1、6.4.3第3课时习题课正弦定理和余弦定理的综合应用2020第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览一二1.填空(2)正弦定理的变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为ABC外接圆半径);abc=sin Asin Bsin C;(3)余弦定理:a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览一二2.做一做在ABC中,若acos A=bsin B,则sin A
2、cos A+cos2B=()答案:D解析:由acos A=bsin B,得sin Acos A=sin2B,所以sin Acos A+cos2B=sin2B+cos2B=1.自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览一二二、三角形中有关边和角的常用性质1.填空(1)三角形内角和定理:在ABC中,A+B+C=;(2)在ABC中,abABsin Asin B;(3)在ABC中,a+bc,b+ca,c+ab.2.做一做已知锐角三角形的三边长分别为2,3,x,则实数x的取值范围为.自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练利用正、余弦定理解三角形利用
3、正、余弦定理解三角形例例1在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若bsin A=3csin B,a=3,cos B=,则b=()分析先由bsin A=3csin B及正弦定理得出边a,c的关系,从而得到边a,c的长度,再利用余弦定理求出b.答案:D反思感悟反思感悟 应用正、余弦定理解决三角形问题,关键是根据已知条件对边和角进行相互转化,化简表达式,通过代数变形或三角恒等变换解决问题.自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练变式训练1在ABC中,sin2Asin2B+sin2C-sin Bsin C,则A的取值范围是()答案:C
4、自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练正、余弦定理与平面向量的综合正、余弦定理与平面向量的综合分析先根据平面向量的数量积公式结合已知条件求出边c,再利用余弦定理求出边b,最后根据正弦定理求角C.自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟 利用正、余弦定理解决三角形中与平面向量有关的问题时,注意数量积定义的应用,其中特别注意向量的夹角与三角形内角之间的关系,例如 的夹角等于内角A的补角.自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练答案:B 自
5、主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练三角形中恒等式的证明三角形中恒等式的证明例例3在ABC中,角A,B,C的对应边分别为a,b,c.分析解答本题可通过正、余弦定理化边为角或化角为边,即可证明.自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练证法一由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,得a2-b2=b2-a2+2c(acos B-bcos A),即a2-b2=c(acos B-bcos A),自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四
6、思维辨析随堂演练自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练三角形中的最值与范围问题三角形中的最值与范围问题例例4在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2cos(B-C)-1=4cos Bcos C.(1)求cos A的值;(2)若a=3,求ABC面积的最大值.分析(1)将已知条件运用两角和与差的余弦公式进行变形整理,化简为关于cos A的表达式,进而求出cos A的值;(2)运用三角形面积公式结合三角恒等变换求最值.解:(1)由已知,得2cos B
7、cos C+2sin Bsin C-1=4cos Bcos C,所以2cos Bcos C-2sin Bsin C=-1,即2cos(B+C)=-1,因此-2cos A=-1,故cos A=.自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟 解决与面积有关的三角形的综合问题时,应选取适当的面积公式,结合正、余弦定理及三角恒等变换的知识,将问题转化为求函数的最值或范围,进而予以解决.自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四
8、思维辨析随堂演练延伸探究延伸探究 在本例(2)中,若条件不变,求ABC的周长的取值范围.自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练一道最值问题的多种解法典例典例如图所示,在ABC中,AB=2AC,AD是BAC的角平分线,且AD=kAC.(1)求k的取值范围;(2)若SABC=1,问k为何值时,BC最短.自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思
9、维辨析随堂演练自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练名师点评 此题的求解过程很好地体现了转化与化归(本章中主要体现在利用正、余弦定理“化边为角”“化角为边”)、函数与方程(利用正、余弦定理解三角形体现的就是方程思想,函数思想体现在利用函数知识求最值)、数形结合(将图形关系转化为数量关系再解题)思想.自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思
10、维辨析随堂演练1.在ABC中,sin Asin Bsin C=323,则cos C的值为()答案:A解析:sin Asin Bsin C=323,由正弦定理,得abc=323,设a=3k,b=2k,c=3k(k0),2.已知ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则 的值为()A.19B.14C.-18 D.-19答案:D自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练4.已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcos C+ccos B=2acos A.(1)求A;(2)若ABC的周长为3,求a的最小值.自主预习自主预习探究学习探究学习学习概览学习概览探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练
