1、第13章 全等三角形自我评估（本试卷满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 在ABC中，AB = AC，B = 65，则C的度数为（）A. 25B. 50C. 65D. 1152. 如图1，AC = AD，BC = BD，这样可以证明ABCABD，其依据是（）A. S.S.S.B. S.A.S.C. A.A.S.D. A.S.A. 图1 图2 图33. 如图2，点B，C，D在同一直线上，若ABCCDE，DE = 3，BD = 10，则AB的长为（）A. 5B. 6C. 7D. 84. 【新素材】歇山顶，即歇山式屋顶，宋朝称九脊殿，又名九脊顶，是古代中国建筑屋顶样
2、式之一.图3-是典型的重檐歇山式建筑，建筑顶端可以近似看作是等腰三角形ABC（如图3 - ），其中AB = AC，AD是BC边上的中线，已知B = 48，则CAD的度数为（ ）A. 48 B. 52C. 42 D. 845. 下列命题正确的是（）A. 有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等B. 顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等C. 一条斜边对应相等的两个直角三角形全等D. 两个等边三角形全等6. 火炬大桥（如图4-）是洛阳市宽度最宽、承重能力最强、单孔跨度最大、配建立交规模最大的桥梁，其侧面示意图如图4-所示，其中ABCD，添加以下条件，不能判定ABCABD的是（）A. AC = ADB
3、. ABC = ABDC. ACB = ADBD. BC = BD 图4 图57. 如图5，某地计划在AB，BC，AC三条公路附近修建一个货物中转站，且中转站到三条公路的距离相等，则货物中转站应建在（）A. ABC三条角平分线的交点处B. ABC三边垂直平分线的交点处C. ABC三条高所在直线的交点处D. ABC三条中线的交点处8. 如图6，已知ABC是等边三角形，AC = CD，ACD = 76，则CBD的度数为（） A. 20B. 22C. 24D. 26 图6 图79. 在ABC中，AB=AC，A = 80，将ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（） A B C D10.
4、 如图7，在RtABC中，ACB = 90，ABC的外角平分线BF交AC的延长线于点F，FB的延长线交RtABC斜边上的高CD的延长线于点E，EGAC交AB的延长线于点G，连接CG.有下列结论：F = CEF；GE = CE；EFCG.其中正确的结论有（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 如图8，已知线段AB，CD相交于点O，且ACBD，只需补充一个条件 ，即可证得AOCBOD. 图8 图9 图1012. 如图9-为X型折叠晾衣架，其示意图为图9-.当晾衣架撑开时，AOB = 60，已知OC = OD = 80 cm，则C，D两点
5、之间的距离是 cm.13. 【跨学科】图10是凸透镜成像的光路图，已知线段AB经过透镜CO折射后形成的像为AB，ABBB，ABBB，若BO = BO，AB = 5 cm，则像AB的长为 cm.14. 如图11，在ABC中，BC8，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，BCE的周长为18，则AC的长为 . 图11 图12 图1315. 如图12，在ABC中，C = 2B，AC = 3，AB = 5，P是BC边上一点，连接AP.若将C沿AP所在直线翻折，使得点C恰好落在AB边上的点D处，则PC的长为 .16. 如图13，在长方形ABCD中，AB = 4，AD = 6，延长BC到点E，使CE
6、= 2，连接DE.昆虫P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设它的运动时间为t秒，当t = 时，昆虫P与AB或CD边构成的三角形与DCE全等.三、解答题（本大题共6小题，共52分）17. （6分）如图14，在ABC中，D是AB上一点，连接CD，ADC的平分线交AC于点E，DEBC.求明：DBC是等腰三角形. 图1418. （8分）如图15，在等边三角形ABC中，D是AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转60后得到CE，连接AE.求证：ACEBCD. 图1519. （8分）完成命题“三角形两个角的平分线的交点一定在另一个角的平分线上”的证明.已知：如图
7、16，在ABC中，B，C的平分线交于点D，连接AD.求证： .请你用无刻度直尺和圆规完成作图，将“求证”补充完整，并写出证明过程.图1620. （8分）老子是中国古代思想家、哲学家、文学家和史学家，道家学派创始人和主要代表人物.如图17-所示的老子雕像，总高27米，A，B两点分别为雕像底座的两端（其中A，B两点均在地面上）.因为A，B两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：甲：如图17-，在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接AO并延长到点C，连接BO并延长到点D，使CO = AO，DO = BO，连接DC，测出DC的长即可.乙：如图17-，先确定直线AB
8、，过点B作BDAB，在点D处用测角仪确定ADB = CDB，DC交直线AB于点C，最后测量BC的长即可得线段AB的长.（1）请用所学知识说明甲、乙两种方案的合理性；（2）如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由. 图1721. （10分）由边长为1的小正方形组成的正方形网格是数学学习的重要工具，我们把小正方形的顶点叫做格点，顶点在格点上的三角形叫格点三角形.利用正方形网格可以构造格点直角三角形的角平分线.如图18，ABC是格点三角形，ABC = 90，AB = 2BC，可以用如下两种方法构造ABC的角平分线.图18-方法一：如图，延长BC到格点D，使CD = BC，连接AD.利用网格找
9、出AD的中点F，连接BF交边AC于点P，线段BP即为ABC的角平分线.理由如下：因为CD = BC，所以BD = 2BC.因为AB = 2BC，所以AB = BD.又因为F是AD的中点，所以BF平分ABD（依据）.即BP是ABC的角平分线.图18-方法二：如图，延长BC到格点D，使CD = BC.利用网格在AB上取格点E，使BE = BC，连接DE交AC于点P，连接BP，线段BP即为ABC的角平分线.理由如下：同方法一，可得AB = BD.又因为BE = BC，ABC = DBE，所以ABCDBE.所以A = D.任务：（1）请写出方法一中“依据”的内容： ；（2）请将方法二中的过程补充完整.
10、22. （12分）综合与实践（1）【问题发现】如图19-，ACB和DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.AEB的度数为 ；线段AD，BE之间的数量关系是 .（2）【类比探究】如图19-，ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB = DCE = 90，点A，D，E在同一直线上，CM为DCE中边DE上的高，连接BE.求AEB的度数；请写出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，若BE = 5，CM = 3，求四边形ABEC的面积. 图19附加题（20分，不计入总分）（1）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在A
11、BC中，若AB = 8，AC = 6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长AD到点E，使DE = AD，连接BE，请根据小明的方法补充完成下面的解题过程：解：延长AD到点E，使DE = AD，连接BE.因为AD是BC边上的中线，所以 = .在ADC和EDB中， = ，ADC = EDB，CD = BD， 所以ADCEDB.所以BE = AC = 6， = 2AD.因为在ABE中，AB = 8，由三角形的三边关系，得8-6AE8+6，即22AD14.所以 AD . （2）【方法感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造 三角形
12、，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形中.（3）【问题解决】将正方形ABCD和正方形AEFG按图2所示放置，连接DE，BG，M是DE的中点.求证：BG = 2AM. 图2第13章 全等三角形自我评估 参考答案答案速览一、1. C 2. A 3. C 4. C 5. B 6. B 7. A 8. B 9. D 10. A 二、11. OA = OB（答案不唯一） 12. 80 13. 5 14. 10 15. 2 16. 1，2，6或7 三、17. 证明：因为DEBC，所以DCB = CDE，ADE = B.因为DE平分ADC，所以ADE = CDE.所以DCB = B.所以DB =
13、DC.所以DBC是等腰三角形.18. 证明：因为ABC是等边三角形，所以AC = BC，ACB = 60.由旋转，得CE = CD，DCE = 60.所以DCE = ACB.所以DCE - ACD = ACB - ACD，即ACE = BCD.在ACE和BCD中，AC = BC，ACE = BCD，CE = CD，所以ACEBCD（S.A.S.）.19. 解：求证：BAD = CAD尺规作图如图1： 图1证明：过点D分别作DEBC于点E，DFAB于点F，DGAC于点G.因为D为B，C平分线的交点，所以DE = DF，DE = DG.所以DF = DG.因为DFAB，DGAC，所以点D在BAC的
14、平分线上.所以BAD = CAD.20. 解：（1）甲方案：在ABO和CDO中，OA = OC，AOB = COD，OB = OD，所以ABOCDO（S.A.S.）.所以AB = CD.乙方案：因为DBAC，所以ABD = CBD=90.在DBA和DBC中，ABD = CBD，BD = BD，ADB = CDB，所以DBADBC（A.S.A.）.所以AB = CB.（2）选择甲方案，因为甲方案测量简单，好操作.（答案不唯一）21. 解：（1）等腰三角形的“三线合一”（2）因为AB - BE = BD - BC，所以AE = DC.因为APE = DPC，A = D，所以APEDPC.所以AP
15、= DP.又因为AB = BD，BP = BP，所以ABPDBP.所以ABP = DBP，即BP是ABC的角平分线.22. 解：（1）60 AD = BE（2）因为ACB和DCE均为等腰直角三角形，所以CA = CB，CD = CE，ACB = DCE = 90.所以ACB - BCD = DCE - BCD，即ACD = BCE在ACD和BCE中，AC = BC，ACD = BCE，CD = CE，所以ACDBCE（S.A.S.）所以AD = BE，ADC = BEC因为DCE为等腰直角三角形，所以CDE = CED = 45因为点A，D，E在同一直线上，所以ADC = 135.所以BEC
16、= 135.所以AEB = BEC - CED = 90.因为DCE为等腰直角三角形，CMDE，所以CMD和CME都是等腰直角三角形.所以DM = ME = CM所以AE = AD + DE = BE + 2CM（3）由（2）得AEB = 90，AD = BE = 5，DE = 2CM = 6.所以AE = AD + DE = 5 + 6 = 11.所以S四边形ABEC = SACE + SABE = AECM + AEBE = 11 3 + 11 5 = 44.附加题解：（1）依次填：BD，CD，AD，ED，AE，1，7.（2）全等（3）证明：如图2，延长AM到点H，使MH = AM，即AH
17、 = 2AM，连接DH.因为M是DE的中点，所以 DM = EM.在AEM和HDM中，AM = HM，AME = HMD，ME = MD，所以AEMHDM（S.A.S.）.所以MAE = H，AE = DH.所以AEDH.所以DAE + ADH = 180.因为四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，所以BAD = GAE = 90，AB = AD，AE = AG = DH.因为BAD + GAE + BAG + DAE = 360，所以BAG + DAE = 180.所以BAG = ADH.在BAG和ADH中，AB = DA，BAG = ADH，AG = DH，所以BAGADH（S.A.S.）.所以BG = AH = 2AM. 图2
