1、1.4 角平分线第1课时定理定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上，PD OA，PE OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.AOBPEDC证明：PDOA,PEOB ODP=OEPODP=OEP=90在RtODP和Rt OEP中 ODP=OEP,ODP=OEP,DOPDOP EOPEOP,OP=OP OP=OP RtODP Rt OEP(AAS)PD=PE角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：用符号语言表示为：AOBPED121=2 PD OA，PE OBPD=PE.提示:这个结论是
2、经常用来证明两条线段相等的根据之一这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.C例.已知：如图，ABC中，C=90，AD是ABC的角平分线，DEAB于E，F在AC上,BD=DF.求证：CF=EB.证明：AD平分CAB,DEAB，C90（已知）,CDDE(角平分线的性质).在RtCDF和RtEDB中,CD=ED（已证）,DF=DB（已知）,RtCDFRtEDB(HL).CF=EB（全等三角形的对应边相等）.CFAEDB思考分析 你能写出角平分线的性质定理的逆命题吗?逆命题：在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.请你证明它是不是真命题?已知:如图,PD=PE,PDOA,P
3、EOB,垂足分别是D,E.求证:点P在AOB的平分线上.OBAPDE逆命题：逆命题：在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离相等且到角的两边距离相等的点的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.证明：PDOA,PEOB ODP=OEP=90在RtODP和Rt OEP中 DP=EP,OP OP RtODP Rt OEP(HL)AOP=BOP，点P在AOB的平分线上.角平分线的判定角平分线的判定OBAPDE逆定理：逆定理：在一个角的内部在一个角的内部,到角的两边距离相等到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上的点在这个角的平分线上.几何语言：PD=PE,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E
4、点P在AOB的平分线上提示:这个结论是经常用来证明这个结论是经常用来证明点在直线上点在直线上(或或直线经过直线经过某一某一点点)的根据之一的根据之一.也叫平分线的判定定理例1 已知:如图,在ABC中,BAC=60度，点D在BC上，AD=10，且DE=DF,DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.求DE的长.A AB BC CD DE EF F证明:DEAB,DFAC,垂足分别是E,F.DE=DF,AD是BAC的平分线又2BAC=60，BAD=30.在RtADE中，AED=90,AD=10,DE=AD=x10=5 2121例2如图,BD=CD,CEAB,BFAC.求证:BAD=CAD.分析:要证明
5、点D在BAC的平分线上,只需证明点D到BAC两边的距离相等,可以由BDE CDF得到.证明:CEAB,BFAC,BED=CFD=90.EBD FCD(AAS).DE=DF.点D在BAC的平分线上(在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).BAD=CAD.练习如图，在四边形ABDC中，DABD90，点O为BD的中点，且AO平分BAC.求证：OC平分ACD.证明：如图，过点证明：如图，过点O作作OEAC.AO平分平分BAC，ABD90，OEOB.又又点点O为为BD的中点，的中点，OBOD，OEOD，OC平分平分ACD.到角的两边的距离相等的点在角到角的两边的距离相等的点在角的平分
6、线上。的平分线上。用数学语言表示为：QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE本课小结角平分线的性质定理角平分线的判定定理1.如图,在ABC中,C=90 AD是BAC的平分线,DEAB于点E,点F在AC上,BD=DF.求证:(1)CF=EB;(2)AB=AF+2EB.证明:(1)AD是BAC的平分线,DEAB,DCAC,DE=DC.在RtDCF和RtDEB中,RtCDFRtEDB(HL).CF=EB.课外作业2如图，点E是AOB的平分线上一点，ECOA，EDOB
7、，垂足分别为C，D.求证：(1)ECDEDC；(2)OCOD；(3)OE是线段CD的垂直平分线证明：证明：(1)点点E是是AOB的平分线上一点，的平分线上一点，ECOA，EDOB，EDEC，ECDEDC.(2)在在RtODE和和RtOCE中，中，OEOE，EDECRtODERtOCE(HL)，OCOD.(3)EDEC，ODOC，OE是线段是线段CD的垂直平分线的垂直平分线3如图，O是ABC内一点，且O到ABC三边AB，BC，CA的距离OFODOE，若ABC60，ACB50，求BOC的度数解：解：O到三边到三边AB，BC，CA的距离的距离OFODOE，点点O是三角形三条角平分线的交点是三角形三条
8、角平分线的交点ABC60，ACB50，OBC30，OCB25，BOC180OBCOCB1803025125.4.如图，在四边形OACB中,CMOA于点M,若1=2,3+4=180求证:CA=CB.习题1.9答案1.解如图,结论:三角形的三个内角的平分线交于一点,并且这个点到三角形的三边的距离相等.2.证明AD平分BAC且DEAB,DFAC,DE=DF.又BD=DC,RtBDE RtCDF(HL).BE=CF.3.证明证法1:C=90,A=30,ABC=60.DE垂直平分AB,EA=EB.ABE=A=30.CBE=ABC-ABE=30=ABE.BE平分ABC.证法2:C=90,A=30,BC=A
9、BDE垂直平分AB,BD=AB,BDE=90.BC=BD.又C=90,BE=BE,RtBDE RtBCE(HL).DBE=CBEBE平分ABC.4.解作法:如图,(1)作AOB的平分线OM;(2)连接CD;(3)作CD的垂直平分线交OM于点P,则P点即为所求.1.4 角平分线第2课时三角形的内角平分线活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？三角形的内角平分线发现：三角形的三条角平分线相交于一点.活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.已知：如图，ABCABC的角平分线BMBM，CNCN相交于点P P
10、，过点P作三边的垂线，垂足分别是点D,E,F.求证：求证角A的平分线过点P,且PDPD=PE=PE=PFPF证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.BM是ABC的角平分线，点P在BM上，PD=PE.同理PE=PF.PD=PE=PF.点P在角A的平分线上,即三条角平分线相交于一点即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.D E F A B C P N M 求证:三条角平分线相交于一点,且这点三条边的距离相等P1P2P3P4l1l2l3练习.如图,直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可选择的地址有几处?
11、画出它的位置.例1.如图,在ABC中,已知AC=BC,C=90,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E.(1)如果CD=4cm,AC的长;EDABC（1）解：AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E，DE=CD=4cm.AC=BC,B=BAC.C=90,B=45.BE=DE.在等腰直角三角形BDE中，224 2cm.BDDE(4 4 2)cm.ACBCCD BD(2)求证:AB=AC+CD.EDABC（2）证明：由（1）的求解过程易知，RtACDRtAED(HL).AC=AE.BE=DE=CD,AB=AE+BE=AC+CD.例1.如图,在ABC中,已知AC=BC,C=90,AD是ABC的
12、角平分线,DEAB,垂足为E.解：连接OC1112221()214 32642ABCAOCBOCAOBSSSSAB OEBC ONAB OMOMABBCOM MENABCPOD例2：如图，在直角ABC中，AC=BC,C90，AP平分BAC，BD平分ABC;AP,BD交于点O，过点O作OMAC,若OM4,若ABC的周长为32，求ABC的面积.解:点P在AOB的平分线上.理由如下:过点P分别作PDOA于点D,PEOB于点E.S四边形OMPG=S四边形OFPN,S四边形OMPG-S四边形OMPF=S四边形OFPN-S四边形OMPF,即SFPG=SMPN.FG=MN,PD=PE.又PDOA,PEOB,
13、点P在AOB的平分线上.例3 3如图,点F,G是OA上的两点,点M,N是OB上的两点,且FG=MN,四边形OMPG的面积与四边形OFPN的面积相等.那么点P是否在AOB的平分线上?请说明理由.习题1.101.证明C=90,B=30,BAC=60.AD平分BAC,DAC=BAD=30.B=30,BAD=B=30.BD=AD.C=90,DAC=30,AD=2CD.BD=2CD.2 2.证明如图所示,过点F作FGAD,FHAE,FIBC.BF是DBC的平分线,FG=FI.同理,FH=FI.FG=FH.点F在DAE的平分线上.3 3.证明(1)P是AOB平分线上的一点,PCOA,PDOB,PC=PD.
14、又OP=OP,RtOCPRtODP.OC=OD.(2)OC=OD,COP=DOP,OP是CD的垂直平分线.4.解(1)如图,作BAC的角平分线AF或作BAC的外角CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点(A除外)都满足到AB,AC的距离相等,可以修建油库.(2)如图,作BAC的角平分线,作BCA的角平分线,两角平分线交于一点P,P点是修建油库的位置.1.三角形三条角平分线的性质定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边三条边的距离相等.2.三角形三个内角平分线的交点只有一个,实际作图时,只需作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两条角平分线的交点.3.利用面积法
15、求距离的方法:三角形角平分线交点与三个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分线交点到三边距离的常用方法.归纳总结1.如图,在ABC中,B的平分线与C的外角的平分线交于点P,PD AC于点D,PHBA于点H.(1)若点P到直线BA的距离是5cm,求点P到直线BC的距离;(2)求证:点P在HAC的平分线上.课外作业2.如图,已知CDAB,BEAC,垂足分别为点D,E,BE,CD相交于点O,连接AO.求证:(1)当l=2时,OB=OC;(2)当OB=OC时,1=2.2.如图,已知CDAB,BEAC,垂足分别为点D,E,BE,CD相交于点O,连接AO.求证:(1)当l=2时,OB=OC;(2)当OB=OC时,1=2.3.已知MAN=I20,AC平分MAN,点B,D分别在AN,AM上，(1)如图,若ABC=ADC=90，请你探究线段AD,AB,AC之间的数量关系,并证明;(2)如图,若ABC+ADC=180,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.3.已知MAN=I20,AC平分MAN,点B,D分别在AN,AM上，(2)如图,若ABC+ADC=180,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
