1、14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开14-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路应用拉普拉斯变换法分析线性电路14-6 网络函数的定义网络函数的定义14-7 网络函数的极点和零点网络函数的极点和零点14-2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质14-4 运算电路运算电路14-1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义14-8 极点、零点和冲激响应极点、零点和冲激响应14-9 极点、零点和频率响应极点、零点和频率响应0-f(t)=f(t)eStdt=F(S)关于积分下限关于积分下限0例例0-K=KeStdt=KeStS10-=KS (t)=(t)eStdt0-=e
2、Stdt0+=1S=(t)dt0-0+=1 e t=e t eStdt0-e(+S)tdt0-=e(+S)t(S+)1=0-S+1=(t)=(t)eStdt0-14-1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义S=+j s为变量为变量原函数原函数象函数象函数 1f1(t)+2f2(t)=1F1(S)+2F2(S)设设 f1(t)=F1(S)f2(t)=F2(S)一、线性性质一、线性性质例：例：kcos t=0.5k(ej t+ej t)=0.5k()Sj S+j 11+=kS2+2S14-2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 =SF(S)f(0-)df(t)dt二、微分性质二、微分性质
3、 设设 f(t)=F(S)CCdui=CdtuCC+-iC设设sC CC CC CC CC CC C-u u =U U(s s)d du u i i =C C=C C U U(s s)-u u(0 0)d dt tdt-s st t0 0-s st t-s st t0 00 0-f f(t t)=f f(t t)e e =f f(t t)e e-(-s s)e ef f(t t)d dt t =s sF F(s s)-f f(0 0)四、延迟性质四、延迟性质若若 f(t)=F(S)则则 f(t-t0)=e-st0F(S)0u(t)=(t)-(t-t)0u(t)tt010-()()11stu t
4、tess0()tt f(x)dx=F(S)0-t1S三、积分性质三、积分性质 设设 f(t)=F(S)CCCC1 1u=i dtu=i dtC C设设(0)CCCCCCCCCCCCi=I(s)i=I(s)11111111u=i dt=uI(s)u=i dt=uI(s)CsCsCsCsuC0.5F2+-i2H 5V+-i(t)=I(S)5=5/s 2i+2 +idxdidt0.51-t=5 2i(t)+2 +1 +=5didt0.51 i dx0tI(S)=S+42S2+2S+2(2i+2 +1+idxdidt0.510t)=(5)uC(0)=1Vi(0)=0.5A S2 1S 2I(S)+2(
5、SI(S)0.5)+I(S)=5S 1S2 S(2+2S+)I(S)1+=5S-t tt tC C-0 01 11 1i id d=u u(0 0)+i id d0 0.5 50 0.5 5求电流响应求电流响应i(t)?i(t)例：例：14-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开c-j c-j f(t)=(1/2j)F(s)estds一、反变换的定义一、反变换的定义二、部分分式展开查表法二、部分分式展开查表法集总参数电路中响应变换式的特点：变换式在一般情况集总参数电路中响应变换式的特点：变换式在一般情况下为下为S的实系数有理函数的实系数有理函数N(S)D(S)F(S)=b
6、mSm+bm1Sm1+b1S+b0 anSn+an1Sn1+a1S+a0 =出发点出发点 ke tS+k=1 =ke tS+k2211111sss例：例：一般地：一般地：N(S)D(S)F(S)=bmSm+bm1Sm1+b1S+b0 anSn+an1Sn1+a1S+a0 =(1)nm(真分式真分式)(2)n=mF(S)=A+D(S)N0(S)F(S)可展开为部分分式之和可展开为部分分式之和真分式真分式例例F(S)=S2+1S2+2S+2=1-S2+2S+22S+1D(S)=(s-p1)(s-p2)(s-pn)当当p1,p2,pn为为D(S)=0的根时，的根时，bmSm+bm1Sm1+b1S+b
7、0 F(S)=(s-p1)(s-p2)(s-pn)S p1K1S p2K2S piKiS pnKn+=部部分分分分式式展展开开法法的的思思路路分分析析1、Ki=(Spi)F(S)S=piF(S)=S p1K1S p2K2S piKiS pnKn+3、常数、常数Ki的两种求法：的两种求法：法一、法一、法二、法二、Ki=N(s)D(s)S=pi令令D(S)=0，得到，得到D(S)的根的根p1,p2,pn2、D(s)的根的根根的三种情况讨论：根的三种情况讨论：(1)实数单根实数单根；(2)复数根复数根；(3)重根重根F(S)=S p1K1S p2K2S piKiS pnKn+f(t)=1F(S)=K
8、iepiti=1nN(S)D(S)F(S)=bmSm+bm1Sm1+b1S+b0 anSn+an1Sn1+a1S+a0 =设设nm令令D(s)=anSn+an1Sn1+a1S+a0=0可得根为可得根为p1,p2,pn（1）D(S)有有n个实数单根个实数单根(S+1)(S+2)(S+3)S2+3S+5F(S)=S+1S+2S+31.532.5+=f(t)=1F(S)=1.5et3e2t+2.5e3t (t 0)(S+1)(S+2)(S+3)S2+3S+5F(S)=例：例：求求 的反变换的反变换S3+6S2+11S+6S2+3S+5F(S)=S+1S+2S+3K1K2K3+=K1=(S+1)F(S
9、)=(S+2)(S+3)S2+3S+5S=1=1.5K2=(S+2)F(S)=(S+1)(S+3)S2+3S+5S=2=3K3=(S+3)F(S)=(S+1)(S+2)S2+3S+5S=3=2.5f(t)=K1 ej e(+j)t+K1 ej e(j)t+=K1 e t ej(t+)+ej(t+)+=2 K1 e t cos(t+)+注意注意K1是虚部为正的极点对应的那个常数是虚部为正的极点对应的那个常数(a)复数根是共轭形式成对出现的复数根是共轭形式成对出现的F(S)=S(+j)K1+S(j)+K2 (b)与复数根对应的两个常数也互为共轭复数与复数根对应的两个常数也互为共轭复数K2=K1*K
10、1=K1 ej 令令K2=K1 ej 则则（2）D(S)除含实数单根外，还含有复数根除含实数单根外，还含有复数根例：例：求求 的反变换的反变换(S+2)2+4(S+1)S2+3S+7F(S)=F(S)=S+(2-j2)S+(2+j2)S+1K1K2K3+K1=S=2+j2S+(2+j2)(S+1)S2+3S+7=0.25ej90(S+2)2+4S2+3S+7K3=S=1=1 =0.5e2tcos(2t+90)+et t 0K2=S=2-j2S+(2-j2)(S+1)S2+3S+7=0.25ej-90 (t0)ooj90(-2+j2)tj-90(-2-j2)t-tf(t)=0.25ee+0.25
11、ee+e设含有设含有(s-p1)3的因式的因式求求K11、K12和和K13K13=(S p1)3 F(S)s=p1F(S)=S p1K11(S p1)2K12S pnKn+(S p1)3K13+S p2K213111223KKK=+(s+1)(s+1)(s+1)1313s=-1K=(s+1)F(s)3s+2F(s)=(s+1)例：例：221211s+2(s+1)F(s)=(s+1)s+2(s+1)F(s)=(s+1)K=?K=?（3）D(S)有重根有重根pi，含有，含有(s-pi)n的因式的因式132332n1111211121n3(sKK=K(s-p)+K(s-p)+(s-p)+.(s-p)
12、(s-p)sK-F(pp)s)22)112323212121231s=p121111s=p22nn123K(s-p)K(s-p)3K(s-p)K(s-p)=2K(s-p)+d(s-p)F(s)ds-.+-s-p(s-ps-p(s-p=KK2232)1122321212121s=p2222211111131s=p26K(s-p)3K(s-p)3K(s-p)K(s-p)=+-.s-p(s-p(s-p(s-p=2Kd(s-p)F(s)(3-1ds)!K2K1n-in11is=pn-id(s-p)F(s)1K=*(n-i)!dsn1n1s=p1K=(s-p)F(s)13111223KKK=+(s+1)
13、(s+1)(s+1)313s=-1K=(s+1)F(s)=13s+2F(s)=(s+1)例：例：312s=-1s=-1d(s+1)F(s)d(s+2)K=1dsds11*2223211s=-1s=-122d(s+1)F(s)d(s+2)K=0dsds-t2-t1f(t)=te+t e22311=+(s+1)(s+1)（讨论电路基本定律、分析法、（讨论电路基本定律、分析法、电路元件的电路元件的VCR方程的运算形式）方程的运算形式）获得复频域代数方程的途径获得复频域代数方程的途径时域电路时域电路微分方程微分方程(初始条件初始条件)频域频域(S)代数方程代数方程 频域电路频域电路（运算模型）（运算模
14、型）14-4 运算电路运算电路例：例：求图示电路的冲激响应求图示电路的冲激响应(t)1 1Fu+1F+1、电源的、电源的运算模型？运算模型？2、电路元件的、电路元件的运算模型？运算模型？3、列写方程所应用的、列写方程所应用的KVL、KCL的运算法形式？的运算法形式？各种电路分析法运算法形式？各种电路分析法运算法形式？以及各种电路定理的运算法形式？以及各种电路定理的运算法形式？1、KCL Ik(S)=02、KVL I1(S)+I2(S)I3(S)=0 I1(S)I3(S)I2(S)i1i3i2 Uk(S)=0一、一、KCL与与KVL的运算形式的运算形式电路元件模型的回顾电路元件模型的回顾时域时域
15、相量法相量法R LCRi(t)+-u(t)U=RIR+-IULi(t)+-u(t)u(t)=Ldi(t)dtu(t)=Ri(t)U=jLI+-jLUIi(t)=Cdu(t)dti(t)+u(t)C 1U=IjC+IU1jC二、电路元件的运算模型二、电路元件的运算模型(VCR关系关系)sLI(S)+-U(S)+-Li(0-)I(S)+U(S)u(0-)/S1sC+RI(S)+-U(S)R:L:C:U(S)=R I(S)U(S)=sL I(S)Li(0-)U(S)=I(S)+1sCu(0-)s1R,sL,sCR、L、C运算阻抗运算阻抗uS(t)、iS(t)R、L、C等元件等元件时域电路时域电路运算
16、电路运算电路(频域电路频域电路)US(S)、IS(S)运算阻抗运算阻抗(或导纳或导纳)和附加电源和附加电源 Ik(S)=0 Uk(S)=0 ik(t)=0 uk(t)=0U(S)=RI(S)U(S)=I(S)+1SCu(0-)SU(S)=SLI(S)Li(0-)u(t)=Ri(t)(R、L、C伏安关系伏安关系)电源电源电路电路基本定律基本定律电路元件电路元件VCR描述描述三、运算电路三、运算电路例例1 求图示电路的冲激响应求图示电路的冲激响应(t)1 1Fu+1F+结点电压方程结点电压方程 (2S+1)U(S)=SU(S)=S2S+1=1214(S+1/2)1U(S)+1S11S+电源电源电路
17、元件电路元件电路定律、分析法电路定律、分析法u(t)=1U(S)=(t)e 1214t2 (t)结点电压结点电压U(s)C-u(0)=014-5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路应用拉普拉斯变换法分析线性电路例例2100 F100+50viL+uck100 0.4HiL(0-)=0.25A uC(0-)=25v100+0.4SS50S25IL(S)+0.1104/S5025SIL(S)=+0.1S100+0.4s+104/SIL(S)=0.25S+62.5S2+250S+250000.25S+62.5(S+125)2+9375=A=|S=125+j96.80.25S+62.5S+125+j96.
18、8=0.204 52.2IL(S)=+AS+125j96.8AS+125+j96.8*iL(t)=0.408e125tcos(96.8t52.2)(t 0)100 F100+50viL+uck100 0.4HiL(0-)=0.25A uC(0-)=25vIL(S)=+0.204 52.2S+125j96.80.204 52.2S+125+j96.820 30 40V-+25HiL0.01FuC+-例例3 图示电路在开关闭合前处于稳态，图示电路在开关闭合前处于稳态，t=0时将开关闭合，时将开关闭合，求开关闭合后求开关闭合后uC(t)和和iL(t)的变化规律的变化规律。iL(0-)=0.8 A40
19、50uC(0-)=0.8 20=16 V(S3+5S2+4S)UC=16S2+80S+160UC(S)=16S2+80S+160S(S+1)(S+4)2020-+25SILUC+-+40S16S100S+-IL(S)=20S2+124S+20025S(S+1)(S+4)20 30 40V-+25HiL0.01FuC+-iL(0-)=0.8 A4050uC(0-)=0.8 20=16 V120125S(0.01S+)UC40S+2025S=0.16+IL(S)=20+40/S UC 25SUC(S)=16S2+80S+160S(S+1)(S+4)IL(S)=20S2+124S+20025S(S+
20、1)(S+4)UC=SA1S+1A2A3S+4+A1=UC(S)SS=0=16S2+80S+160(S+1)(S+4)S=0=40iL(t)=2 1.28et+0.08e4t t 0uC(t)=4032et+8e4t t 0A2=(S+1)UC(S)S=1=32A3=(S+4)UC(S)S=4=816S2+80S+160S(S+4)S=1=16S2+80S+160S(S+1)S=4=u1(0-)=15=9V 35u2(0-)=6V UOC(S)=+=9S6S3S例例4+15V10 2F2F3F3Fi+u2u1+9S6S12S13S12S13S6S9S+15S10 I(S)解法一、应用戴维南定理
21、解法一、应用戴维南定理+9S6S12S13S12S13S6S9S+15S+U0Ci(t)=0.3e0.04t 10 I(S)+3S25S13S12SZ0(S)=2 =13S12S+25S12S13S12S13SUOC(S)=3S+9S6S12S13S12S13S6S9S+15S10 I(S)I(S)=3S25S10+1550S+2312510(S+)15SU3(S)=(5S+0.1)U1 0.1U22S =18+18 S15 0.1U1+(5S+0.1)U23S =18+18 S15U1(S)=150S+7.5S(25S+1)U2(S)=S(25S+1)225S+7.5I(S)=0.1U1(S
22、)U2(S)=(25S+1)7.50.3(S+)125i(t)=1I(S)=0.3e0.04t (t0)解法二：节点分析解法二：节点分析+9S6S12S13S12S13S6S9S+15S123I(S)10 U1+R1R2+IS(S)R3SL+SC1 1SC2 1SU1(0)SU2(0)LiL(0)U2例例5 图示电路，设电源在图示电路，设电源在t=0时加入，此前各电容、电感的起始时加入，此前各电容、电感的起始 状态分别为状态分别为u1(0)、u2(0)和和iL(0),试对试对t 0,求求u2(t)。U1+R1R2U2+iS(t)R3LC1C2iLG1+G3+SC1 G3 G3 G2+G3+SC
23、2+SL 1U1U2=C2u2(0-)iL(0-)S1IS(S)+C1u1(0)U2(S)=IS(S)+C1u1(0)+C2u2(0)iL(0)S1 22(s)(S)12(s)(S)12(s)(S)U2(S)=IS(S)+12(s)C1u1(0)+22(s)C2u2(0)22(s)iL(0)S1 (S)U1+R1R2+IS(S)R3SL+SC1 1SC2 1SU1(0)SU2(0)LiL(0)U2电路元件的零状态运算形式电路元件的零状态运算形式运算模型零状态下运算模型RLCsLI(S)+-U(S)+-Li(0-)U(S)=sLI(S)Li(0-)RI(S)+-U(S)U(S)=RI(S)I(S
24、)+U(S)u(0-)/S1sC+U(S)=I(S)+1sCu(0-)ssLI(S)+-U(S)U(S)=sLI(S)RI(S)+-U(S)U(S)=RI(S)U(S)=I(S)1sCI(S)+U(S)1sC-i(0-)=0u(0-)=014-6 网络函数的定义网络函数的定义零状态响应的拉氏变换零状态响应的拉氏变换激励的拉氏变换激励的拉氏变换网络函数网络函数H(S)=一、网络函数定义一、网络函数定义CCU(s)H(s)=I(s)I(s)H(s)=I(s)驱动点驱动点UC(S)+11SI(s)IC(s)1UC(s)+1FI(s)iC(s)+U(s)CCI(s)H(s)=U(s)U(s)H(s)=
25、U(s)I(s)H(s)=U(s)驱动点导纳驱动点导纳电压转移函数电压转移函数转移导纳转移导纳驱动点阻抗驱动点阻抗电流转移函数电流转移函数二、网络函数的确定二、网络函数的确定1232112114L=1.5H,C=F,L=0.5H,R=13U(s)I(s)H(s)=,H(s)=U(s)U(s)网孔电流法：网孔电流法：Im1Im21m1m21223m2m12211(sL+)I-I-U(s)=0sCsC11(+sL+R)I-I=0sCsCC2u1(t)L1L3R+-u2(t)i1(t)i2(t)1/sC2U1(s)sL1sL3R+-U2(s)I2(s)I1(s)驱动点导纳驱动点导纳电压传递函数电压传
26、递函数232321m12312323(L s+R)(C L s+RC s+1)U(s)I=sL+RL s(C L s+RC s+1)-(sL+R)m213213212311I=U(s)L L C sRL C s+(L+L)sR2m213211U(s)RI1H(s)=U(s)U(s)s+2s2s1 21m123211I(s)I2s+4s+3H(s)=U(s)U(s)3s+6s+3s-3P327 14-3三、网络函数与冲激响应三、网络函数与冲激响应H(S)(Szi)i=1m(Spj)j=1n=H0C2u1(t)L1L3R+-u2(t)i1(t)i2(t)211321I(s)2s+4s+3H(s)=
27、U(s)3s+6s+3s-3=kjej=1npjt 冲激响应冲激响应h(t)=1H(S)当激励为冲激函数时，当激励为冲激函数时，H(s)为冲激响应的象函数为冲激响应的象函数当当11u(t)=(t),U(s)=11111I(s)=H(s)U(s)=H(s)冲激响应冲激响应-111i(t)=H(s)网络函数是复频率变量网络函数是复频率变量s的实系数有理函数的实系数有理函数H(s)=F1(s)F2(s)(szi)i=1m(spj)j=1n=H0bmsm+bm-1sm1+b1s+b0 ansn+an-1sn1+a1s+an=14-7 网络函数的极点和零点（网络函数的极点和零点（poles and ze
28、ros）21321U(s)1H(s)=U(s)s+2s2s1 212321I(s)2s+4s+3H(s)=U(s)3s+6s+3s-3常数常数H(S)=85.1 S(S+2)(S+4)(S+1j4)(S+1+j4)H(S)=85.1 S(S+2)(S+4)(S2+2S+17)4 2j4j40 j pj网络函数的极点网络函数的极点其中，其中，zi 网络函数的零点网络函数的零点s=+j s为变量为变量0 j 极点极点零点零点(szi)i=1m(spj)j=1n H014-8 极点、零点与冲激响应极点、零点与冲激响应H(S)(szi)i=1m(spj)j=1n=H0讨论：网络函数的极点对暂态响应波形
29、的影响讨论：网络函数的极点对暂态响应波形的影响即即p1,p2,pn对暂态响应波形的影响对暂态响应波形的影响 C R+iL+uc LuS R+IL(s)+uc(s)sLuS(s)1sC21H(s)=LCs+RCs+1网络函数网络函数2LCp+RCp+1=02CCCS2d u(t)du(t)LC+RC+u(t)=udtdtCCCu(t)=u+u()()()()特特解解通通解解CSu=u通解的特征方程为：通解的特征方程为：CSU(s)H(s)=U(s)网络函数的极网络函数的极点与特征根一点与特征根一致致稳态分量稳态分量 暂态分量暂态分量因此，网络函数对应于该电路的暂态分量，因此，网络函数对应于该电路
30、的暂态分量，反映其暂态过程的变化趋势。反映其暂态过程的变化趋势。一、以二阶一、以二阶RLC串联电路为例串联电路为例100 F100+iL+uc2.5H(t)1,2p=-40j60L+C+i(0)=0.4A,u(0)=0V2-4-2CCC2d udu2.5 10+10+u=0dtdt-40toC200u(t)=esin(60t-0)(t0)3100+2.5s IL(S)410s1+UC(s)C12U(s)4000H(s)=1s+40s+4000100100-jj33 =s+40-j60s+40+j6012p=-40+j60p=-40-j60-40to1200h(t)=ecos(60t-90)3极
31、点与特征值相同！极点与特征值相同！包络线包络线-40t200e320030t23uC-40toC200u(t)=esin(60t-0)(t0)312p=-40+j60p=-40-j6011Rep=-40Imp=60衰减因子衰减因子振荡角频率振荡角频率12p=-40+j60p=-40-j60讨论：讨论：11Rep=-40Imp=60衰减因子衰减因子振荡角频率振荡角频率(1)当当1Rep 1Rep 0,eh(t)发散发散0t23(2)当当1Rep 1Rep 0,eh(t)收敛收敛0t23(3)当当1Rep 1Rep=0,eh(t)等幅振荡等幅振荡0t23二、网络函数的极点与冲激响应二、网络函数的极
32、点与冲激响应0t0t0t0t0t0j =kjej=1npjth(t)=11 H(S)对于上述第一、二两种情况，网络是渐近稳定的；对于上述第一、二两种情况，网络是渐近稳定的；而对于第三种情况，网络是不稳定的。而对于第三种情况，网络是不稳定的。1、如果全部极点位于复平面的开左半平面如果全部极点位于复平面的开左半平面则则 t y(t)=0 2、除位于开左半平面的极点外除位于开左半平面的极点外,还含有在虚数还含有在虚数 轴上的单阶极点轴上的单阶极点则则 t y(t)=kcos(dt+)则则 t y(t)无界无界 三、网络函数的三、网络函数的极点和网络的稳定性极点和网络的稳定性3、极点中有的位于开右半平
33、面极点中有的位于开右半平面H(j)=UR.U.+-U.Rj C1j L+-UR.+-RSC1SL+-U(S)UR(S)H(S)=UR(S)U(S)RR+SL+SC1=j CRR+j L+1=+-RCL+-u(t)uR(t)L、C零状态零状态正弦稳态情况正弦稳态情况相量法相量法运算法运算法s=jH(j)=H(s)分析分析一、与对应正弦稳态响应的关系一、与对应正弦稳态响应的关系H(S)H(j)14-9 零点、极点和频率响应零点、极点和频率响应二、频率响应的概念二、频率响应的概念|H(j)|幅频特性（幅值函数）幅频特性（幅值函数）s=jH(j)=H(s)相频特性（相位函数）相频特性（相位函数）(j)
34、|(j zi)|i=1m|(j pj)|j=1n=H0|H(j)|)mniji=1j=1(j)=arg(j-z)arg(j-p 三、根据网络函数零点和极点的分布定性讨论频率响应三、根据网络函数零点和极点的分布定性讨论频率响应p=-31H(s)=s+3例例01|H(j)|=|j+3|1=0,|H(j)|=3l3131 (|H(j)|)lpj极点 与的长度l(j)=-arctg3|H(j)|0(j)0-43-/2幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：-3 j -(j)，pj极点 与的夹角,|H(j)0|z=-3H(s)=s+3例例0|H(j)|=|j+3|=0,|H(j)|=3l3 (|H(j)|)l zj零点 与的长度l(j)=arctg3|H(j)|0(j)043/2幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：-3oj3 (j)，zj零点 与的夹角,|H(j)|
