1、第第1313章章 全等三角形全等三角形13.2 三角形全等的判定三角形全等的判定第第3 3课时课时 角边角或角边角或 角角边角角边1课堂讲解课堂讲解u判定两三角形全等的基本事实：角判定两三角形全等的基本事实：角边角边角 u判定两三角形全等的定理：角角边判定两三角形全等的定理：角角边2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1知识点知识点判定两三角形全等的基本事实：角边角判定两三角形全等的基本事实：角边角前面我们已经讨论，当两个三角形有两边一角对应前面我们已经讨论，当两个三角形有两边一角对应 相等时，这两个三角形是否全等的两种情况，得到相等时，这两个三角形是否全等的两
2、种情况，得到了全了全等等 三角形的一种判定方法三角形的一种判定方法.现在，我们讨论两角一边的情况：如果两个三角形现在，我们讨论两角一边的情况：如果两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形全形全等吗？等吗？知知1 1导导 知知1 1导导与两边一角类似，也会出现两种不同的情况：如图与两边一角类似，也会出现两种不同的情况：如图 13.2.8所示，一种情况是两个角及这两角的夹边所示，一种情况是两个角及这两角的夹边;另另一一 种情况是两个角及其中一角的对边种情况是两个角及其中一角的对边.图图 13.2.8 如图如图13.2.9,已知两个角和一条
3、线段，试画一个三角形，已知两个角和一条线段，试画一个三角形，使这两个角使这两个角 为其内角，这条线段为这两个角的夹边为其内角，这条线段为这两个角的夹边.图图 13.2.9 把你画的三角形与其他同学画把你画的三角形与其他同学画的三角形的三角形 进行比较，或将你画的三进行比较，或将你画的三知知1 1讲讲做做一一 做做步骤：步骤：1 1画一条线段画一条线段ABAB，使它等于使它等于3 cm;3 cm;2 2画画MAB=60MAB=60,NBA=40NBA=40，MAMA与与NBNB交于点交于点C.C.ABCABC即为所求即为所求.角形剪下，放到其他角形剪下，放到其他 同学画的三角形上，看看是同学画的
4、三角形上，看看是否完全重合否完全重合.所画所画 的三角形都全等吗？的三角形都全等吗？换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的换两个角和一条线段，试试看，是否有同样的结论结论.知知1 1讲讲 角边角角边角 1.基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全 等，简记为等，简记为A.S.A.(或角边角或角边角)2.证明书写格式：在证明书写格式：在ABC和和ABC中，中，ABC ABC.要点精析：要点精析：(1)全等的元素：两角及两角夹边；全等的元素：两角及两角夹边；(2)在书在书写两个三角形全等的条件角边角时，一定要把夹边相等写写两个三角形全等的条件角边角
5、时，一定要把夹边相等写在中间，以突出角边角的位置以及对应关系在中间，以突出角边角的位置以及对应关系知知1 1讲讲AA，ABAB，BB，例例1 如图如图13.2.11，已知，已知 ABC=DCB，ACB=DBC.求证：求证：ABC DCB，AB=DC.证明：在证明：在ABC和和DCB中，中，ABC=DCB(已知），已知），BC=CB(公共边），公共边），ACB=DBC(已知），已知），图图13.2.11ABC DCB(A.S.A.).AB=DC(全等三角形的对应边相等）全等三角形的对应边相等）.知知1 1讲讲 总总 结结知知1 1讲讲(1)(1)在证两三角形全等所需要的角相等时，通常在证两三角形
6、全等所需要的角相等时，通常采用的目前所学过的方法有：采用的目前所学过的方法有：(1)(1)公共角、对顶公共角、对顶角分角分别相等；别相等；(2)(2)等角加等角加(减减)等角，其和等角，其和(差差)仍相等，仍相等，即即等式的性质；等式的性质；(3)(3)同角或等角的余同角或等角的余(补补)角相等；角相等；(4)(4)角角平分线得到相等角；平分线得到相等角；(5)(5)平行线的同位角、内错平行线的同位角、内错角相角相等；等；(6)(6)直角都相等；直角都相等；(7)(7)全等三角形对应角相等；全等三角形对应角相等；(8)(8)第三角代换，即等量代换等第三角代换，即等量代换等 1 如图，如图，A=
7、B,CA=CB，CAD和和CBE全等吗？全等吗？CD和和CE相等吗？试说明理由相等吗？试说明理由.知知1 1练练 2 (中考中考安顺安顺)如图，已知如图，已知AECF，AFDCEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定那么添加下列一个条件后，仍无法判定ADF CBE的是的是()AAC BADCB CBEDF DADBC知知1 1练练 3 (3 (中考中考宁波改编宁波改编)如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，中，ABABCDCD，ABCDABCD，E E，F F是是BDBD上的两点，如果添加一个条件，上的两点，如果添加一个条件，使使ABEABECDFCDF，则添加的条件不能为，则添加的
8、条件不能为()A ABEBEDF DF B BBFBFDEDE C CAEAECF CF D D1 12 2知知1 1练练 2知识点知识点判定两三角形全等的定理：角角边判定两三角形全等的定理：角角边知知2 2导导 如图如图13.2.12,13.2.12,如果两个三角形有如果两个三角形有两个角分别对应两个角分别对应 相等，且其中一组相等，且其中一组相等的角的对边相等，那么这两个相等的角的对边相等，那么这两个三角三角 形是否一定全等？形是否一定全等？分析：因为三角形的内角和等分析：因为三角形的内角和等于于180180，因此有两个，因此有两个 角分别对应角分别对应 思思考考知知2 2导导 相等，那么
9、第三个角必定对应相等，于是由相等，那么第三个角必定对应相等，于是由“角边角边 角角”，便可证得这两个三角形全等，便可证得这两个三角形全等.1.定理：两角分别相等且其中一角的对边相等的两个定理：两角分别相等且其中一角的对边相等的两个三角形全等，简记为三角形全等，简记为A.A.S.(或角角边或角角边)证明书写格式：在证明书写格式：在ABC和和ABC中，中，ABC ABC.要点精析：要点精析：(1)全等的元素：两角及其中一角的对边；全等的元素：两角及其中一角的对边；(2)用用S.A.S.，A.S.A.，A.A.S.证明全等时，要注意图证明全等时，要注意图形中隐含的相等的角例如：对顶角、公共角、同角的
10、余形中隐含的相等的角例如：对顶角、公共角、同角的余 知知2 2讲讲AA，BB，BCBC，角角(补角补角)都是相等的，虽然已知条件无涉及，但证明中都是相等的，虽然已知条件无涉及，但证明中要特别注意挖掘这些重要条件要特别注意挖掘这些重要条件(3)常见的全等三角形类型如图常见的全等三角形类型如图13.219所示所示 图图13.2192已知两角和一边对应相等就可判定两三角形全已知两角和一边对应相等就可判定两三角形全等，即等，即“A.S.A.或或A.A.S.”知知2 2讲讲知知2 2讲讲 下面我们证明这个定理：下面我们证明这个定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个两角分别相等且其中一组等角的对
11、边相等的两个三角形全等三角形全等.简记为简记为A.A.S.(或角角边）或角角边）.已知：如图已知：如图13.2.12,A=A，B=B，BC=BC.求证：求证：ABC ABC知知2 2讲讲 证明：证明：A=A，B=B，（已知），（已知），A +B +C =180 （三角形的内角和（三角形的内角和等于等于180),A+B+C =180 （等量代换）（等量代换）.又又 A+B+C=180（三角形的内角和等（三角形的内角和等 于于180），），C=C(等式的性质等式的性质).在在ABC 和和ABC中，中，.请补充完整证明过程.例例2 如图如图13.2.13，在，在ABC中，中，D是边是边BC的中的中
12、点点,过点过点C 画直线画直线CE,使使CE/AB,交交AD的的延长线于点延长线于点 E.求证求证AD=ED.知知2 2讲讲证明：证明：CE/AB(已知），已知），ABD=ECD，BAD=CED(两直线两直线平行，内错角相等平行，内错角相等).在在 ABD与与 ECD中，中，ABD ECD(A.A.S.)，AD=ED(全等三角形的对应边相等）全等三角形的对应边相等）知知2 2讲讲 ABD=ECD，BAD=CED(已证已证)，BD=CD(已知），已知），总总 结结知知2 2讲讲要证明两条线段要证明两条线段AD、ED相等，我们相等，我们发现它们分别发现它们分别 属于属于 ABD与与 ECD，若能证
13、明这两个三角形全等，便可若能证明这两个三角形全等，便可 利利用全等三角形的对应边相等得到要证用全等三角形的对应边相等得到要证明的结论明的结论.这就这就 是通常证明两条线段相是通常证明两条线段相等的一个重要方法等的一个重要方法.可以采用类可以采用类似的方法证似的方法证明两个角相明两个角相等等.知知2 2讲讲 例例3 3 求证求证:全等三角形对应边上的高相等全等三角形对应边上的高相等.已知：如图已知：如图 13.2.14,13.2.14,ABCABCABC ABC，ADAD、ADAD分别是分别是ABCABC的的BCBC边和边和ABCABC的的BCBC边上的边上的高高.求证求证:AD=AD.:AD=
14、AD.你发现你发现AD、A D 分别是分别是哪两个三角形哪两个三角形的边？这两个的边？这两个三角形全等吗？三角形全等吗？知知2 2讲讲分析：从图分析：从图13.2.1413.2.14中可以看出，中可以看出，ADAD、ADAD分别属分别属于于ABDABD与与ABD ABD，要证，要证AD=ADAD=AD，只需，只需证明这两个三角形全等即可证明这两个三角形全等即可.证明：证明：ABCABCABC(ABC(已知），已知），AB=ABAB=AB（全等三角形的对应边相等），（全等三角形的对应边相等），B=B B=B（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等）.知知2 2讲讲在在ABDABD和和A
15、BDABD中，中，ABDABDABDABD（A.A.SA.A.S）AD=AD(AD=AD(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等).).ADB=A D B=90（已知），（已知），B=B（已证），（已证），AB=AB（已证），（已证），总总 结结知知2 2讲讲 判定两三角形全等，先根据已知条件或求证的结论判定两三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法看缺什确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法看缺什么条件，再去证什么条件，简言之：即综合利用分析法么条件，再去证什么条件，简言之：即综合利用分析法和综合法寻找证明途径和综合法寻找证明途径 知知2 2
16、讲讲 全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线又有又有 什么关系呢？你能说明其中的道理吗？什么关系呢？你能说明其中的道理吗？思思考考 知知2 2讲讲 全等三角形除了对应边相等、对应角相等外，全等三角形除了对应边相等、对应角相等外，还有以下几条性质：还有以下几条性质：(1)(1)全等三角形的周长相等，面积相等；全等三角形的周长相等，面积相等；(2)(2)全等三角形的对应边上的中线相等、对应全等三角形的对应边上的中线相等、对应边上的高线相等、对应角的角平分线相等边上的高线相等、对应角的角平分线相等 1 如图，如图，1=2，C=D.求证：求证：AC=AD.知知
17、3 3练练 2 (中考中考六盘水六盘水)如图，已知如图，已知ABCDCB，下列所，下列所给条件不能证明给条件不能证明ABC DCB的是的是()AAD BABDC CACBDBC DACBD知知3 3练练 3 (中考中考通辽通辽)如图，四边形如图，四边形ABCD中，中，E点在点在AD上，上，其中其中BAEBCEACD90，且，且BCCE.求证：求证：ABC与与DEC全等全等知知3 3练练 证明三角形全等的证明三角形全等的“三类条件三类条件”：直接条件：即已知中直接给出的三角形的对应边或直接条件：即已知中直接给出的三角形的对应边或 对应角对应角 隐含条件：即已知没有给出，但通过读图得到的条隐含条件：即已知没有给出，但通过读图得到的条 件，如公共边、公共角、对顶角件，如公共边、公共角、对顶角 间接条件：即已知中所给条件不是三角形的对应边间接条件：即已知中所给条件不是三角形的对应边 和对应角，需要进一步推理和对应角，需要进一步推理
