1、怎样有效地组织知识的复习怎样有效地落实思维能力的提高 石家庄教研员 王洁敏 一、知识的有效复习必须通过对知识的科学组织来实现1.对组织知识复习的再认识从知识的整个体系来看知识复习的组织从知识的功能与作用来看知识复习的组织 从知识的用法与实施来看知识复习的组织2.组织知识复习的例说举例一 几何计算及其功能几何计算的两条基本途径：通过解直角三角形；通过相似三角形几何计算的主要功能：解决某些几何图形相关问题，特别是与数量计算相关的问题；解决可化为几何图形的实际问题；是解决各种类型几何与代数综合题的基本工具题1如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直
2、线折叠，使A落在MN上，落点记为A，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则AN=;若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n2,且n为整数），则AN=（用含有n的式子表示）.（一）关于解直角三角形1直角三角形可解的条件及解法（略）2可化为解直角三角形的数学问题 A N M B C A D E题2如图所示，已知：点 在ABC内依次作等边三角形，使一边在 x轴上，另一个顶点在BC边上作出的等边三角形分别是第1个 ，第2个 ，第3个，则第n个等边三角形的边长等于 (0 0),(3 0),(01)ABC，11AAB122B A B233B A BOyx(A)A1C112BA
3、2A3B3B2B1ABDC题3公园里有一块形如四边形ABCD的草地，测得BC=CD=10米，B=C=120，A=45。请你求出这块草地的面积.3可转化为解直角三角形的实际问题题1如图，某人在山坡角A处测得电视塔尖点C的仰角为60沿山坡向上走到P处，再测得电视塔C的仰角为45,已知OA=100米，山坡坡度为 （即tanPAB=），且C、O、A、P在同一平面上，求电视塔OC的高度以及此人所在的位置P的垂直高度 1212山坡PAOCB二、关于相似三角形ABMFGDEC1相似三角形的基本图形（略）2.相似三角形的判定题1如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，DMEAB，且DM交AC于F，ME交
4、BC于G（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG，如果45，AB，AF3，求FG的长4 23相似三角形的计算功能题1如图，在边长为8的正方形ABCD中，P为AD上一点，且AP=5，BP的垂直平分线分别交正方形的边于点E、F，Q为垂足，则EQEF的值是（）A58 B513 C516 D38ABCDQPEF题2如图1、图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB（与地面平行）或绕定点P（固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持AP=AP，BP=BP）通过向下踩踏点A到A（与地面接触点）使点B上升到点B，与此同时传动杆BH运动到BH的位置，点H绕固定点D旋转（DH为旋转半
5、径）至点H，从而使桶盖打开一个张角HDH如图3，桶盖打开后，传动杆HB所在的直线分别与水平直线AB、DH垂直，垂足为点M、C，设HC=BM测得AP=6cm，PB=12cm，DH=8cm要使桶盖张开的角度HDH不小于60，那么踏板AB离地面的高度至少等于多少cm？（结果保留两位有效数字）（参考数据：21.4131.73，APBDHHBA（图2）APBDHHBAMC（图3）（图1）ACB DE题3如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡上已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在
6、坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，求塔高AB三.几何计算是几何与代数综合题的过渡桥梁题1 如图1，RtPMN中，P90，PMPN，MN8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上令RtPMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止设移动x秒后，矩形ABCD与PMN重叠部分的面积为ycm2AGDBFCOEH题2 已知：如图，等边三角形ABC的边长为6，点D，E分别在边AB，AC上，且AD=AE=2.若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的
7、时间为t秒当t0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O.（1）设EGA的面积为S，写出S与t的函数关系式；（2）当t为何值时，ABGH；（3）请你证明GFH的面积为定值；（4）当t为何值时，点F和点C是线段BH的三等分点.举例二 关于函数“函数”能力的三大支点：真正领会函数的意义；掌握并用好函数关系式的建立方法；运用好函数及其性质来解决实际与数学的相关问题一、领会好函数的意义题1如图（1）是某公共汽车线路收支差额y（票价总收入减去运营成本）与乘客量x的函数图象目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会乘客代表认
8、为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏公交公司认为：运营成本难以下降，公司已尽力，提高票价才能扭亏根据这两种意见，可以把图分别改画成图和图说明图中点A和点B的实际意义你认为图和图两个图象中，反映乘客意见的是，反映公交公司意见的是11BOx(万人)Ay(万元)图11.5111.5Ox(万人)y(万元)图1111.5Oy(万元)图x(万人)如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图中画出符合这种办法的y与x的大致函数关系图象二、掌握好函数关系式建立的方法用好“待定系数法”（例子略）用好“直接列式法”题1抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决
9、定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）路程（千米）路程（千米）运费（元运费（元/吨吨千米）千米）甲库甲库乙库乙库甲库甲库乙库乙库A库库20151212B库库2520108若甲库运往A库粮食x吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？用好等式导出法题1有一种考试对选择题作答时规定：选对一题得5
10、分，不选得0分，选错一题得2分，若共有选择题30道，某考试者选择题共得110分，设他答对的题数为x，不选的题数为y，求y与x的函数关系式题2预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元又若甲、乙商品每个均涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么买甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元求x、y的关系式；若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值三、恰当运用函数解决问题实际问题背景题1某县响应“建设环保节约型社会”的号召，决定资助
11、部分村镇修建一批沼气池，使农民用到经济、环保的沼气能源幸福村共有264户村民，政府补助村里34万元，不足部分由村民集资修建A型、B型沼气池共20个两种型号沼气池每个修建费用、可供使用户数、修建用地情况如下表：A B沼气池沼气池修建费修建费用用(万元万元/个个)可供使用户可供使用户数数(户户/个个)占地面积占地面积(m2/个个)型型32048型型236政府相关部门批给该村沼气池修建用地708m2设修建A型沼气池x个，修建两种型号沼气池共需费用y万元求y与x之间的函数关系式；不超过政府批给修建沼气池用地面积，又要使该村每户村民用上沼气的修建方案有几种；若平均每户村民集资700元，能否满足所需费用最
12、少的修建方案.从函数图象到实际问题题1某仓库甲、乙、丙三辆运货车，每辆车只负责进货或出货，每小时的运输量丙车最多，乙车最少，乙车的运输量为每小时6吨，下图是从早晨上班开始库存量y(吨)与时间x(小时)的函数图象，OA段只有甲、丙车工作，AB段只有乙、丙车工作，BC段只有甲、乙工作从早晨上班开始，库存增加2吨，需要几小时？问甲、乙、丙三辆车，谁是进货车，谁是出货车？若甲、乙、丙三车一起工作，一天工作8小时，仓库的库存量有什么变化？题2一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为y(mk)，图中的折线表示y与x之间的函数关系根据图象进行
13、以下探究：信息读取甲、乙两地之间的距离为 km；请解释图中点B的实际意义；图象理解求慢车和快车的速度；求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；问题解决若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？ABCDOy/km90012 x/h4题1如图，已知直角梯形ABCD中，ADBC，B=90，AB=12cm，BC=8cm，DC=13cm，动点P沿ADC的路线以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿BC线路以1cm/秒的速度向C运动P，Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达
14、C点时，另一点也随之停止设运动时间为t秒，PQB的面积为ycm 求AD的长及t的取值范围；求y关于t的函数关系式，并具体描述在P、Q运动过程中，PQB的面积随t变化而增大或减小的情况举例三几何与代数综合题一、图形引入动点形成的函数与方程问题ABCDPQ题2如图，在等腰梯形ABCD中ABDC AD=8cm，CD=2cm,AD=6cm点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发，以每秒1cm的速度沿CD,DA向终点A运动（P，Q两点中，有一个点运动到终点时，所有运动即终止）设P，Q同时出发并运动了t秒 当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时，求t的值；试问是否存在这样的t，
15、使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由ABCDQP二、图形引入变换形成的数量关系（一）图形的平移变换形成的数量关系题1如图所示，一张三角形纸片ABC，ACB=90，AC=8，BC=6沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成AC1D1和BC2D2两个三角形（如图所示）将纸片AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一条直线上），当点D1与点B重合时，停止平移在平移的过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2，BC2分别交于点F，P ADBC图AD1D2BC1C2图AD1D2EC1C2图PFBx 当AC1D1平移到
16、如图所示的位置时，猜想图中D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；设平移距离D2D1为x，AC1D1与BC2D2重叠部分的面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量x的取值范围；对于中结论是否存在这样的x，使得重叠部分面积等于原ABC纸片面积的，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由 14（二）图形的轴对称变换形成的数量关系题1如图，在锐角ABC中，BC=9，AHBC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DEBC，交AC于点E设ADE的高AF为x(0 x6)，以DE为折线将ADE翻折，所得的ADE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（点A关于DE的对称点A落在AH所在的
17、直线上）分别求出当0 x6 时，y与x的函数关系式；当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？AEFDABCH题1如图，桌面内，直线l上摆放着两个大小相同的直角三角板，它们中较小的直角边的长为6cm，较小锐角的度数为30 将ECD关于直线AC对称到图形（a）的位置，ED与AB相交于点F，请证明：AF=FD；将ECD沿直线l向左平移到图(b)的位置，使E点落在AB上，你可以求出平移的距离，试试看；将ECD绕点C逆时针方向旋转到图(c)的位置，使E点落在AB上，请求出旋转角的度数（三）图形的旋转变换形成的数量关系BCADElBCADElDF图(a)BCADElCF图(b)DEBCADEl图(c)E题
18、1如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点Q从A点出发沿AB向终点B运动两点同时出发，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了xs 求Q点的坐标；（用含x的代数式表示）若记APQ的面积为S，请写出S与x的函数关系式；当x为何值时，APQ是一个以AP为腰的等腰三角形？三、图形置于坐标系形成的数量关系问题（一）坐标系里的图形引入动点形成的数量关系yxBPOAQ（二）坐标系里的图形变换形成的数量关系例1如图，等腰直角三角形纸片ABC中，ACBC4，ACB90，直角边AC在x轴上，B点在第二象限，A（1，0），AB交y轴于E，将纸片过E点折叠使BE与
19、EA所在直线重合，得到折痕EF（F在x轴上），再展开还原沿EF剪开得到四边形BCFE，然后把四边形BCFE从E点开始沿射线EA平移，至B点到达A点停止.设平移时间为t（s），移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE与AEF重叠的面积为S求折痕EF的长；是否存在某一时刻t使平移中直角顶点C经过抛物线y=x2+4x+3的顶点？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围.OCxAC1F1E1B1BFEy四、图象与图形相结合形成的数量关系问题（一）函数图像与几何图形结合形成的数量关系例1在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点 162
20、yx 直接写出B、C两点的坐标；直线y=x与直线 交于点A，动点P从点O沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒（即OP=t）.过点P作PQ轴交直线BC于点Q162yx xOCBAPQMNyx 若点P在线段OA上运动时（如图），过P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，设矩形PQMN的面积为S，写出S和t之间的函数关系式，并求出S的最大值 若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t为何值时,过P、Q、O三点的圆与x轴相切.xOCBAPQMNy（二）函数图象与几何图形变换结合形成的数量关系题2如图1721所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BO在x轴的负半轴上，边
21、OC在y轴的正半轴上，且AB=1，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A，E，D3OB 判断点E是否在y轴上，并说明理由；求抛物线的函数表达式；在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由yxODECFAB二、思维能力的提高必须通过科学的引导过程来落实题1.如图，在平面直角坐标系xOy中，ABC三个顶点的坐标分别为A(6,0)，B(6,0)，C(0,）延长AC
22、到点D,使CD=AC，过点D作DEAB交BC的延长线于点E.4 312（1）求D点的坐标；（2）作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若过B点的直线ykxb将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线ykxb与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）BCAE1E2E3D4D1D2D3题2如图，已知RtABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1AC于E1，连结
23、BE1交CD1于D2；过D2作D2E2AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3AC于E3，如此继续，可以依次得到点D4，D5，Dx，分别记BD1E1，BD2E2，BD3E3，BDn En的面积为S1，S2，S3，Sn.则Sn=_ SABC（用含n的代数式表示）.题3 已知：如图所示，直线MANB，MAB与NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，中的结论是否成立？如果成立，请
24、证明：如果不成立，请说明理由；当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系ABEDCMNlABEDCMNlABCMNABCMN图1图2备用图备用图题4如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D(3,0)和点E(0,4)动点C从点M(5,0)出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动设运动时间为t秒（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；（2）以点C为圆心、个单位长度为半径的 C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB当 C与射线DE有公共点时，求t的取值范围；当PAB为等腰三角形时，求t的值12tOxyEPDABMC
