1、大学生数学竞赛辅导大学生数学竞赛辅导 1一、极限的计算一、极限的计算1.1.变量替换变量替换 求极限求极限211001lim()lim.1xxxxxexx ；2.2.等价无穷小替换等价无穷小替换 常用等价无穷小：常用等价无穷小：221sintan1cos121ln(1)(1)1ln(1).2xarcxxarcxxxxexxxxxxxx ，21011lim(1)lim(1)nxnxnexenx 1ln(1)0limxxxeex 1ln(1)10(1)limxxxe ex 01ln(1)1limxxxex .2e 1lim(1)nnnen例例 计计算算11 cos0sinlim.xxxx 例例计计
2、算算11 cos00sinlnsinlimlnlim1cosxxxxxxxx 先先取取对对数数，02sinln 11lim12xxxx 02sin1lim12xxxx 13 13=.e 3222ln(1)22(1)(1ln(1)ln(1)xxxxexeeexxx 220(1)(1ln(1)lim.xxxexx例例22ln(1)221ln(1)xxe eexxx220ln(1)lim;xexex 222ln(1)22001ln(1)2limlimxxxxxe exexx 2220ln(1)2limxxxeex 220(1)(1ln(1)lim0.xxxexx 4514lim5xxx 例例551(
3、5)11(5)12limlim552xxxxxx 3.3.应用泰勒公式应用泰勒公式 23012limxxxexx 例例23310()26xxxexx，32333000()1162limlim6xxxxxxexxx 5121lim(1)sinnnkkknn 例例3511sin3!5!xxxx 332622sin6kkkknnnn 111220115lim(1)sinlim(1)(1),6nnnnkkkkk kxxdxnnnn 3333331116632111(1)0().6333nnnkkkk kknnnnnn 1215lim(1)sin.6nnkkknn 64.4.用定积分（二重积分）、导数用
4、定积分（二重积分）、导数 定义求极限：定义求极限：22211111 limlim1()nnnnkknknknn 例例1201tan104dxarcxx 1112lim12nnnnn例例 求求极极限限1111lim12111nnnnnn1011dxx ln2.72203()11(1)0,(sincos)(1)2lim.tanxf xxxffxxfxxx 例例 设设在在的的附附近近有有定定义义，且且在在处处可可导导，求求极极限限22022220(sincos)limtan(1sincos1)(1)sincos1limsincos1tanxxfxxxxxfxxfxx=xxxxx 解解：220sinc
5、os1(1)limtanxxxfxxx 20cos(1cos)2limtanxxxxxx 220122limtanxxxxx 0limtanxxxx 011limtan21xxx 85.5.由递推关系求极限由递推关系求极限1(3)30(3)22nnnnnxxxxx 解解：nx有有界界1(3)(3)0nnnnnnnnxxxxxxxx nx单单调调增增加加limnnxl 存存在在1(3)nnnxxx 在在两两边边取取极极限限(3)lll32l9二、分段函数（连续、求导）二、分段函数（连续、求导）2(1)(1)()lim().1n xn xnx eaxbf xf xe 例例设设，讨讨论论的的连连续续
6、性性与与可可导导性性2,1;1(),1;2,1.xxabf xxaxbx 解解：(1)1,(1),1(1)2ffababf 1()1.abf xx 当当时时，在在处处连连续续1(1)2,(1),abffa当当时时，2,1ab 当当时时，()1.f xx 在在处处可可导导10 分段函数导数的计算，各区间内部用导数公式求导；分段函数导数的计算，各区间内部用导数公式求导；而在分点处，则需用导数定义计算两个单侧导数。若函而在分点处，则需用导数定义计算两个单侧导数。若函数在分点处连续，其单侧导数仍可以直接利用导数公式数在分点处连续，其单侧导数仍可以直接利用导数公式求导。求导。二、分段函数（连续、求导）二
7、、分段函数（连续、求导）11三、微分中值定理及应用（含泰勒公式、积分中值定理）三、微分中值定理及应用（含泰勒公式、积分中值定理）:()1(),fxf xx 分分析析由由积积分分得得()(),().F xf xxF x 构构造造证证明明存存在在稳稳定定点点11(0)0,(1)1,().22FFF 0121()F x12()()1()1()ffff 分分析析：()()xF xef xx 令令()()()()1.xf xxxfx 取取，恰恰满满足足1211(0)0,(1),().22FFeFe ().F x证证明明存存在在稳稳定定点点012113acb1 2 141)()()(1),.F xf xx
8、 构构造造证证明明 是是其其零零点点(0)1,(1)1.FF 2)()0,1f x在在上上分分别别用用中中值值定定理理，.联联系系几几何何意意义义1515()0,1(0,1)(0)(1)0,()1211)(,1),()22)(0,),()()1.112f xffffff 例例 设设在在上上连连续续，在在内内可可导导，证证明明：使使得得；使使得得（届届决决赛赛分分）11)()(),12F xf xx证证明明：取取，在在用用零零点点定定理理；2)()()0,.xG xef xx 取取，在在上上用用罗罗尔尔定定理理16006()(,)()0 lim()0,lim()0,()0.()0(,)2.(21
9、5)xxf xfxfxfxxf xf x 例例 设设在在内内具具有有二二阶阶导导数数，且且存存在在一一点点，使使得得证证明明方方程程在在内内恰恰有有 个个实实根根届届预预赛赛分分0lim()0()0.2xfxaxfa 证证明明：由由，使使得得()0()fxfx由由()()0.2xafxfa ，()()()()f xf afxa 由由中中值值定定理理()()2f axa 2()()0f axaxaf x 当当且且时时，；()()0.bbaf b故故存存在在，使使得得0,()0.xbxf x在在上上用用介介值值定定理理，使使得得0lim()0,()0.2xfxaxfa 同同样样，由由，使使得得17
10、0lim()0,()0.2xfxaxfa 同同样样，由由，使使得得()()()()()()02f xf afxaf axa ()()0.bbaf b故故，使使得得0,()0.bxxf x在在上上用用介介值值定定理理，使使得得从而方程至少从而方程至少2 2个根个根.反证易得只有反证易得只有2 2个根个根.123123()()()0,.f xf xf xxxx设设1223(,),()0;(,),()0.xxfxxf则则存存在在存存在在(),()0.fxf 在在区区间间上上用用中中值值定定理理，存存在在，()0.fx 与与矛矛盾盾18泰勒公式的应用泰勒公式的应用7()1,13(1)0(1)1(0)0
11、(1,1)()3.f xffff 例例 设设在在上上具具有有 阶阶连连续续导导数数，且且，求求证证：，使使得得2311(0)10(1)(0)(1)()(1)(10)2!6ffff 2322(0)11(1)(0)1()1(01)2!6ffff 12()()6ff两两式式作作差差，得得12(),fx 在在上上连连续续121()().2mffM12,(1,1)由由介介值值定定理理，使使得得121()()()3.2fff3 3届预赛届预赛1515分分19四、（不）定积分的计算四、（不）定积分的计算1、基本概念和计算、基本概念和计算2201()()3()2().f xf xxf x dxf x 例例 设
12、设连连续续，且且，求求210:3.3x 答答案案3312()().sincosfxf xxx 例例 设设，求求3322221()sincos1(sincos)(sincossincos)2sin-cos(2)(1)22sincos2lnarctan(sincos).632sincosf xdxxxdxxxxxxxdtxxtttxxxxCxx 解解：令令20030,(1,2,)sxnnsIex dx n 例例 设设求求0000111:sxnnsxsxnsxnnnIex dxx deexedxssnIs 解解1201-1!=.nnnnnnn nnnIIIIsssss 从从而而，212、定积分的换元
13、法、分部积分的应用、定积分的换元法、分部积分的应用401sin211sin2xdxx 例例4tx 401cos21cos2tdtt 24202sin2costdtt 224400tan(sec1)tdttdt40tan144t 2021tanadxx 例例2tt 201cotadtt 20tan1tanaatdtt 2200tan21tan1tanaaadxtdtIxt20(1tan)1tan2aax dxx .4I sincos520sin38xxeexIdx 例例cossinsin2220002xtxedx txedtedx 1=.152242ln(9)4ln(9)ln(3)xIdxxx
14、例例9339xtxt 解解：令令42ln(9)ln(9)ln(3)xIdxxx 24ln(3)ln(3)ln(9)tdttt 42ln(3)ln(3)ln(9)tdttt 42ln(3)ln(3)ln(9)xdxxx 422d21.IxI=()()bbaaf x dxxtabf abt dt 一一般般地地，令令2300sin5()().xtf xdtf x dxt 例例设设，求求000()()()f x dxxf xxfx dx 解解：00sinsintxxdtdxtx 00sinsintttdtdttt 00sinsin2.ttdttdtt 24五、变限积分问题（含参量积分）五、变限积分问题
15、（含参量积分）22201(1)(),.xd yfyxf t dtdx 例例设设 具具有有一一阶阶导导数数，求求2326()4()xf xx fx 22223sin(),.xytdtd FF xdytdx (2)(2)设设求求220(3)cos,.yxdyxytdtdx 设设求求221cos().cos()2yxyyxy()Fx 23sin;xtdtt 22222sind Fxxdxx 22sin.xx 212cos()(1)y yyxy25262cos xtu 解解：令令，221sin2sincos2(cos)()xxxyfxt dtf u du 2sin2(sin)2sin2(cos2).d
16、yxfxxfxdx一般方法：一般方法：（1）当参数以因子形式出现在积分号内时，则将含参数的因子）当参数以因子形式出现在积分号内时，则将含参数的因子移到积分号外面；移到积分号外面；（2）如无法将含参数的部分移到积分号外面，则引入变量替换。）如无法将含参数的部分移到积分号外面，则引入变量替换。27000()()4(0)0,lim.()xxxxt f t dtffxf xt dt 例例设设 连连续续，求求00()()xxxf xt dt xtu xf u du 解解：0()xxf t dt 000()()lim()xxxxt f t dtxf t dt 原原式式0000()()lim()xxxxxf
17、 t dttf t dtxf t dt 000()()()lim()()xxxf t dtxf xxf xf t dtxf x 洛必达法则洛必达法则 000()lim()()xxxf t dtf t dtxf x 洛必达法则洛必达法则?0()lim()()xxfxfxf x 0()lim()()xfff x (0)1.2(0)2ff积分中值定理积分中值定理28 001212125()0,()d0()cos d0.00()()0.f xf xxf xx xff 例例 设设在在上上连连续续，=，=求求证证：存存在在，使使0()(),(0)()().xF xf t dtxFxf x 证证明明：令令，
18、则则.fF的的零零点点即即是是 的的稳稳定定点点(0)0,()0.FF 显显然然有有：00()cos df xx x 000cos dcossin dx F x=F xxF xx x（）（）（）0sin d.F xx x （）()sin(0,)F xx 在在内内不不可可能能恒恒为为正正（或或负负），0sin0F=所所以以存存在在，使使得得，sin0()0.F而而29100()6()()()lim()()0.xf xf xg xf xt dtAgxxgxx 例例 设设连连续续，且且，求求，并并讨讨论论在在处处的的连连续续性性(0)0,(0)0.fg解解：易易见见0011()()()(0)xxux
19、tg xf u duf u duxxx令令，则则02()()0()xxf xf u duxgxx 当当时时，0()(0)(0)limxg xggx 001()limxxf u duxx 020()limxxf u dux 2A 0200()()lim()limxxxxf xf u dugxx 0200()()limlimxxxf u duf xxx 2A 30六、二重积分和三重积分六、二重积分和三重积分()ln(1)111.DyxyxdxdyDxyxy 例例 计计算算，其其中中 由由直直线线与与坐坐标标轴轴围围成成的的三三角角形形区区域域解：利用二重积分的坐标变换：解：利用二重积分的坐标变换：
20、,(,)1xx xytxx ytx J x t 令令，11,0.xytytx()ln(1)(lnln)11Dyxyttxxdxdydxdtxyt 100(lnln)1ttdttx dxt 2101tdtt 122012(1)tuudu 令令16.15 xt312222222222(,)1101.lxyzcbalabc 例例 设设 是是过过原原点点，方方向向为为，（其其中中）的的直直线线，均均匀匀椭椭球球（其其中中，密密度度为为）绕绕 旋旋转转（1）求其转动惯量；）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向）求其转动惯量关于方向(,)的最大值和最小值的最大值和最小值.【2届预赛，届预赛，15分分】
21、21)Id dV 解解：OQPld2222222()dOPOQxyzOQ222(,)(,)OQx y zxyz 2222222(1)(1)(1)2()dxyzxyyzzx2()0.xyyzzx dV 其其中中222222(1)(1)(1)Ixyz dV 2222224(1)(1)(1)15abcabc 322222222222(,)1101.lxyzcbalabc 例例 设设 是是过过原原点点，方方向向为为，（其其中中）的的直直线线，均均匀匀椭椭球球（其其中中，密密度度为为）绕绕 旋旋转转（1）求其转动惯量；）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向）求其转动惯量关于方向(,)的最大值和最小值
22、的最大值和最小值.【2届预赛，届预赛，15分分】2222222224(,)(1)(1)(1)151.abcIabc 考考察察目目标标函函数数在在约约束束条条件件下下的的条条件件极极值值2222maxmin44()()()().1515abcabcIabzIbcx绕绕 轴轴；绕绕 轴轴33222222121222211:10:217.xyzabczxyabc例例 设设，为为与与的的交交线线，求求椭椭圆圆面面在在 上上各各点点的的切切平平面面到到原原点点的的距距离离的的最最大大值值和和最最小小值值（届届决决赛赛分分）六、极值与条件极值问题六、极值与条件极值问题34七、曲线、曲面积分的计算七、曲线、
23、曲面积分的计算1 1、第一型曲线积分、第一型曲线积分设空间曲线设空间曲线L L的参数方程的参数方程 (),(),(),()xx tyy tzz tt222(,)(),(),()()()()Lf x y z dsf x ty tz tx ty tz tdt 则则 (,)(),()f x y zx tytz t其其中中和和皆皆连连续续.注意：把曲线积分化为定积分来进行计算，关键在于注意：把曲线积分化为定积分来进行计算，关键在于 222222()()()()()().dsdxdydzx ty tz tdt且一定要满足上限下限，与曲线的方向无关。且一定要满足上限下限，与曲线的方向无关。352LIy d
24、s 2222sin(sin)(cos)RRRd 32sinRd 362 2、第二型曲线积分、第二型曲线积分(,)(,)(,)=L ABP x y z dxQ x y z dyR x y z dz (),(),()()(),(),()()(),(),()()P x ty tz tx tQ x ty tz ty tR x ty tz tz tdt 注：把第二类曲线积分化为定积分来计算，上、下限对应于终点注：把第二类曲线积分化为定积分来计算，上、下限对应于终点和起点，与曲线的方向有关；如果曲线积分的方向相反，则其值和起点，与曲线的方向有关；如果曲线积分的方向相反，则其值相反。对于曲线方程的其他形式，
25、类似第一类曲线积分的计算相反。对于曲线方程的其他形式，类似第一类曲线积分的计算（定积分的换元法）。（定积分的换元法）。37 2212:,2LxyIzy dxxz dyxy dz Lxyz 例例计计算算，从从Z Z轴正向往负向看轴正向往负向看L L的方向是顺时针方向。的方向是顺时针方向。解：曲线解：曲线L L的参数方程可取为的参数方程可取为 cos,sin,22cossin.xyzxy20.:022cossin22cossincoscossinsincosId 022 sincos2cos212.d 383 3、格林公式、格林公式单连通区域情形（单连通区域情形（L L取逆时针方向）取逆时针方向）
26、()LDQPdxdyPdxQdyxy 复连通区域情形（有洞）：复连通区域情形（有洞）：（外部边界曲线取逆时针方向，（外部边界曲线取逆时针方向，内部边界曲线取顺时针方向）内部边界曲线取顺时针方向）()()()LlDQPdxdyPdxQdyPdxQdyxy逆逆顺顺39 sinsinsinsinsinsin2(,)0,01);52).2yxyxLLyxLDx yxyLDxedyyedxxedyyedxxedyyedx 例例设设，为为 的的正正向向边边界界，证证明明：证法一：直接计算验证即可证法一：直接计算验证即可证法二：应用格林公式化为二重积分，注意对称性的应用证法二：应用格林公式化为二重积分，注意
27、对称性的应用.401L3L2L13231)LLLLI证证明明：12422()0,0.LLLxydxx dyxy 即即422()2)0Lxydxx dyQPxyxy 432522()4()()22().xxxxyxxxyxx 41423):1Cxy特特取取2422()2(22)0CCDxydxx dyxydxx dyxx dxdyxy -2-112-2-112xy424 4、第一型曲面积分、第一型曲面积分 221xydSzz dxdy 22,1xySDxyfx y z dSfx y z x yzz dxdy5 5、第二型曲面积分、第二型曲面积分代入曲面方程，代入曲面方程，S S换成其在坐标面上的
28、投影，化为二重积分，换成其在坐标面上的投影，化为二重积分，注意曲面侧的规定。注意曲面侧的规定。,xySDR x y z dxdyR x y z x ydxdy 其他类似其他类似 436 6、高斯公式：、高斯公式：VSPQRdxdydzPdydzQdzdxRdxdyxyz S S取外侧取外侧 442222222()0.axdydzzadxdyzaxyxyza 例例计计算算，是是下下半半球球面面的的上上侧侧，解：利用高斯公式，其中解：利用高斯公式，其中 2(),0,zaPx QRa，23PQRzaxyza222:,0.Sxyaz补补充充曲曲面面2222()SSaxdydzzadxdyxyz23VS
29、zadxdydza 20322()33zaDSaxdydzzadxdyazdzdxdyaa 032222()xyaDazazdzadxdya 33333112.22aaaaa 457 7、斯托克斯公式：、斯托克斯公式：SLRQPRQPdydzdzdxdxdyyzzxxyPdxQdyRdz 其中其中S S的侧与的侧与L L的方向按右手法则确定。的方向按右手法则确定。为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：LSdydzdzdxdxdyPdxQdyRdzxyzPQR 46222:31Sxyz解解：曲曲面面；:31.XxYyZz平平面面2221(,)9x y
30、 zxyz 2213.Szxy曲曲面面 的的方方程程可可以以写写成成：221xydSzzdxdy2222216,(31).13ydxdyxyxy 47222222223116(1)1613(,)13SxyzydSyxydxdyx y zxy 222313(16)2xyydxdy 2222222223(2),999xyzxyzxyzxyz222313(3)(16).2Sxyzxyz dSydxdy48八、对称性在积分计算中的应用八、对称性在积分计算中的应用 积分区间、区域、路径的对称性；被积函数的奇偶性；坐标轮换积分区间、区域、路径的对称性；被积函数的奇偶性；坐标轮换.1、奇函数在对称区间上的积
31、分、奇函数在对称区间上的积分=0；2、关于一个（或两个）自变量的二元奇函数在相应对称区域上、关于一个（或两个）自变量的二元奇函数在相应对称区域上的积分的积分=0；3、对于第一型的曲线（或曲面）积分，奇函数在对称曲线（或、对于第一型的曲线（或曲面）积分，奇函数在对称曲线（或曲面）上的积分曲面）上的积分=0；4、对于第二型的曲线（或曲面）积分，要联系曲线（或曲面）、对于第二型的曲线（或曲面）积分，要联系曲线（或曲面）积分的意义分别讨论。积分的意义分别讨论。以下祥述以下祥述.4912(,)0,(,)(,);,.Lf x y dxf xyf x yLLx 方方向向(关关于于 轴轴)相相反反12(,)0
32、,(,)(,),.Lf x y dyf xyf x yLLy ；方方向向(关关于于 轴轴)相相同同12(,)0,(,)(,);,.Lf x y dxf xyf x yLLx 方方向向(关关于于 轴轴)相相同同12(,)0,(,)(,),.Lf x y dyf xyf x yLLy；方方向向(关关于于 轴轴)相相反反(,)(,).fx yf x y 当当时时，讨讨论论类类似似简单地说，方向相同时奇函数积分为简单地说，方向相同时奇函数积分为0；方向相反时偶函数；方向相反时偶函数的积分为的积分为0.对空间曲线的积分也如此；中心对称的曲线也可以类似讨论对空间曲线的积分也如此；中心对称的曲线也可以类似讨
33、论.5010,(,)(,);(,)2(,),(,)(,).f x yzf x y zf x y z dxdyf x y z dxdyf x yzf x y z 12当当与与的的方方向向（关关于于z z轴轴）相相反反时时，12当当与与的的方方向向（关关于于z z轴轴）相相同同时时，10,(,)(,);(,)2(,),(,)(,).f x yzf x y zf x y z dxdyf x y z dxdyf x yzf x y z 51九、多元复合函数求（高阶）偏导数九、多元复合函数求（高阶）偏导数1(1)(,),.uuuf xy xyxy例例求求,xys xyt解解：令令ufsftxsxtx ,
34、ffyst12.fyf 或或记记为为12.ufxfy 同同样样有有521(2)(,),.xyuuuufy zxyz 例例设设求求12111 0;ufffxyy 解解：12122211();uxxffffyyzyz 22.uyfzz 530sin2,.x zxyxtduexyedttdx 和和求求xyzdudydzfffdxdxdx解解：2,()0 xyxydydyexyxeyxyxdxdx两两边边对对 求求导导 得得(1)xydyyedxx 分分子子和和分分母母消消除除公公因因子子0sinsin(),(1)()x zxxtxzdzedtxetxzdx 两两边边对对 求求导导 得得()1sin(
35、)xdzexzdxxz ()1.sin()xdufyfexzfdxxxyxzz543(sin,cos,).xyzfxy ef 例例求求的的二二阶阶偏偏导导数数 其其中中 有有二二阶阶连连续续偏偏导导数数1323cos;sin.xyxyzzfxfefyfexy 解解：21331132(cos)()()cos(sin)xyxyxyfxfeffzxfxefexxxx 3111133133()()cos;cos.xyxyfffxfefxfexx 其其中中，222()13111331332sin coscoscosxyxyxyxyzxfefxfexfexfefx 所所以以，22()13111333sin
36、 cos 2cos.xyxyxyxfefxfexfef 22()312133233222()322223332 cossincossin;cos sin 2sin.xyxyxyxyxyxyxyzefxyfexfeyfefx yzefyfyfeyfefy 55十、微分在几何上的应用十、微分在几何上的应用（切线、法线、切平面、法平面）（切线、法线、切平面、法平面）1 1、显函数情形：切线、切平面的方程、显函数情形：切线、切平面的方程 dyydzz 或或000()().fxxxyy00000()()()().xyfPxxfPyyzy2 2、参数形式：切线的方程、参数形式：切线的方程 ttxyxy 0
37、000tPtPxxyyxy 0000()()0tPtPxxxyyy法法线线方方程程000000tPtPtPxxyyzzxyz000000()()()0tPtPtPxxxyyyzzz法法平平面面方方程程563 3、隐函数形式（普通方程）：、隐函数形式（普通方程）：0000 xPyPxxyyFF 0000()()0 xPyPxxFyyF法法线线方方程程000000 xPyPzPxxyyzzFFF000000()()()0 xPyPzPxxFyyFzzF切切平平面面方方程程000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)PPPxxyyzzF GF GF Gy zz xx y000000(,)(,)(
38、,)()()()0(,)(,)(,)PPPF GF GF Gxxyyzzy zz xx y法法平平面面方方程程57十一、微分方程：十一、微分方程：xxxyyeyyee21312,是是相相应应齐齐次次方方程程的的解解；xxee2.，是是相相应应齐齐次次方方程程的的线线性性无无关关解解yyy 20相相应应齐齐次次方方程程是是：xxe.另另易易知知是是原原方方程程的的一一个个特特解解xyyf xyxe 2(),设设原原方方程程为为代代人人xxf xexe()2.xxxy=c ec exeyycc21212,.另另解解：通通解解为为消消去去，得得58dytd ytttdxt dxtt222()1(2
39、2)()2(),2 22 2(2 2)解解：tttt3(1)()()4(1)d ytttdxttt2233(1)()()34(1)4(1)4(1)由由tttt1()()3(1)1 tttC1()(1)(3)ee32(1),(1).2由由条条件件（相相切切）tttttee3211()(3)2(1).2 593.(24)(1)0.xydxxydy求求方方程程的的通通解解xyuvxyuv242;1.解解：令令xuyv3;2.即即uv duuv dv(2)()dvuvvduuvu2111 xxyyxyc cR2214,.2另解：原方程可改写为另解：原方程可改写为dxd xydydxy221()()(4
40、)02xxyyxyc cR2214,.260十二、级数问题十二、级数问题 nxnnuxuxxe1()()解解：ndxdxnxxnxuxexe edxcecn1()()()neucn(1)0由由xnne xuxn()xnnxxnnnne xxuxeexxnn111()ln(1),11.6111(),nnf xxss 证证明明：令令在在区区间间上上用用拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理，111,()()()()nnnnnnssf sf sfss 使使得得111(1)nnnssa 即即111(1)(1)11(1)1nnnnnaasss 当当时时，11111nnnss 显显然然，且且前前 项项和和有有界
41、界，故故收收敛敛；.nnas 由由比比较较法法知知收收敛敛62(2)=10nnas 当当时时，由由111npnpkkk nk nknpaass 1npnnnpnpsssss 1+(),2nnn pssnnps 由由对对使使得得112nn pss kkas 发发散散；1,nnnnaass 当当时时，.nnas 由由比比较较法法发发散散63112ln()ln()nnnnaaf af a证证：12()()nnfaaf 112nnnnaam aa212310nnnmaamaa 01m又又11nnnaa 收收敛敛11().nnnaa 绝绝对对收收敛敛64十三、其他十三、其他222ln(1)1.arcta
42、nttxed ydxyte 、设设，求求 tt2t2t1ee2e2 e4651202132:.0421xyxyzllz 、求求直直线线与与直直线线的的距距离离6667123()()(2)(3)(0)g hk f hk fhk fhf证证：记记20()lim0(0)0hg hgh由由(0)0f 又又1231kkk；200()1()(0)lim0=lim00hhg hg hghhh 0()(0)lim00hg hgh (0)0g 123230kkk；0()(0)(0)lim0 xg xggx 由由001()(0)limlim0 xxg xgxx 20()lim0 xg xx123490kkk(3,
43、3,1)k注：也可以用泰勒公式做。注：也可以用泰勒公式做。68解：答，不存在。理由为：解：答，不存在。理由为：(0)1()1ffx 由由，()(0)()f xffxx 1()1xf xx(2)1()1ffx 由由，()(2)()(2)2f xffxx 1()3xf xx221200011()()()()f x dxf x dxf x dxf x dx1201(1)(1)1x dxxdx1,0,1()1,1,2x xf xxx 69附：高等数学中的一些常规方法附：高等数学中的一些常规方法1 1、关于凑微分、关于凑微分不易变的求导数，易变的凑微分不易变的求导数，易变的凑微分.也适用于分部积分也适用
44、于分部积分.2 2、不能求出原函数的定积分、不能求出原函数的定积分 ()baf x dx 考虑积分区间不变化的换元法，即考虑积分区间不变化的换元法，即 ()batabxf abt dt 令令再通过比较可得到含有所求积分的方程再通过比较可得到含有所求积分的方程.3 3、关于分部积分的使用、关于分部积分的使用如果在含有积分的式子中，同时含有如果在含有积分的式子中，同时含有 ,fff，通常可考虑利用分部积分化去通常可考虑利用分部积分化去 ,ff，再进行计算再进行计算.704 4、关于微积分中值定理的使用、关于微积分中值定理的使用,()f 当当出出现现的问题时，一般要利用微分中值定理；的问题时，一般要
45、利用微分中值定理；在构造辅助函数时，可通过移项，考虑没有导数的情形；在构造辅助函数时，可通过移项，考虑没有导数的情形；对于出现了特殊形式的积分上、下限，一般要考虑利用积分对于出现了特殊形式的积分上、下限，一般要考虑利用积分中值定理中值定理.5 5、极坐标系下求图形面积：、极坐标系下求图形面积：6 6、关于分段函数：、关于分段函数：求导或求原函数时，区间内部直接计算，分点处利用定义求导或求原函数时，区间内部直接计算，分点处利用定义.717 7、常见错误：、常见错误：()xaf t dt 函函数数未未必必可可导导！8 8、基本不等式、基本不等式 220220.(2)!nxxnxeexxn ，时时取取等等号号72
