1、专题七选考内容专题七选考内容第第1 1讲选修讲选修4-44-4坐标系与参数方程坐标系与参数方程总纲目录总纲目录考点一极坐标方程及其应用考点二参数方程及其应用考点三极坐标方程与参数方程的综合应用考点一极坐标方程及其应用1.(2019课标全国,22,10分)在极坐标系中,O为极点,点M(0,0)(00)在曲线C:=4sin 上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.(1)当0=时,求0及l的极坐标方程;(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.3解析解析(1)因为M(0,0)在C上,当0=时,0=4sin=2.由已知得|OP|=|OA|cos=2.设Q(,)为l上除P
2、的任意一点.在RtOPQ中,cos=|OP|=2.经检验,点P在曲线cos=2上.所以,l的极坐标方程为cos=2.3333-32,3-3-3(2)设P(,),在RtOAP中,|OP|=|OA|cos=4cos,即=4cos.因为P在线段OM上,且APOM,故的取值范围是.所以,P点轨迹的极坐标方程为=4cos,.,4 2,4 22.(2019课标全国,22,10分)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B,C,D(2,),弧,所在圆的圆心分别是(1,0),(1,),曲线M1是弧,曲线M2是弧,曲线M3是弧.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P
3、在M上,且|OP|=,求P的极坐标.2,432,4ABBCCD1,2ABBCCD3解析解析(1)由题设可得,弧,所在圆的极坐标方程分别为=2cos,=2sin,=-2cos.所以M1的极坐标方程为=2cos,M2的极坐标方程为=2sin,M3的极坐标方程为=-2cos.(2)设P(,),由题设及(1)知,若0,则2cos=,解得=;ABBCCD0434434436若,则2sin=,解得=或=;若,则-2cos=,解得=.综上,P的极坐标为或,或,或.4343323343563,63332353,6总结提升总结提升1.直角坐标方程与极坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程时,直接将x=c
4、os,y=sin 代入即可.(2)极坐标方程化为直角坐标方程时,一般需要构造2,sin,cos,常用的技巧有式子两边同乘,两角和与差的正弦、余弦展开等.2.求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标求解,可与数形结合思想结合使用.(2)转化为直角坐标系,用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标.1.(2019贵州凯里模拟)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的极坐标方程;(2)射线OM:=与圆C的交点为O、P,与曲线C1:y=(x0)的交点为Q,求线段PQ的长.cos,1sinxy 33 3
5、x解析解析(1)圆C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,又x=cos,y=sin,圆C的极坐标方程为=2sin.(2)设P(1,1),将P点坐标代入解得C1:y=(x0)化为极坐标方程为sin=,2sin,3113,.33 3x3 3cos设Q(2,2),将Q点坐标代入解得|PQ|=|1-2|=.3 3sin,cos,3222 3,.332.(2019东三省四市模拟)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1:cos=3,曲线C2:=4cos.(1)求C1与C2交点的极坐标;(2)设点Q在C2上,=,求动点P的极坐标方程.02OQ 23QP 解析解
6、析(1)联立方程得解得 cos=,0,cos=,=,=2,所求交点的极坐标为.(2)设P(,),Q(0,0),且0=4cos 0,0,cos3,4cos,32232632 3,60,2由 得=4cos,故动点P的极坐标方程为=10cos,.002,5,250,20,2考点二参数方程及其应用1.(2018课标全国,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.2cos,4sinxy1cos,2sinxtyt 解析解析(1)曲线C的直角坐标方程为+=1
7、.当cos 0时,l的直角坐标方程为y=tan x+2-tan,当cos=0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos+sin)t-8=0.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.24x216y又由得t1+t2=-,所以2cos+sin=0,于是直线l的斜率k=tan=-2.24(2cossin)13cos2.(2018课标全国,22,10分)在平面直角坐标系xOy中,O的参数方程为(为参数),过点(0,-)且倾斜角为的直线l与O交于A,B两点.(1)求
8、的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.cos,sinxy2解析解析(1)O的直角坐标方程为x2+y2=1.当=时,l与O交于两点.当时,记tan=k,则l的方程为y=kx-.l与O交于两点当且仅当1时成立,解得k1,即或.综上,的取值范围是.(2)l的参数方程为t为参数,.222221k,4 2 3,24 3,44cos,-2sinxtyt434设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=,且tA,tB满足t2-2tsin+1=0.于是tA+tB=2sin,tP=sin.又点P的坐标(x,y)满足所以点P的轨迹的参数方程是为参数,0),直线l的参数方程为(t为参数).(1)
9、若a=2,求曲线C与直线l的普通方程;(2)若C上存在点P,使得P到l的距离为,求a的取值范围.cos,sinxay-1,3-xtyt24解析解析(1)a=2时,曲线C的普通方程为+y2=1.消去参数得直线l的普通方程为x+y-2=0.(2)设点P(acos,sin),则P到l的距离d=(其中tan=a),当2,即a时,0d;当2,即0a=,所以当a时,始终满足条件.当a时,由,解得a.综上所述,a的取值范围是.2122a 1223 223322-12a 24525,2考点三极坐标方程与参数方程的综合应用1.(2017课标全国,22,10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数
10、),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:(cos+sin)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.2,xtykt-2,xmmyk2解析解析(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).设P(x,y),由题设得消去k得x2-y2=4(y0).所以C的普通方程为x2-y2=4(y0).(2)C的极坐标方程为2(cos2-sin2)=4(02,).1k(-2),1(2).yk xyxk联立得得cos-sin
11、=2(cos+sin).故tan=-,从而cos2=,sin2=,代入2(cos2-sin2)=4得2=5,所以交点M的极径为.222(cos-sin)4,(cossin)-201391011052.(2019课标全国,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos+sin+11=0.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.2221-,141txttyt3解析解析(1)因为-11,且x2+=+=1,所以C的直角坐标方程为x2+=1(x-1).l的直角坐标方程为2x+y+
12、11=0.(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数,-).C上的点到l的距离为=.221-1tt22y2221-1tt2224(1)tt24y3cos,2sinxy|2cos2 3sin11|74cos-1137当=-时,4cos+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为.23-37总结提升总结提升极径的几何意义及其应用(1)几何意义:极径表示极坐标平面内点M到极点O的距离.(2)应用:一般应用于过极点的直线与曲线相交所得的弦长问题,需要用极径表示出弦长,结合根与系数的关系解题.1.(2019陕西汉中二检)已知直线l1的参数方程为(t为参数,a0),以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正
13、半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为=4cos.(1)若直线l1被圆截得的弦长为2,求a的值;(2)直线l2的参数方程为(t为参数),在(1)的基础上,若l1l2,垂足为P,求P点的极坐标.,-3xtayt 22cos,sinxtyt解析解析(1)由l1的参数方程得x-y-3-a=0.2=x2+y2,cos=x,由C的极坐标方程得其直角坐标方程为x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4,圆心为C(2,0),半径r=2,圆心C到直线l1的距离d=,又弦长为2,2=2,解得a=-3.|2-3-|2a|1|2a222-r d2(2)由l2的参数方程得其普通方程为y=tan(x-2),又l
14、1l2,tan=-1,则l2:y=-x+2,由解得P(1,1),设P(,),则=,=,即P点的极坐标为P.,-2yxyx242,42.(2019湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为sin=.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2的距离的最大值,并求此时点P的坐标.3cos,sinxy42解析解析(1)曲线C1的普通方程为+y2=1,由sin=,得sin+cos=2,得曲线C2的直角坐标方程为x+y-2=0.(2)设点P的坐标为(cos,sin),则点P到C2的距离为=,23x4233cossin-222sin-232当sin=-1,即+=-+2k(kZ),=-+2k(kZ)时,所求距离最大,最大值为2,此时点P的坐标为.33256231-,-22
