x 6)， 即 2x 3y 3 2 30. 6 x 解析答案 跟踪训练 3 (1)求曲线 ycos x 在点 A 6， 3 2 处的切线方程； 解 ycos x， ysin x，y| sin 6 1 2. 曲线在点 A 处的切线方程为 y 3 2 1 2 x 6 ， 即 y1 2x 3 2 12. 6 x 解析答案 (2)求曲线 ysin 2x
6、在点 A 3， 1 2 处的切线方程. 解 sin 2x cos x， y(cos x)sin x. 曲线在点 A 3， 1 2 处的切线的斜率为 ksin 3 3 2 . 切线方程为 y1 2 3 2 x 3 ， 即 3 3x6y 330. 思想方法 数形结合思想的应用 例4 设P是曲线yex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离. 分析 如图，设l是与直线yx平行，且与曲线yex相切的直线， 则切点到直线yx的距离最小. 解 设与直线yx平行的直线l与曲线yex相切于点P(x0，y0). 因为yex，所以 ，所以x00. 代入yex，得y01，所以P(0,1). 解析答案 返回 解后反思
7、所以点 P 到直线 yx 的最小距离为|01| 2 2 2 . 0 e1 x 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1.已知f(x)x2，则f(3)等于( ) A.0 B.2x C.6 D.9 解析 f(x)x2， f(x)2x， f(3)6. C 解析答案 1 2 3 4 5 2.函数 f(x) x，则 f(3)等于( ) A. 3 6 B.0 C. 1 2 x D. 3 2 解析 f(x)( x) 1 2 x， f(3) 1 2 3 3 6 . A 1 2 3 4 5 3.设正弦曲线ysin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的 倾斜角的范围是( ) A.0， 4 3 4
8、，) B.0，) C. 4， 3 4 D.0， 4 2， 3 4 解析 (sin x)cos x， klcos x，1kl1， l0， 4 3 4 ，). A 解析答案 解析答案 1 2 3 4 5 4.曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_. 解析 y(ex)ex，ke2， 曲线在点(2，e2)处的切线方程为ye2e2(x2)， 即ye2xe2. 当x0时，ye2，当y0时，x1. S1 21|e 2|1 2e 2. 1 2e 2 解析答案 1 2 3 4 5 5.已知 f(x)5 2x 2，g(x)x3，若 f(x)g(x)2，则 x_. 解析 因为f(x)5x，g(x)3x2， 所以 5x3x22，解得 x11 3，x22. 1 3或 2 课堂小结 返回 1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是 牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地 进行联想化归. 2.有些函数可先化简再应用公式求导. 如求 y12sin2x 2的导数.因为 y12sin 2x 2cos x， 所以y(cos x)sin x. 3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的 变化.
