1、专题四 三角函数与解三角形目 录CONTENTS考点一 任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式考点二 三角恒等变换考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形考点三 三角函数的图像与性质考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形必备知识 全面把握核心方法 重点突破考法例析 成就能力4必备知识 全面把握1正弦定理、余弦定理及解三角形(1)正弦定理：(R为ABC外接圆的半径)应用正弦定理和三角形内角和定理，可以求解以下两类解三角形问题：已知两角和任一边，求其他的边和角；已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 5 应用余弦定理可以求解以下两类解三角形问题：已知三边
2、求三内角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的两个内角应用余弦定理不仅可以进行三角形中边、角间的计算，还可以判断三角形的形状应用正弦定理和余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边或角的单一”的等式考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 6考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 7 利用三角函数的知识，结合三角形的边角关系及有关公式解决三角形中的计算与证明问题，必须注意以下两点：熟练掌握有关三角形的定理：正弦定理、余弦定理、内角和定理；重视三边、三角、三线(高线、中线、角平分线)、面积、两个半径(外接圆半径、内切圆半径)之间的相互依赖的关系和互化关系考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形
3、8考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 9(5)判断解的个数的方法根据已知条件给出的数据，利用正弦定理和余弦定理解三角形时，有时结果不止一个，此时需要根据情况合理取舍具体方法有：代数法：根据已知条件中角的大小、边的长短并结合“大角对大边、大边对大角”判断，根据正弦函数的值域判断等考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 10几何法：先根据条件画图形，再根据图形判断特别地，如果已知ABC的两边a，b及边a的对角A求角B时，结果可能有一个、两个或者没有具体如下：考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 11(1)解三角形应用题的一般步骤：分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；建模：根据已知条件和求解
4、目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型；求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解2解三角形的实际应用考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 12(2)解三角形应用题常见的几种情况：实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，运用一次正弦定理或余弦定理便可求解实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及在两个三角形中，这时需按顺序逐步在两个三角形中求解实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理.考点四 正弦定理、余弦
5、定理及解三角形 13核心方法重点突破方法1 利用正弦定理解三角形考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 14考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 15例1、山东20179在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三角形，且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，则下列等式成立的是()Aa2b Bb2a CA2B DB2A【解析】sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，sin B2sin Bcos Csin Acos C(sin Acos Ccos Asin C)，sin B2sin Bcos Csin Aco
6、s Csin(AC)又sin Bsin(AC)，2sin Bcos Csin Acos C.0Cb，a5，c6，sin B .(1)求b和sin A的值；(2)求 的值53考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 30考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 31例10、课标全国201617ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.(1)求C；(2)若c ，ABC的面积为 ，求ABC的周长7考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 32方法4 利用正弦定理、余弦定理解决与三角形面 积、取值范围有关的问题(1)与三角形面积有关的问题主要有两种：一是解三角形
7、求出有关量，利用公式求面积；二是将面积作为已知条件之一，与正弦定理和余弦定理一起求解三角形中的其他量解题时主要应用三角形面积公式 ，此公式既与边长的乘积有关，又与角的三角函数值有关，由此可以与正弦定理和余弦定理综合求解问题考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 33(2)解与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形中边角的取值范围、函数值域求法求解范围即可这里要注意两个内容：运用三角形内角和定理：ABC，大边对大角；已知条件中的范围限制要留意，如：已知ABC为锐角三角形，则要求三个角均为锐角之外，还要求AB ，解题时
8、要尽量把范围缩到最小限度考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 34例11、山东201412在ABC中，【答案】考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 35例12、北京201615在ABC中，a2c2b2 ac.(1)求B的大小；(2)求 cos Acos C的最大值22考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 36方法5 利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状要判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考主要有以下两条途径：(1)“角化边”：把已知条件(一般是边的一次式，角的正弦、余弦)转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得到边的对应关系，从而判断三角形的形状(2)“边化角”：把已知条件(边
9、的二次式、两边的积、角的余弦)转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意ABC这个结论考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 37例13、河南2018联考如图所示，在ABC中，(1)求证：ABD是等腰三角形；(2)求的值以及ABC的面积考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 38考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 39方法6 解三角形的实际应用解三角形知识的产生主要受天文测量、航海测量、地理测量等实践活动的推动，在学习中，应注意这几个方面的问题(1)对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，可以应用全等三角形的方法，也可以应用相似
10、三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及应用正弦定理、余弦定理的方法等由于在实际测量问题中，某些方法不能实施如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以有些方法会有局限性考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 40(2)在应用正弦定理、余弦定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，故应该提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较对于一些常见的测量问题甚至可以设计应用程序，得到在实际中可以直接应用的算法考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 41例14、某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75方向上，距离为12 海里，灯塔C在A的北偏西3
11、0方向上，距离为8 海里游轮由A向正北方向航行到D处时，再看灯塔B在D的南偏东60方向上，则C与D的距离为()A20海里 B8 海里 C23 海里 D24海里6323【答案】B例14、某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75方向上，距离为12 海里，灯塔C在A的北偏西30方向上，距离为8 海里游轮由A向正北方向航行到D处时，再看灯塔B在D的南偏东60方向上，则C与D的距离为()A20海里 B8 海里 C23 海里 D24海里2考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 42例15、四川蓉城名校联盟2019届联考某渔船在航行中遇到危险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角(从指北方
12、向顺时针转到目标方向线的水平角)为40，距离为15海里的C处，并测得渔船正沿方位角为100的方向，以15海里/时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以15海里/时的速度前去营救，求舰艇靠近渔船所需的最少时间和舰艇的航向考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 43考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 44考法例析成就能力考法1 综合利用正弦定理、余弦定理解三角形例1、课标全国201817在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2 ，求BC.2考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 45考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 46例2、天津201815
13、在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 47考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 48考法2利用正弦定理、余弦定理解决与三角形 面积、取值范围有关的问题例3、课标全国 201717ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b、c.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 49考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 50考法3利用正弦定理、余弦定理判断三角形的 形状、解决实际问题例4、湖北201513如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形 51【答案】100考点四 正弦定理、余弦定理及解三角形
