1、 中考数学专题中考数学专题 复习复习圆的切线的证明圆的切线的证明2一、本课主要知识点一、本课主要知识点1.定义：定义：与圆只有一个与圆只有一个_的直线叫做圆的切线，这个的直线叫做圆的切线，这个 公共点叫做切点公共点叫做切点.2.切线的性质定理：切线的性质定理：圆的切线垂直于过圆的切线垂直于过_的半径的半径.3.切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径的外端并且经过半径的外端并且_于这条半径于这条半径 的直线是圆的切线的直线是圆的切线.4.证明一条直线是圆的切线方法：证明一条直线是圆的切线方法：主要有两种：一是利用圆心到直线的距离等于主要有两种：一是利用圆心到直线的距离等于_，二，二 是利用切线
2、的是利用切线的_，即常作的辅助线是：已知切点，即常作的辅助线是：已知切点，_证证_或未知切点，作或未知切点，作_证证_.公共点公共点切点切点垂直垂直半径半径判定定理判定定理连半径连半径垂直垂直垂直垂直半径半径Ao (1)当已知条件中没有明确给出直线与圆有公共当已知条件中没有明确给出直线与圆有公共点时点时,常过圆心作该直线的垂线段常过圆心作该直线的垂线段,证明该垂线段的证明该垂线段的长等于半径长等于半径,也就是也就是“”。(2)当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条证明该半径垂直于这条直线，
3、直线，也就是也就是“”。经过半径的外端并且垂直于这条半径经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线的直线是圆的切线.CD作垂直作垂直,证半径证半径连半径连半径,证垂直证垂直4 ：直线与圆有交点，连半径，证垂直：直线与圆有交点，连半径，证垂直.1.图中有图中有90角时：角时：证垂直的方法及常见图形如下：（1）利用等角代换：通过互余的两个角之间的等量代换得证；类型一类型一5（2）利用平行线性质证明垂直：如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可；（3）利用三角形全等或相似：通过证明切线所在三角形与含90角的三角形全等或相似得证.62.图中无图中无90角时：角时：利用等腰三角形
4、性质，通过证明切线为所在等腰三角形的中线或角平分线，再根据“三线合一”的性质得证.7 ：直线与圆无交点，作垂直，证半径：直线与圆无交点，作垂直，证半径.类型二类型二8证明：证明：作直径作直径AD，连接，连接CD，ACD=90，D+DAC=90，B=D，CAE=B，D=CAE，CAE+DAC=D+DAC=90，即即DAE=90，AE是是 O的切线的切线.二、例题讲解二、例题讲解1.如图如图ABC内接于内接于 O，AB是弦，是弦，CAE=B，求证：求证：AE是是 O的切线的切线.AEOBDC OAAE，9证明：证明：作作CEAB于于E，连接连接AC、OC、BC，AB是是 O的直径，的直径，ACB=
5、90，又又 CD是是 O的切线，的切线，1+ACO=DCO=90，又又 OC=OB，二、例题讲解二、例题讲解2.如图，如图，AB是半圆是半圆 O的直径，的直径，C为半圆上的一点，为半圆上的一点，CD切切 O 于点于点C，ADCD于于D，以，以C为圆心为圆心CD为半径作圆为半径作圆C，求证：求证：AB是是 C的切线的切线.EODABC（12（3 2+ACO=90，OCDC，1=2，2=B，1=B，10又又 3+CAE=90，B+CAE=90，3=B，又又AC=AC，CDA=CEA=90，ACD ACE，CE=CD，AB是是 C的切线的切线.二、例题讲解二、例题讲解2.如图，如图，AB是半圆是半圆
6、 O的直径，的直径，C为半圆上的一点，为半圆上的一点，CD切切 O 于点于点C，ADCD于于D，以，以C为圆心为圆心CD为半径作圆为半径作圆C，求证：求证：AB是是 C的切线的切线.证明：证明：1=3，EODABC（12（311三、巩固练习三、巩固练习1.如图，已知如图，已知AOB=30，M是是OA边上任意一点，以边上任意一点，以M为为 圆心，圆心，2 cm为半径作为半径作 M，当，当OM=_ cm时，时，M与与OB 相切相切.分析：分析：作作MCOB于于C，当当MC=2 cm时，时，M与与OB相切，相切，O=30，OM=2MC=22=4(cm)C）30MABO412三、巩固练习三、巩固练习2
7、.如图如图AB是是 O的直径，的直径，ODBC与弦与弦BC于点于点F，交，交 O于于E，AEC=ODB，（1）判断直线）判断直线BD与与 O的位置关系，并给出证明；的位置关系，并给出证明；解：解：直线直线BD是是 O的切线的切线.理由：理由：OFBC，OFB=90，1+2=90，又又 1=3，又又 3=D，OBD=180-90=90，直线直线BD是是 O的切线的切线.3+2=90，D+2=90，OBBD，OABEDC3（1（）2F13三、巩固练习三、巩固练习2.如图如图AB是是 O的直径，的直径，ODBC与弦与弦BC于点于点F，交，交 O于于E，AEC=ODB，（2）当）当AB=10，BC=8
8、时，求时，求BD的长的长.解：解：AO=BO=AB=10=5，CFBC，BF=FC=BC=8=4，2=2，OFB=OBD=90，OBFODB，121212122222543OFOBBFOABEDC3（1（）2F14三、巩固练习三、巩固练习2.如图如图AB是是 O的直径，的直径，ODBC与弦与弦BC于点于点F，交，交 O于于E，AEC=ODB，（2）当）当AB=10，BC=8时，求时，求BD的长的长.，3DB=20，DB=.OFBFOBDB 345DB 203解：解：OABEDC3（1（）2F15三、巩固练习三、巩固练习3.如图，如图，AB是是 O的直径，的直径，AE平分平分BAF，交，交 O于于E，过，过 E作直线作直线EDAF，交，交AF的延长线于点的延长线于点D，交，交AB的延长线的延长线 于点于点C，求证：，求证：CD是是 O的切线的切线.OABCEDF（213（证明：证明：连接连接OE，AE平分平分BAF，1=2，又又 OA=OE，1=3，OEAD，又又 EDAD，CD是是 O的切线的切线.2=3，OEED，同学们，再见！同学们，再见！
