1、热点05 三角函数与解三角形【命题趋势】 新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出,三角试题每年都考,而且文理有别,或一大一小,或三小,或二小(小指选择题或填空题,大指解答题),解答题以简单题或中档题为主,选择题或填空题比较灵活,有简单题,有中档题,也有对学生能力和素养要求较高的题.三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内。鉴于新课标核心素养的要求，三角函数与解三角形在实际背景下的应用也将是一个考试试点。考点主要集中在三角函数图像及其性质的应用，三角函数恒等变换，以及正弦余弦定理的应用。本专题在以往高考常见的题型上，
2、根据新课标的要求，精选了部分预测题型，并对相应的题型的解法做了相应的题目分析以及解题指导，希望你在学习完本专题以后能够对三角函数以及解三角形的题型以及解答技巧有一定的提升。【知识点分析以及满分技巧】 三角函数图形的性质以及应用：对于选择题类型特别是对称中心，对称轴等问题，ABCD选项中特殊点的带入简单方便，正确率比较高。总额和性的问题一般采用换元法转化成最基本的函数问题去解答。 对于三角函数有关恒等变换的题目应注重公式的变形。 解三角形类型的大题中，重点是角边转化，但是要注意两边必须同时转化，对于对应的面积的最大值问题以及周长的最值问题一般转化成基本不等式去求，但是在用基本不等式的时候应注意不
3、等式等号成立的条件。【考查题型】选择题，填空，（解答题21题）（两小一大或者是三小）【限时检测】（建议用时：90分钟）1（2019安徽芜湖一中高三开学考试）ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为， ，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由正弦定理与同角三角函数的平方关系，化简等式得，从而得到可得答案【详解】ABC中，根据正弦定理，得可得，得ba，可得故选：D【名师点睛】本题考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系等知识，属于基础题2（2019石嘴山市第三中学高考模拟（理）在中，角所对的边分别为，表示的面积，若 ，则A90B60C45D30【答案】D【解析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知
4、等式可得sinA1，即A900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C，从而得到B的值【详解】由正弦定理及得,因为，所以；由余弦定理、三角形面积公式及，得,整理得，又,所以,故.故选：D【名师点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题3（2019山东高考模拟（理）如图所示，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，则的面积等于（ ） ABCD【答案】A【解析】在中，令，得，故；又函数的最小正周期为，所以选A4（2019霍邱县第一中学高三月考（理）在中，角的对边分别为，若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（ ）ABCD【答案】
5、A【解析】 所以，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.5（2019黑龙江鹤岗一中高三月考（理）锐角ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的取值范围是（）ABCD【答案】D【分析】由、倍角公式和正弦定理得，故，根据是锐角三角形可得，于是可得所求范围【详解】，由正弦定理得，是锐角三角形，解得，即的值范围是故选：D【名师点睛】本题考查正弦定理和正切函数的图象性质，易错点是A的取值范围，
6、属于中档题6（2019河南南阳中学高三月考（理）若是的重心，分别是角的对边，若，则角（ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：由于是的重心，代入得，整理得，因此，答案D.考点：1、平面向量基本定理；2、余弦定理的应用.7（2019四川成都七中高考模拟（理）设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，已知，设D是BC边的中点，且的面积为，则等于A2B4CD【答案】A【解析】利用三角形内角和定理可得由正弦定理可得b2+c2a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A（0，）可得A的值，结合的面积求得bc,将利用向量加减法运算转化为,即可求得结果.【详解】，由正弦定理可得：，整理可得：由余弦定理可
7、得：cosA=，由A（0，），可得：A=，又的面积为，即,又=-=-=-=故选A.【名师点睛】本题主要考查了向量加减法的运算、数量积的运算，综合运用了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，考查了转化思想和计算能力，属于中档题8（2018河北衡水中学高考模拟（理）已知函数，则下列说法错误的是（ ）A的图象关于直线对称B在区间上单调递减C若，则（）D的最小正周期为【答案】C【解析】=，故函数的图象关于直线，kZ对称，故A正确；在区间上单调递增，故B正确；函数|的周期为，若|f（x1）|=|f（x2）|，则（kZ），故C错误；的周期为2中，故D正确；故选：C9（2019安徽高考模拟（理）已知函数，其中
8、，为的零点：且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是（ ）A11B13C15D17【答案】C【解析】先根据x为yf（x）图象的对称轴，为f（x）的零点，判断为正奇数，再结合f（x）在区间上单调，求得的范围，对选项检验即可【详解】由题意知函数 为yf（x）图象的对称轴，为f（x）的零点，nZ，2n+1f（x）在区间上有最小值无最大值，周期T（），即，16要求的最大值，结合选项，先检验15，当时，由题意可得，函数为在区间上，（，），此时在时取得最小值，=15满足题意则的最大值为15，故选：C【名师点睛】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，考查了分析转化的能力，难度较大10（2019四
9、川高考模拟（理）在直角坐标系中,如果相异两点都在函数y=f(x)的图象上,那么称为函数的一对关于原点成中心对称的点(与为同一对).函数的图象上关于原点成中心对称的点有( )A对B对C对D对【答案】C【解析】函数的图象上关于原点成中心对称的点的组数，就是与图象交点个数，利用数形结合可得结果.【详解】 因为关于原点对称的函数解析式为,所以函数的图象上关于原点成中心对称的点的组数，就是与为图象交点个数，同一坐标系内，画出与图象，如图，由图象可知，两个图象的交点个数有5个，的图象上关于原点成中心对称的点有5组，故选C.【名师点睛】本题主要考查三角函数与对数函数的图象与性质，以及数形结合思想、转化与划归
10、思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质二、填空题11（2019河南高考模拟（理）在中，则_.【答案】【解析】先化简已知三角等式得，再根据得BC的值.【详解】由已知得：，化简得，故，所以，从而，由，得.故答案为：【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水
11、平和分析推理能力.12（2019河南高考模拟（理）如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若点D是外一点，则当四边形ABCD面积最大值时，_ 【答案】【解析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得，根据范围B（0，），可求B的值由余弦定理可得AC2=1312cosD，由ABC为直角三角形，可求，,SBDC=3sinD，由三角函数恒等变换的应用可求四边形的面积为，利用三角函数化一公式得到最值时的角C值.详解： ，由正弦定理得到 在三角形ACD中由余弦定理得到，三角形ABC的面积为 四边形的面积为 当三角形面积最大时， 故答案为：【名师点睛】：本题主要考查了
12、正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题13（2018全国高考模拟（理）已知的内角的对边分别为，若，则的最小值为_【答案】【解析】分析：由余弦定理结合可得，从而把两元问题转化为一元问题，然后利用均值不等式即可求出的最小值.详解：由余弦定理及，得即，再由正弦定理，得即，即所以，所以，所以 ，当且仅当，即时等号成立，所以 的最小值为故答案为：【名师点睛】：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或
13、积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.14（2018河北衡水中学高考模拟（理）已知在中，角，的对边分别为，则下列四个论断中正确的是_（把你认为是正确论断的序号都写上）若，则；若，则满足条件的三角形共有两个；若，成等差数列，成等比数列，则为正三角形；若，的面积，则.【答案】【解析】由正弦定理可得，又，所以，正确。由于，所以钝角三角形，只有一种。错。由等差数列，可得，得,sinAsinB=sin2B，得，,所以，等边三角形，对。，所以或，或，错。综上所述，选。【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解
14、决问题的目的其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化第三步：求结果，判定是否符合条件，或有多解情况。三、解答题15（2019江苏高考模拟）已知函数，（1）求函数的单调增区间；（2）求方程在(0，内的所有解【答案】（1）,；（2）或【解析】先将进行恒等变换化为正弦型函数，（1）直接利用正弦函数的单调增区间得到,，解得x的范围即可.（2）令，解得x的值，对k进行赋值，使得x落在内，即得结果.【详解】 （1）由,，解得：,.函数的单调增区间为,（2）由得，解得：，即, ，或【名师
15、点睛】本题考查了三角函数求值的运算问题，考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，是基础题16（2019山东高考模拟（理）的内角，的对边分别为，已知，.（1）求角；（2）若点满足，求的长.【答案】（1）；（2）【解析】（1）解法一：对条件中的式子利用正弦定理进行边化角，得到的值，从而得到角的大小；解法二：对对条件中的式子利用余弦定理进行角化边，得到的值，从而得到角的大小；（2）解法一：在中把边和角都解出来，然后在中利用余弦定理求解；解法二：在中把边和角都解出来，然后在中利用余弦定理求解；【详解】（1）【解法一】由题设及正弦定理得，又，所以.由于，则.又因为，所以.【解法二】由题设及余弦定理可得，化简
16、得.因为，所以.又因为，所以.（2）【解法1】由正弦定理易知，解得.又因为，所以，即.在中，因为，所以，所以在中，由余弦定理得，所以.【解法2】在中，因为，所以，.由余弦定理得.因为，所以.在中，由余弦定理得所以.【名师点睛】本题主要考察利用正余弦定理解三角形问题，方法较多，难度不大，属于简单题.17（2019天津高考模拟（理）的内角，所对的边长分别为，且（）求角的大小；（）若角，边上的中线的长为，求的面积【答案】（）（）【解析】（）通过已知条件利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，化简求出角A余弦函数值，然后求出A的大小； （）利用角，BC边上的中线AM的长为，通过余弦定理求出AC的长，通过
17、三角形面积求出即可【详解】解：（），即 则，因为0A则 （）由（1）知，所以ACBC，设ACx，在AMC中由余弦定理得即，解得， 故【点睛】本题考查两角和与差的三角函数，正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积公式的应用，考查计算能力18（2017河南郑州一中高考模拟（理）在中，内角对应的三边长分别为，且满足（）求角；（）若，求的取值范围【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）由已知得，由余弦定理可得；（）由正弦定理，化简，由，得，故试题解析：（），（）解法1：由正弦定理得，所以解法2：，即，考点：解三角形19（2019山东高考模拟（理）在中，是边上的点，.（1）求的大小；（2）若，求的面积.
18、【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）直接利用余弦定理和正弦定理求出结果（2）利用（1）的结论和余弦定理求出三角形的面积试题解析：（1）在中， ，得由，得在中，由正弦定理得，所以（2）因为，是锐角，所以设，在中，即化简得：解得或（舍去）则由和互补，得所以的面积20（2019全国高三月考（理）如图，在中，点在 边上，且.（）求的长；（）求的值. 【答案】(1) ;(2) .【解析】（1）由，进而得，然后利用正弦定理求边长；（2）由，得，.，利用余弦定理得，从而试题解析：（）在中，. .在中，由正弦定理得，即，解得.（），解得，在中，在中，.【名师点睛】：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.
