1、第一章第一章 特殊平行四边形特殊平行四边形复习回顾复习回顾四边形集合四边形集合平行四边形集合平行四边形集合矩形集合矩形集合定义：有一个角是定义：有一个角是直角直角的的平行四边形平行四边形叫做矩形。叫做矩形。四边形四边形平行四平行四边形边形两组对边两组对边分别平行分别平行一个角一个角是直角是直角矩形矩形矩形的性质矩形的性质(1)(1)边：对边平行且相等边：对边平行且相等(2)(2)角：四个角都是直角角：四个角都是直角(3)(3)对角线：相等且互相平分对角线：相等且互相平分ABDC 矩形矩形ABCD,ABCD,AB CDAB CD，AD BCAD BC 矩形矩形ABCDABCD AC=BD AC=
2、BD 且且OA=OB=OC=OD.OA=OB=OC=OD.矩形矩形ABCDABCD ABC ABCBCDBCDCDACDADABDAB9090 O性质性质课前热身课前热身1、矩形的四个内角都是、矩形的四个内角都是_。2、矩形的对角线、矩形的对角线_且且 _。直角直角相等相等互相平分互相平分3、矩形是、矩形是_对称图形。对称图形。轴对称和中心轴对称和中心4、在直角三角形中，、在直角三角形中，_角所对的直角角所对的直角边等于斜边的边等于斜边的_。5、在直角三角形中，斜边上的、在直角三角形中，斜边上的_等于等于斜边的斜边的_。3030一半一半中线中线一半一半矩形的判定方法矩形的判定方法1：有有一个角
3、是直角一个角是直角的的平行四边形平行四边形是矩形是矩形.在在 ABCD中中 B=90四边形四边形ABCD是矩形是矩形AB CD情境情境：工人师傅为了检验：工人师傅为了检验两组对边相等两组对边相等的四边形窗框的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角一量这个四边形的两条对角线长度，如果线长度，如果对角线长相等对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？为什么吗？猜想猜想：对角线相等的平行四边形是矩形：对角线相等的平行四边形是矩形。命题：对角线相等的平行四边形是矩形。命题：对角线相等的平行四边形是矩形。已知：已知：在在ABCD中
4、中,AC,DB是它的两条对角线，是它的两条对角线，AC=BD。求证：四边形求证：四边形ABCD是矩形。是矩形。ABCD证明证明:AB=CD BC=BC AC=BD ABC DCB（SSS）又又 AB/CD ABC+DCB=180 ABC=DCB=90 四边形四边形ABCD是矩形是矩形 ABC=DCB 四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，AB=DC,ABDCAB=DC,ABDC 在在ABC和和DCB中中 对角线相等的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形。ABDC几何语言：几何语言：在在 ABCDABCD中中 AC=BDAC=BD ABCDABCD是矩形是矩形0有一个角是直角
5、有一个角是直角有两个角是直角有两个角是直角 的的 四边形四边形是矩形吗？是矩形吗？有三个角是直角有三个角是直角ABDC(有一个角是直角)ABDC(有二个角是直角)ABDC(有三个角是直角)探究探究猜想猜想：有三个角是直角的四边形是矩形：有三个角是直角的四边形是矩形。P15你能证明上述结论吗？你能证明上述结论吗？已知：在四边形已知：在四边形ABCDABCD中，中，A=B=C=90A=B=C=90求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是矩形。是矩形。A AB BC CD D证明：证明：A=B=90A=B=90 A+B=180A+B=180ADBCADBC同理可证：同理可证：ABCDABCD四边形
6、四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形又又 A=90A=90四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形命题：有三个角是直角的四边形是矩形。命题：有三个角是直角的四边形是矩形。有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形 ABCD A=B=C=90A=B=C=90 四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形几何语言：几何语言：对角线相等的平行四边形是矩形。（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）有三个角是直角的四边形是矩形。方法方法1 1：方法方法2 2：方法方法3 3：你有什么方法检查你家（或教你有什么方法检查你家（或教室）刚安装的门框是
7、不是矩形？室）刚安装的门框是不是矩形？【P15议一议议一议】如果仅有一根较长的绳子，如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？你怎样检查？下列各句判定矩形的说法是否正确？下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）有一个角是直角的四边形是矩形；（）（2）四个角都相等的四边形是矩形；）四个角都相等的四边形是矩形；（）（4）对角线相等的四边形是矩形；）对角线相等的四边形是矩形；（）（5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（）（3）四个角都是直角的四边形是矩形。）四个角都是直角的四边形是矩形。（）（6）两组对边分别平行，且对角线相等的四）两
8、组对边分别平行，且对角线相等的四 边形是矩形边形是矩形 ()例：如图，在例：如图，在ABCDABCD中中，对角线，对角线ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，ABOABO是等边三角形，是等边三角形，AB=4cmAB=4cm，求这个，求这个ABCDABCD的的面积面积.解：解：四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，是平行四边形，AC=2OAAC=2OA，BD=2OBBD=2OB，AOBAOB是等边三角形是等边三角形 OA=OB OA=OB，AC=BD AC=BD，ABCDABCD是矩形是矩形.在在RtRtABCABC中，中，AB=4cmAB=4cm，AC=2AO=8cm,AC=2AO=
9、8cm,BC=BC=22844 3(cm),S SABCDABCD=AB=ABBC=4BC=44 =16 (4 =16 (cmcm2 2).).33ABCDO已知：如图，已知：如图，在在ABCD中中，M M是是ADAD边的中点，且边的中点，且MB=MCMB=MC。求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是矩形。是矩形。ABCDMP16随堂练习随堂练习A=B=C=90ABCDAC=BDABCDA=90 ABCD是矩形四边形ABCD是矩形谈一谈，今天你有何收获？谈一谈，今天你有何收获？判定一个四边形是矩形的方法是：判定一个四边形是矩形的方法是：2如图，工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行：如图，
10、工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行：(1)先截出两对符合规格的铝合金窗先截出两对符合规格的铝合金窗(如图如图)使使AB=CD、EF=GH；(2)摆放成摆放成(如图如图)的四边形，则这时窗框的形状是的四边形，则这时窗框的形状是 ，根据的数学道理是根据的数学道理是 。(3)将直角尺靠紧窗框的一个角将直角尺靠紧窗框的一个角(如图如图)调整窗框的边框，当直角调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图如图)，说明窗框合格这时窗，说明窗框合格这时窗框是框是 ，根据的数学道理是，根据的数学道理是 。有一个内角是直角有一个内角是直角相等相等矩形矩形矩形矩形两组对边
11、分别相等的四边形平行四边形两组对边分别相等的四边形平行四边形1 的平行四边形是矩形对角的平行四边形是矩形对角线线 的平行四边形是矩形有三个角是直角的的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是四边形是 形。形。平行四边形平行四边形有一个角是直角的的平行四边形是矩形有一个角是直角的的平行四边形是矩形3、已知如图四边形、已知如图四边形ABCD中，中，ABBC，ADBC，AD=BC，试说明四边形试说明四边形ABCD是矩形。是矩形。证明：证明：AD=CB ADCB 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 ABBC B=90 ABCD是矩形是矩形ABCD4、如图，平行四边形、如图，平行四边形ABCD
12、中，中，AB=6，BC=8，AC=10，求证求证:四边形四边形ABCD是矩形。是矩形。DBCA证明：证明：AB=6,BC=8,AC=10AB2+BC2=62+82=100=102=AC2 B=90又又 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 ABCD是矩形是矩形5、BD、BE分别是分别是ABC与它的邻补角的与它的邻补角的平分线，平分线，AEBE，ADBD，求证：四边形求证：四边形AEBD是矩形。是矩形。证明：证明：AEBEAEBE，ADBDADBD E=90 E=90,D=90,D=90 BDBD，BEBE分别是分别是ABCABC与它的与它的邻补角邻补角CBPCBP的平分线的平分线212
13、11=ABC,2=ABP AEBDAEBD是矩形是矩形CBADEP12 1+2=(1+2=(ABC+ABC+ABP)=ABP)=180180=90=902121即即DBE=90DBE=90AOBDC6、已知如图四边形已知如图四边形ABCD中中 AO=BO=CO=DO，试说明四边形试说明四边形ABCD是矩形。是矩形。证明证明：AO=BO=CO=DOAO=BO=CO=DOAO=COAO=CO，BO=DOBO=DO四边形四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形即即AC=BDAC=BD四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形又又AO+CO=BO+DOAO+CO=BO+DOABCDEFGHO7 7
14、、已知：、已知：矩形矩形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC、BDBD相交于相交于O O，E E、F F、G G、H H分别是分别是AOAO、BOBO、COCO、DODO上的一点，上的一点，且且AE=BF=CG=DHAE=BF=CG=DH。求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是矩形。是矩形。证明证明：四边形四边形ABCD是矩形是矩形 AO=BO=CO=DO又又 AE=BF=CG=DHOE=OF=OG=OH四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形又又EO+OG=FO+OHEO+OG=FO+OH即即EG=FHEG=FH四边形四边形EFGHEFGH是矩形是矩形ABDCHEFG四边形四边形
15、ABCD是平行四边形是平行四边形 DAB+ABC=180 8、如图，、如图，ABCD四个内角的平分线围成四边形四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由的形状，并说明理由证明：证明：同理：同理：EFG=90、FGH=90四边形四边形EFGH是矩形是矩形AE、BE分别平分分别平分DAB、ABC EAB+EBA=90 即即AEB=90 HEF=90ABDCHEFG8、如图，、如图，ABCD四个内角的平分线围成四边形四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由的形状，并说明理由证明：证明：MPNQ四边形四边形ABCD是
16、平行四边形是平行四边形ABC=ADC又又AN、DM是是ABC、ADC的平分线的平分线ABQ=QBC=ADM=CDM又又ADBC AQB QBC=ADMBQDMAE、BE分别平分分别平分DAB、ABC EAB+EBA=90 即即AEB=90 HEF=90四边形四边形EFGH是矩形是矩形同理：同理：ANCP 四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形变式：变式：平行四边形平行四边形ABCD，AF、BH、CH、DF分别是分别是 BAD、ABC、BCD、CDA的的平分线。求证：平分线。求证：EF=GH.MLKNFGHEDCBA9、如图、如图,在在ABC中中,点点0是是AC边上的一个动点边上的一个动点
17、,过点过点0作直线作直线MNBC,若若MN交交BCA的平分线的平分线于点于点E,交交BCA的外角平分线于点的外角平分线于点F,ABCMN0)1)2(5(4(3(6(1)求证求证:0E=0F(2)当当0运动到何处时运动到何处时,四边形四边形AECF为为矩形矩形?说明理由说明理由EF证明：证明：CFCF平分平分ACDACD 1=2 1=2 又又 MNBCMNBC 1=31=3 2=3 2=3 OC=OF OC=OF 同理可证：同理可证：OC=OEOC=OE OE=OF OE=OFD D答：当点答：当点0 0为为ACAC的中点时，的中点时，四边形四边形AECFAECF是矩形是矩形理由：由（理由：由（
18、1 1）知）知0E=0F0E=0F，又又AO=COAO=CO 四边形四边形AECFAECF是平行四边形是平行四边形 又又ECEC平分平分ACBACB，FCFC平分平分ACDACD 2+4=90 2+4=90即即ECF=90ECF=90 四边形四边形AECFAECF是矩形是矩形拓展：拓展：(1)(1)对角线相等的四边形是矩形吗对角线相等的四边形是矩形吗?(2)(2)需要添加什么条件才能使需要添加什么条件才能使 对角线相等的四边形是矩形吗对角线相等的四边形是矩形吗?归纳：归纳：对角线相等且互相平分的对角线相等且互相平分的四边形是矩形四边形是矩形 AC=BD AC=BD 且且OA=OC OB=OD
19、OA=OC OB=OD 四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形等腰梯形等腰梯形测量测量？现在你可以帮助木工朋友检测所制作的现在你可以帮助木工朋友检测所制作的窗框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数窗框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数据，有几种方案，根据又是什么呢？据，有几种方案，根据又是什么呢？分别测量出两组对边的长度和一个内角的分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格这个内角是直角，则窗框符合规格测量出三个内角的度数，如果三个内角都测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格是直角，
20、则窗框符合规格分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格分别相等，那么窗框符合规格方案方案:方案方案:方案方案:分别测量出两组对边的长度和分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格则窗框符合规格方案方案1:1:先用两组对边相等判定是平行四边再用先用两组对边相等判定是平行四边再用定义判定是矩形定义判定是矩形 测量出三个内角的度数，如果三测量出
21、三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格个内角都是直角，则窗框符合规格方案方案2:2:有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形 分别测量出窗框四边和两条对角分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格框符合规格方案方案3:3:先用两组对边相等判定是平行四边再用先用两组对边相等判定是平行四边再用对角线相等判定是矩形对角线相等判定是矩形 分别测量出一组对边的长度和分别测量出一组对边的长度和这组同旁内角的度数，如果这组对这组同旁内角的度数，如果这组对边的长度相等，且这两个内角都是边的长度相等，且这两个内角都是直角，则窗框符合规格直角，则窗框符合规格 方案方案4:4:先用一组对边平行且相等判定是平行四先用一组对边平行且相等判定是平行四边再用定义判定是矩形边再用定义判定是矩形
