1、二 一般形式的柯西不等式,【自主预习】 1.三维形式的柯西不等式 设a1,a2,a3,b1,b2,b3是实数,则(a12+a22+a32)(b12+b22+ b32)_,当且仅当_或存 在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时等号成立.,(a1b1+a2b2+a3b3)2,bi=0(i=1,2,3),2.一般形式的柯西不等式 设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数, 则(a12+a22+an2)(b12+b22+bn2) _,当且仅当_ 或存在一个数k,使得ai=_(i=1,2,n)时,等号成立.,(a1b1+a2b2+anbn)2,bi=0(i=1,2,n),kbi,
2、【即时小测】 1.若a12+a22+a32=4,b12+b22+b32=9,则a1b1+a2b2+a3b3的最大值为 ( ) A.4 B.6 C.9 D.3,【解析】选B.根据柯西不等式,知(a1b1+a2b2+a3b3)2 (a12+a22+a32)(b12+b22+b32)=36，所以-6a1b1+a2b2 + a3b36.,2.已知x,y,z,aR,且x2+4y2+z2=6,则使不等式 x+2y+3za恒成立的a的最小值为 ( ) A.6 B. C.8 D.,【解析】选B.由x2+4y2+z2=6,利用柯西不等式可得 (x+2y+3z)2(x2+4y2+z2)(12+12+32)=66,
3、故有 x+2y+3z ,当且仅当 时,取等号. 再根据不等式x+2y+3za恒成立,可得a,3.已知a,b,cR,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为_. 【解析】因为(a2+4b2+9c2)(1+1+1)(a+2b+3c)2, 所以a2+4b2+9c212. 答案:12,【知识探究】 探究点 一般形式的柯西不等式 1.三维形式的柯西不等式中等号成立的条件写成 可以吗? 提示:不可以.因为若出现bi=0(i=1,2,3)的情况,则分 式不成立了,但是,可以利用分式的形式来形象地记忆.,2.在一般形式的柯西不等式中,等号成立的条件记为ai=kbi(i=1,2,3,n),可以吗?
4、提示:不可以.若bi=0,而ai0,则k不存在.,【归纳总结】 1.对柯西不等式一般形式的说明 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广,其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结,左边是平方和的积,右边是积的和的平方.在使用时,关键是构造出符合柯西不等式的结构形式.,2.等号成立的条件 ai=kbi(i=1,2,n)或bi=0,即: = = 或b1=b2=bn=0.,3.柯西不等式的两个变式 (1)设aiR,bi0(i=1,2,n), , 当且仅当bi=ai时等号成立. (2)设ai,bi同号且不为0(i=1,2,n),则 ,当且仅当bi=ai时,等号成立.,类
5、型一 利用柯西不等式证明不等式 【典例】已知a+b+c=1,且a,b,c是正数,求证: 【解题探究】本例不等式右边的9如何拆分才能运用 柯西不等式? 提示:9=(1+1+1)2.,【证明】左边=2(a+b+c) = (a+b)+(b+c)+(c+a) (1+1+1)2=9. 当且仅当a=b=c= 时,等号成立,所以,原不等式成立.,【方法技巧】利用柯西不等式证明不等式时常用的技巧 (1)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以巧拆常数. (2)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以重新安排各项的次序.,(3)构造符合柯西不等式的形式及条件,可以改变式子的结构,从而达到使用柯西不等式的目的. (4)构
6、造符合柯西不等式的形式及条件,可以添项.,【变式训练】 1.已知a,b,cR+,求证:,【证明】由柯西不等式知 所以原不等式成立.,2.已知a1,a2,an都是正实数,且a1+a2+an=1,求证:,【证明】左边= =(a1+a2)+(a2+a3)+(an-1+an)+(an+a1),【补偿训练】利用柯西不等式证明a2+b2+c2+d2 ab+bc+cd+da.(a,b,c,d是正数) 【证明】(a2+b2+c2+d2)(b2+c2+d2+a2) (ab+bc+cd+da)2, 所以a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da.,类型二 利用柯西不等式求最值 【典例】已知a,b,c均为正数,且
7、a+2b+4c=3. 求 的最小值. 【解题探究】本例中的题设条件如何转化为与所求式子的分母有关的形式? 提示:由a+2b+4c=3可得(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.,【解析】因为a+2b+4c=3,所以(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10. 因为a,b,c为正数, 所以(a+1)+2(b+1)+4(c+1),当且仅当(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2,等式成立. 故 的最小值为 .,【延伸探究】 1.本例 取得最小值时a,b,c的值是 什么?,【解析】由(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2及 (a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10得2(c+1)
8、+2 (c+1) +4(c+1)=10, 所以,2.若本例条件不变,改为求 的最大值.,【解析】由柯西不等式得 当且仅当a+1=2b+1=4c+1,即a=1,b= ,c= 时等号 成立, 所以 的最大值为3 .,【方法技巧】利用柯西不等式求最值的方法技巧 利用柯西不等式可求某些含有约束条件的多变量函数的最值问题,其关键是对原目标函数通过巧变结构、巧拆常数、巧换位置、巧添项等技巧以保证柯西不等式的结构特征且出现常数结果,同时要注意等号成立的条件.,【变式训练】1.设a,b,c为正数,a+2b+3c=13,则 的最大值为 ( ),【解析】选C.根据柯西不等式,2.(2015福建高考)已知a0,b0
9、,c0,函数 f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4. (1)求a+b+c的值. (2)求 a2+ b2+c2的最小值. 【解题指南】利用绝对值三角不等式和柯西不等式求解.,【解析】(1)因为f(x)=|x+a|+|xb|+c|(x+a) (xb)|+c=|a+b|+c, 当且仅当-axb时,等号成立. 又a0,b0,所以|a+b|=a+b, 所以f(x)的最小值为a+b+c, 又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.,(2)由(1)知a+b+c=4, 由柯西不等式得 (4+9+1) =(a+b+c)2=16, 即 a2+ b2+c2 ,当且仅当 , 即 时等号成立, 故 a2+ b2+c2的最小值为 .,自我纠错 求代数式的值 【典例】设x,y,zR,且满足:x2+y2+z2=1, x+2y+3z= ,则x+y+z=_.,【失误案例】,分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是弄错了柯西不等式等号成立 的条件,实际上本题中柯西不等式等号成立的条件是 正确解答过程如下:,【解析】由柯西不等式可知: (x+2y+3z)2(x2+y2+z2)(12+22+32), 当且仅当 时取等号, 此时y=2x,z=3x,x+2y+3z=14x= ,所以x= ,y= , z= , 所以x+y+z= = . 答案:,
