1、 第 - 1 - 页 共 6 页 - 1 - A 级：基础巩固练 一、选择题 1已知|a|1，b(0,2)，且 a b1，则向量 a 与 b 夹角的大小为 ( ) A 6 B 4 C 3 D 2 答案 C 解析 |a|1，b(0,2)，且 a b1， cosa，b a b |a|b| 1 1 022 1 2. 向量 a 与 b 夹角的大小为 3.故选 C. 2已知平面向量 a(2,4)，b(1,2)，若 ca(a b) b，则|c|等 于( ) A4 2 B2 5 C8 D8 2 答案 D 解析 易得 a b2(1)426，所以 c(2,4)6(1，2) (8，8)，所以|c| 82828 2
2、. 3已知向量 a( 3，1)，b 是不平行于 x 轴的单位向量，且 a b 3，则 b( ) A 3 2 ，1 2 B 1 2， 3 2 C 1 4， 3 3 4 D(1,0) 答案 B 解析 设 b(x，y)，其中 y0，则 a b3xy3.由 第 - 2 - 页 共 6 页 - 2 - x2y21， 3xy 3， y0， 解得 x1 2， y 3 2 ， 即 b 1 2， 3 2 .故选 B. 4已知向量 a(1,2)，b(2，3)，若向量 c 满足(ca)b，c (ab)，则 c 等于( ) A 7 9， 7 3 B 7 3， 7 9 C 7 3， 7 9 D 7 9， 7 3 答案
3、D 解析 设 c(x，y)，则 ca(1x,2y)，ab(3，1)，由 已知可得 22y3x10， 3xy0， 解得 x7 9， y7 3， 即 c 7 9， 7 3 . 5已知 A(2,1)，B(6，3)，C(0,5)，则ABC 的形状是( ) A直角三角形 B锐角三角形 C钝角三角形 D等边三角形 答案 A 解析 根据已知，有AB (8，4)，AC (2,4)，BC (6，8)， 因为AB AC 82(4)40， 所以AB AC ，即BAC90 . 故ABC 为直角三角形 二、填空题 6已知向量 a(1,2)，b(2，4)，|c| 5，若(ab) c5 2， 第 - 3 - 页 共 6 页
4、 - 3 - 则 a 与 c 的夹角为_ 答案 2 3 解析 设 c(x，y)，ab(1，2)， 且|a| 5，|c| 5，(ab) c5 2， (1，2) (x，y)5 2.x2y 5 2， x2y5 2. 设 a 与 c 的夹角为 ， cos a c |a|c| x2y 5 5 1 2. 0，2 3 . 7已知|a|3，|b|4，且(a2b) (2ab)4，则 a 与 b 夹角 的 范围是_ 答案 0， 3 解析 (a2b) (2ab)2a2a b4a b2b2293|a|b|cos a，b216 14334cosa，b4， cosa，b1 2， 又a，b0， a，b 0， 3 . 8已知
5、 a(1,3)，b(2，1)，且 a 与 b 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是_ 答案 5 且 5 3 解析 因 a 与 b 的夹角为锐角，则 cosa，b0，且 cosa，b 第 - 4 - 页 共 6 页 - 4 - 1，即 a b230，且 bka，则 5 且 5 3. 三、解答题 9已知 A(1,2)，B(4,0)，C(8,6)，D(5,8)，判断由此四点构成的四 边形的形状 解 因为AB (4,0)(1,2)(3， 2)， DC (8,6)(5,8)(3， 2)， 所以AB DC ，所以四边形 ABCD 是平行四边形 因为AD (5,8)(1,2)(4,6)， 所以AB AD 34
6、(2)60， 所以AB AD ，所以四边形 ABCD 是矩形 因为|AB | 13，|AD |2 13，|AB |AD |， 所以四边形 ABCD 不是正方形 综上，四边形 ABCD 是矩形 10设平面向量 a(cos，sin)(02)，b 1 2， 3 2 ，且 a 与 b 不共线 (1)求证：向量 ab 与 ab 垂直； (2)若两个向量 3ab 与 a 3b 的模相等，求角 . 解 (1)证明：由题意，知 ab cos1 2，sin 3 2 ，ab cos1 2，sin 3 2 ， (ab) (ab)cos21 4sin 23 40， (ab)(ab) (2)|a|1，|b|1， 第 -
7、 5 - 页 共 6 页 - 5 - 由题意知( 3ab)2(a 3b)2， 化简得 a b0，1 2cos 3 2 sin0， tan 3 3 . 又 02， 6或 7 6 . B 级：能力提升练 1如图，在矩形 ABCD 中，AB 2，BC2，点 E 为 BC 的中点， 点 F 在边 CD 上，若AB AF 2，则AE BF 的值是_ 答案 2 解析 以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴建 立平面直角坐标系， 设 F(x,2)，则AE ( 2，1)，AF (x,2)，AB ( 2，0) 所以AB AF 2x 2， 所以 x1，所以 F(1,2) 所以BF (1
8、,2)( 2，0)(1 2，2) 所以AE BF 2. 第 - 6 - 页 共 6 页 - 6 - 2已知OA (4,0)，OB (2,2 3)，OC (1)OA OB (2) (1)求OA OB 及OA 在OB 上的投影； (2)证明 A，B，C 三点共线，并在AB BC 时，求 的值； (3)求|OC |的最小值 解 (1)OA OB 8，设OA 与OB 的夹角为 ， 则 cos OA OB |OA |OB | 8 44 1 2， 所以OA 在OB 上的投影为|OA |cos41 22. (2)AB OB OA (2,2 3)，BC OC OB (1)OA (1 )OB (1)AB ， 因为AB 与BC 有公共点 B， 所以 A，B，C 三点共线 当AB BC 时，11，所以 2. (3)|OC |2(1)2OA 22(1)OA OB 2OB 2 162161616 1 2 212. 所以当 1 2时，|OC |取到最小值 2 3.
