1、2.基本不等式,【自主预习】 1.重要不等式 定理1:如果a,bR,那么a2+b2_2ab,当且仅当_ 时,等号成立.,a=b,2.基本不等式 (1)定理2:如果a,b0,那么_. 当且仅当_时,等号成立.,a=b,(2)定理2的应用:对两个正实数x,y, 如果它们的和S是定值,则当且仅当_时,它们的 积P取得最_值; 如果它们的积P是定值,则当且仅当_时,它们的 和S取得最_值.,x=y,大,x=y,小,【即时小测】 1.已知x3,则x+ 的最小值为 ( ) A.2 B.4 C.5 D.7 【解析】选D.x3,则 当且仅当x=5时等号成立.,2.设x,yR+且xy-(x+y)=1,则 ( )
2、 A.x+y2( +1) B.xy +1 C.x+y( +1)2 D.xy2( +1),【解析】选A.因为xy-(x+y)xy- 所以xy- 1,解得xy3+ . 又xy-(x+y) (x+y)2-(x+y), (x+y)2-(x+y)1,解得x+y2( +1).,3.函数f(x)= 的值域为_ . 【解析】f(x)= 答案:,【知识探究】 探究点 基本不等式 1.在基本不等式 中,为什么要求a0,b0? 提示:因为若a0,b0.,2.若f(x)=x+ ,则f(x)的最小值为2吗? 提示:f(x)的最小值不是2,只有当x0时,f(x)的最小 值才是2.,【归纳总结】 1.理解基本不等式的两个关
3、键点 一是定理成立的条件是a,b都是正数;二是等号取得的条件是当且仅当a=b时.,2.利用 求最值的三个条件 (1)各项或各因式为正. (2)和或积为定值. (3)各项或各因式能取得相等的值.,3.定理1与定理2的不同点 定理1的适用范围是a,bR;定理2的适用范围是a0,b0.,4.两个不等式定理的常见变形 (1)ab (2)ab (a0,b0). (3) 2(ab0).(4) (5)a+b 上述不等式中等号成立的充要条件均为a=b.,类型一 利用基本不等式求最值 【典例】1.(2015湖南高考)若实数a,b满足 ,则ab的最小值为 ( ) A. B.2 C.2 D.4 2.已知x0,y0,
4、且x+2y+xy=30,求xy的最大值.,【解题探究】1.如何利用条件? 提示:根据 可得a0,b0,然后借助基本不 等式 构造关于 的不等式. 2.如何利用“x+2y+xy=30”这个条件? 提示:由x+2y+xy=30,得y=,【解析】1.选C.因为 ,所以a0,b0,由 所以ab2 (当且仅当 b=2a时取等号),所以ab的最小值为2 .,2.由x+2y+xy=30,得y= (0x30), 所以xy= =34- 因为x+2+ 可得xy18. 当且仅当x+2= ,即x=6时,代入y= 得y=3时,xy取最大值18.,【延伸探究】 1.典例中题2若将条件“x+2y+xy=30”改为“x+2y
5、=xy”,其他条件不变,求x+y的最小值. 【解题指南】将条件x+2y=xy,变成 然后再乘以x+y,即可利用均值不等式求得.,【解析】由x+2y=xy得, 所以x+y= 当且仅当 ,结合 得x= +2,y=1+ 时,取最小值2 +3.,2.典例中题2条件不变,求x+2y的最小值. 【解题指南】利用x+2y+xy=30,建立关于x+2y的不等式求最值.,【解析】由30=x+2y+xy=x+2y+ x2y x+2y+ 即(x+2y)2+8(x+2y)-2400, (x+2y+20)(x+2y-12)0, 所以x+2y12或x+2y-20(舍) 故x+2y的最小值为12,当且仅当x=6,y=3时取
6、得.,【方法技巧】应用基本不等式求最值的方法与步骤 (1)方法:二看一验证 一看式子能否出现和(或积)为定值,若不出现,需对式子变形,凑出需要的定值; 二看所用的两项是否同正,若不满足,通过分类解决,同负时,可提取(-1)变为同正;,验证利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足,则可取最值;若不满足,则可通过函数单调性或导数解决.,(2)步骤:,【拓展延伸】利用基本不等式解决实际应用问题的方法 利用不等式解决实际应用问题时,首先要仔细阅读题目,弄清要解决的实际问题,确定是求什么量的取值;其次,分析题目中给出的条件,建立y的函数表达式y=f(x);最后,利用不等式的有关知识解题.,【变式训练】
7、1.(2015山东高考)定义运算 “”:xy= (x,yR,xy0),当x0,y0时,xy+(2y)x的最小值为_. 【解题指南】本题以新定义形式考查用基本不等式求最值的基本方法.,【解析】x0,y0时,xy+(2y)x= 所以所求的最小值为 . 答案:,2.为确保巴西世界杯总决赛的顺利 进行,组委会决定在位于里约热内卢 的马拉卡纳体育场外临时围建一个 矩形观众候场区,总面积为72m2(如图所示),要求矩形 场地的一面利用体育场的外墙,其余三面用铁栏杆围,并且要在体育馆外墙对面留一个长度为2m的入口.现已知铁栏杆的租用费用为100元/m.设该矩形区域的长为x(单位:m),租用铁栏杆的总费用为y
8、(单位:元). (1)将y表示为x的函数. (2)试确定x,使得租用此区域所用铁栏杆所需费用最小,并求出最小费用.,【解析】(1)依题意有:y= 其中x2. (2)由基本不等式可得:y= 当且仅当 =x,即x=12时取“=”. 综上:当x=12时,租用此区域所用铁栏杆所需费用最 小,最小费用为2200元.,【补偿训练】动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间.一面可利用原有的墙,其他各面(不包括上盖和地面)用钢筋网围成.,(1)现有36m长的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长
9、最小?,【解题指南】设每间虎笼长xm,宽ym,则问题(1)是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值;而问题(2)则是在xy=24的前提下求4x+6y的最小值,使用基本不等式解决.,【解析】设每间虎笼长为xm,宽为ym, (1)由条件得4x+6y=36,即2x+3y=18. 设每间虎笼面积为S,则S=xy. 方法一:由于2x+3y 所以2 18,得xy ,即S ,当且仅当2x=3y时,等号成立. 由 故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使面积最大.,方法二:由2x+3y=18,得x=9- y. 因为x0,所以00, 所以S,当且仅当6-y=y,即y=3时,等号成立, 此时x=4.5. 故每间
10、虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使面积最大.,(2)由条件知S=xy=24. 设钢筋网总长为l,则l=4x+6y. 方法一:因为2x+3y 所以l=4x+6y=2(2x+3y)48, 当且仅当2x=3y时,等号成立.,由 故每间虎笼长6m,宽4m时,可使钢筋网总长最小.,方法二:由xy=24,得x= 所以l=4x+6y= 当且仅当 =y,即y=4(y=-4舍去)时,等号成立, 此时x=6. 故每间虎笼长6m,宽4m时,可使钢筋网总长最小.,类型二 利用基本不等式证明不等式 【典例】已知a0,b0,c0,且a+b+c=1,证明: (1)a2+b2+c2 . (2),【解题探究】典例中如何建立a2
11、与a的不等关系? 提示:由 可建立a2与a的不等关系.,【证明】(1)由 相加得:a2+b2+c2+ 当且仅当a=b=c= 时取等号. 所以a2+b2+c2 .,(2)由a0,b0,c0,所以 相加得: 所以 当且仅当a=b=c= 时取等号.,【方法技巧】利用基本不等式证明不等式的方法与技巧 (1)方法:用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备基本不等式的结构和条件,然后合理地选择基本不等式或其变形形式进行证明.,(2)技巧:对含条件的不等式的证明问题,要将条件与结论结合起来,寻找出变形的思路,构造出基本不等式,切忌两次使用基本不等式用传递性证明,有时
12、等号不能同时取到.,【变式训练】1.已知a,b都是正数,且a+b=1. 求证:,【证明】 当且仅当 即a=b时,等号成立. 故,2.已知a,b,c都是正数,且a+b+c=1. 求证:,【证明】因为a,b,c都是正数,且a+b+c=1.,当且仅当 即a=b=c时,等号成立. 所以,拓展类型 利用基本不等式比较大小 【典例】若ab1,P= (lga+lgb),R=lg ,试比较P,Q,R的大小关系.,【解析】因为ab1, 所以lga0,lgb0, 所以P= 又Q= (lga+lgb)=lg ,而 所以 即QR,所以PQR.,【方法技巧】利用基本不等式比较代数式大小的两个注意点 (1)在应用基本不等
13、式时,一定要注意其前提条件是否满足,即a0,b0.,(2)若问题中一端出现“和式”,而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,不妨运用基本不等式试试看.,【变式训练】1.已知f(x)=lgx,a,bR+, 判断P,G,Q的大小关系.,【解析】因为a0,b0, 所以 当且仅当a=b时取等号. 又函数f(x)=lgx是增函数, 所以PGQ.,2.已知abc,比较 的大小关系. 【解题指南】将 表示成 ,用基本 不等式比较大小. 【解析】因为abc,所以a-b0,b-c0, 所以 当且仅当a-b=b-c即2b=a+c时取等号.,自我纠错 正确运用基本不等式 【典例】给出下面三个推导过程:
14、 (1)因为a,b(0,+),所以 (2)因为x,y(0,+),所以lgx+lgy (3)因为aR,a0,所以 其中正确的推导过程的序号为_.,【失误案例】,分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是忽视了基本不等式成立的条件,忽视了(2)(3)中的变量可能为负值而致误.正确解答过程如下:,【解析】从基本不等式成立的条件考虑. (1)因为a,b(0,+),所以 (0,+),符合基 本不等式的条件,故(1)的推导过程正确. (2)虽然x,y(0,+),但当x(0,1)时,lgx是负数, 当y(0,1)时,lgy是负数,所以(2)的推导过程是错误 的.,(3)因为aR,不符合基本不等式的条件, 所以 是错误的. 答案:(1),
