1、 专题专题 1 集合与简单逻辑集合与简单逻辑 集合知识一般以一个选择题的形式出现，其中以集合知识为载体，集合与不等式、解析几何知识相结 合是考查的重点，难度为中、低档；对常用逻辑用语的考查一般以一个选择题或一个填空题的形式出现， 以集合、函数、数列、三角函数、不等式及立体几何中的线面关系为载体，考查充要条件或命题的真假判 断等，难度一般不大. 1集合的概念、运算和性质 (1)集合的表示法：列举法，描述法，图示法 (2)集合的运算： 交集：ABx|xA，且 xB 并集：ABx|xA，或 xB 补集：UAx|xU，且 xA (3)集合的关系：子集，真子集，集合相等 (4)需要特别注意的运算性质和结
2、论 AA，A； A(UA)，A(UA)U. ABAAB，ABABA 2四种命题 (1)用 p、q 表示一个命题的条件和结论， p 和 q 分别表示条件和结论的否定，那么若原命题：若 p 则 q；则逆命题：若 q 则 p；否命题：若 p 则 q；逆否命题：若 q 则 p. (2)四种命题的真假关系 原命题与其逆否命题同真同真；原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假 3充要条件 (1)若 pq，则 p 是 q 成立的充分条件，q 是 p 成立的必要条件 (2)若 pq 且 q/ p，则 p 是 q 的充分不必要条件，q 是 p 的必要不充分条件 (3)若 pq，则 p 是 q 的充分必要条件 4简
3、单的逻辑联结词“且”、“或”、“非” 用逻辑联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来，就得到一个新命题，记作“pq”； 用逻辑联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来，就得到一个新命题，记作“pq”； 对一个命题 p 全盘否定，就得到一个新命题，记作“p” 5全称量词与存在量词 (1)全称命题 p：xM，p(x) 它的否定 p：x0M， p(x0) (2)特称命题(存在性命题)p：x0M，p(x0) 它的否定 p：xM， p(x). 高频考点一高频考点一 集合的概念及运算集合的概念及运算 例 1、(1)2019 全国卷已知集合 A1，0，1，2，Bx|x21，则 AB( ) A1，0，
4、1 B0，1 C1，1 D0，1，2 (2)2019 全国卷已知集合 Mx|40，则“ab4”是“ab4”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【解析】(1)由 x25x0，所以 ab2 ab，由 ab4 可得 2 ab4，解得 ab4，所以充分性成立；当 ab4 时， 取 a8， b 1 3， 满足 ab4， 但 ab4， 所以必要性不成立 所以“ab4”是“ab4”的充分不必要条件 故 选 A. 【答案】 (1)B (2)A 【举一反三】 （2018 年天津卷）设，则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不重复条件 C. 充要条件
5、 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】绝对值不等式 ， 由 . 据此可知是的充分而不必要条件. 本题选择 A 选项. 【变式探究】 【2017 天津，理 4】设R，则“ | 1212 ”是“ 1 sin 2 ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 |0 12126 1 sin 2 ，但 1 0,sin 2 ，不满足 | 1212 ，所 以是充分不必要条件，选 A. 高频考点三高频考点三 命题的真假与逻辑联结词命题的真假与逻辑联结词 例 3、(1)2018 北京卷能说明“若 f(x)f(0)对任意的 x(0，
6、2都成立，则 f(x)在0，2上是增函数”为假 命题的一个函数是_； (2)2019 福建漳州一中模拟已知命题 p：椭圆 25x29y2225 与双曲线 x23y212 有相同的焦点；命 题 q：函数 f(x) x25 x24的最小值为 5 2.则下列命题为真命题的是( ) Apq B(p)q C(pq) Dp(q) 【解析】 (1)设 f(x)sin x，则 f(x)在 0， 2上是增函数，在 2，2 上是减函数由正弦函数图象的对称 性知，当 x(0，2时，f(x)f(0)sin 00，故 f(x)sin x 满足条件 f(x)f(0)对任意的 x(0，2都成立，但 f(x)在0，2上不一直
7、都是增函数 (2)p 中椭圆 x2 9 y2 251 的焦点坐标分别为(0，4)，(0，4)，双曲线 x2 12 y2 41 的焦点坐标分别为(4，0)， (4，0)，故 p 为假命题；q 中 f(x) x25 x24 x241 x24 x24 1 x24，设 t x 242(当且仅当 x0 时， 等号成立)，则 f(t)t 1 t在区间2，)上单调递增，故 f(x)min 5 2，故 q 为真命题所以(p)q 为真 命题，故选 B. 【答案】 (1)f(x)sin x，x0，2(答案不唯一) (2)B 【举一反三】(1)设命题 p：nN，n22n，则p 为( ) AnN，n22n BnN，n
8、22n CnN，n22n DnN，n22n 解析：基本法：因为“xM，p(x)”的否定是“xM，p(x)”，所以命题“nN，n22n”的否定是“n N，n22n”故选 C. 答案：C (2)已知命题 p：xR，2x0，则“a+b4”是 “ab4”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当0, 0ab时，2abab，则当4ab时，有24abab，解得4ab， 充分性成立； 当=1, =4ab时，满足4ab，但此时=54a+b，必要性不成立， 综上所述，“4ab”是“ 4ab”的充分不必要条件，故选 A。 7 【2019 年高考天津
9、】设xR，则“ 2 50xx ”是“|1| 1x”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由 2 50xx可得05x，由| 1| 1x可得0 2x， 易知由05x推不出02x， 由02x能推出05x， 故05x是02x的必要而不充分条件， 即“ 2 50xx ”是“|1| 1x”的必要而不充分条件，故选 B。 8 【2019 年高考全国卷】设 ， 为两个平面，则 的充要条件是（ ） A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C， 平行于同一条直线 D， 垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知：
10、内有两条相交直线都与平行是的充分条件；由面面平 行的性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与平行是 的必要条件，故 的充要条件是 内有两条相交直线与 平行，故选 B。 1. （2018 年浙江卷）已知全集 U=1，2，3，4，5，A=1，3，则（ ） A. B. 1，3 C. 2，4，5 D. 1，2，3，4，5 【答案】C 【解析】因为全集，所以根据补集的定义得，故选 C。 2. （2018 年天津卷）设全集为 R，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意可得：，结合交集的定义可得：. 本题选择 B。 3. （2018 年北京卷）设集合则（
11、 ） A. 对任意实数 a， B. 对任意实数 a， （2，1） C. 当且仅当 a0 时， （2，1） D. 当且仅当时， （2，1） 【答案】D 【解析】 若， 则且， 即若， 则， 此命题的逆否命题为： 若， 则有， 故选 D。 4. （2018 年北京卷）已知集合 A=x|x|2，B=2，0，1，2，则 AB=（ ） A. 0，1 B. 1，0，1 C. 2，0，1，2 D. 1，0，1，2 【答案】A 【解析】，因此 AB=，故选 A。 5. （2018 年全国 I 卷）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解不等式得，所以， 所以可以求得，故选 B。 6
12、.（2018 年全国卷）已知集合，则 中元素的个数为（ ） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】， 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有 9 个，故选 A。 7.（2018 年全国卷）已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由集合 A 得，所以，故选 C。 8.（2018 年浙江卷）已知平面 ，直线 m，n 满足 m ，n，则“mn”是“m”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得，由不能得出 与 内任一直线 平行，所以是的充分不
13、必要条件，故选 A。 9. （2018 年天津卷）设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不重复条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】绝对值不等式 ， 由 . 据此可知是的充分而不必要条件，故选 A。 10. （2018 年北京卷）设 a，b 均为单位向量，则“”是“ab”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】，因为 a，b 均为单位向量， 所以 ab， 即“”是“ab”的充分必要条件， 故选C。 11. （2018 年江苏卷）已知集合，那么_ 【答案】
14、1，8 【解析】由题设和交集的定义可知：. 12. （2018 年北京卷）设 n 为正整数，集合 A=对于集合 A 中的 任意元素和，记 M（ ）= （）当 n=3 时，若，求 M（）和 M（）的值； （）当 n=4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素，当相同时，M（）是奇 数；当不同时，M（）是偶数求集合 B 中元素个数的最大值； （）给定不小于 2 的 n，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素，M（） =0写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由 【答案】(1) M(，）=1 (2) 最大值为 4 (3)答案见解析 【解析】 （）因
15、为 =（1，1，0） ，=（0，1，1） ，所以 M(，)= (1+1|11|)+(1+1|11|)+(0+0|00|)=2， M(，）= (1+0|10|)+(1+1|11|)+(0+1|01|)=1 （）设 =（x1，x 2，x3，x4）B，则 M(，）= x1+x2+x3+x4 由题意知 x1，x 2，x3，x40，1，且 M(，)为奇数， 所以 x1，x 2，x3，x4中 1 的个数为 1 或 3 所以 B(1，0，0，0） ， （0，1，0，0)， （0，0，1，0)， （0，0，0，1)， （0，1，1，1)，(1，0，1，1)， (1，1，0，1)，(1，1，1，0). 将上述集
16、合中的元素分成如下四组： （1，0，0，0)，(1，1，1，0)； （0，1，0，0)，(1，1，0，1)； （0，0，1，0)， （1，0，1，1)； （0，0， 0，1)， （0，1，1，1). 经验证，对于每组中两个元素 ，均有 M(，）=1. 所以每组中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素 所以集合 B 中元素的个数不超过 4. 又集合（1，0，0，0） ， （0，1，0，0） ， （0，0，1，0） ， （0，0，0，1)满足条件， 所以集合 B 中元素个数的最大值为 4. （）设 Sk=( x1，x 2，xn）|( x1，x 2，xn）A，xk =1，x1=x2=xk1=0） （
17、k=1，2，n)， Sn+1=( x1，x 2，xn）| x1=x2=xn=0， 则 A=S1S1Sn+1 对于 Sk（k=1，2，n1）中的不同元素 ，经验证，M(，)1. 所以 Sk（k=1，2 ，n1）中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素 所以 B 中元素的个数不超过 n+1. 取 ek=( x1，x 2，xn）Sk且 xk+1=xn=0（k=1，2，n1）. 令 B=（e1，e2，en1）SnSn+1，则集合 B 的元素个数为 n+1，且满足条件. 故 B 是一个满足条件且元素个数最多的集合 1.【2017 课标 1，理 1】已知集合 A=x|x1，B=x|3 1 x ，则（ ）
18、A |0ABx x BAB R C |1ABx x DAB 【答案】A 【解析】 ，由31 x 可得 0 33 x ，则0x，即 |0Bx x ，所以 |1 |0 |0ABx xx xx x ， |1 |0 |1ABx xx xx x，故选 A。 2.【2017 课标 II，理】设集合1,2,4， 2 40x xxm 。若1 ，则（ ） A.1, 3 B.1,0 C.1,3 D.1,5 【答案】C 【解析】由 1AB得1B，即1x 是方程 2 40xxm的根，所以1 40,3mm ， 1,3B ，故选 C。 3 【2017 课标 3，理 1】已知集合 A= 22 ( , )1x yxy，B=(
19、 , )x yyx，则 AB 中元素的个 数为（ ） A3 B2 C1 D0 【答案】B 【解析】集合中的元素为点集，由题意，结合 A 表示以0,0 为圆心，1 为半径的单位圆上所有点组 成的集合， 集合B表示直线y x 上所有的点组成的集合， 圆 22 1xy 与直线y x 相交于两点1,1 ， 1, 1 ，则AB中有两个元素，故选 B。 4.【2017 北京，理 1】若集合 A=x|2x1，B=x|x3，则 AB=（ ） （A）x|2x1 （B）x|2x3 （C）x|1x1 （D）x|1x3 【答案】A 【解析】利用数轴可知21ABxx ，故选 A。 5.【2017 天津】设集合1,2,6, 2,4,| 15ABCxx R ，则()ABC （ ） （A）2 （B）1,2,4 （C）1,2,4,6 （D）| 15xx R 【答案】B 【解析】()12 4 6 1512 4ABC ， ， ， ， ，故选 B。 6.【2017 天津， 】设R，则“ | 1212 ”是“ 1 sin 2 ”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 |0 12126 1 sin 2 ，但 1 0,sin 2 ，不满足 | 1212 ，所 以是充分不必要条件，故选 A。
