1、2.7.1抛物线的标准方程核心素养 1.知道抛物线的定义,能推出抛物线的标准方程.(逻辑推理)2.能根据条件,求出抛物线的标准方程.(数学运算)3.能利用抛物线方程解决一些相关实际问题.(直观想象、数学建模)思维脉络激趣诱思知识点拨我们把一根直尺固定在图板上直线l的位置,把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A,取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖扣着绳子,使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲线.这就是本节我们要学习的
2、抛物线,这条曲线上的点有什么特征?激趣诱思知识点拨1.抛物线的定义 激趣诱思知识点拨微思考(1)定义中为什么加上条件“l不经过F”?提示:若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直于l的直线,而不是抛物线.(2)抛物线的图形是双曲线的一支吗?提示:不是.当抛物线上的点趋向于无穷远时,图像的切线接近于和x轴平行;而双曲线上的点趋向于无穷远时,图像的切线接近于与渐近线平行.抛物线没有渐近线;从方程上看,抛物线的方程与双曲线的方程有很大差别.激趣诱思知识点拨2.抛物线的标准方程 激趣诱思知识点拨激趣诱思知识点拨微练习(1)抛物线的准线为x=-4,则抛物线的方程为()A.x2=16y B.
3、x2=8y C.y2=16xD.y2=8x答案:C(2)抛物线y2=4x上的点M(4,y0)到其焦点F的距离为()A.3 B.4C.5 D.6答案:C 激趣诱思知识点拨微判断(1)抛物线的焦点到准线的距离是p.()(2)抛物线的开口方向由一次项确定.()答案:(1)(2)微思考二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像是抛物线,那么抛物线对应的方程一定是二次函数吗?提示:抛物线对应的方程不一定是二次函数.如y2=4x是抛物线,但不是函数,更不是二次函数.探究一探究二探究三素养形成当堂检测求抛物线的标准方程求抛物线的标准方程例1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.(1)经过点(-3,-1);(
4、2)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.探究一探究二探究三素养形成当堂检测探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2.注意事项:当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m0)或x2=ny(n0),这样可以减少讨论情况的个数.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练1根据下列条件求抛物线的标准方程:(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2);(2)焦点在x轴负半轴上,焦点到准线的距离是5.解:(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且 =2,所以p=4,所以,所求抛物线的标准方程是x2=-8y.(2)由焦点到准线的距离为5,知p=5,
5、又焦点在x轴负半轴上,所以,所求抛物线的标准方程是y2=-10 x.探究一探究二探究三素养形成当堂检测抛物线定义的应用抛物线定义的应用例2(1)已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求此时P点坐标.探究一探究二探究三素养形成当堂检测(2)已知动圆M经过点A(3,0),且与直线l:x=-3相切,求动圆圆心M的轨迹方程.解:设动点M(x,y),M与直线l:x=-3的切点为N,则|MA|=|MN|,即动点M到定点A和定直线l:x=-3的距离相等,点M的轨迹是抛物线,且以A(3,0)为焦点,以直线l:x=-3为准线,=3,p=6,故动
6、圆圆心M的轨迹方程是y2=12x.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 1.抛物线的定义在解题中的作用,就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离进行转化,另外要注意平面几何知识的应用,如两点之间线段最短,三角形中三边间的不等关系,点与直线上点的连线垂线段最短等.2.解决轨迹为抛物线问题的方法抛物线的轨迹问题,既可以用轨迹法直接求解,也可以先将条件转化,再利用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件,有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件.探究一探究二探究三素养形成当堂检测延伸探究 若将例2(1)中的点A(
7、3,2)改为点(0,2),求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练2已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程.解:设动圆圆心为M(x,y),半径为r,由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等.由抛物线的定义可知,动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y.探究一探究二探究三素养形成当堂检测抛物线的实际应用抛物线的实际应用例例3河上有一抛物线形拱桥河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶当水面距拱桥顶5 m时时,水面宽为
8、水面宽为8 m,一小船宽一小船宽4 m,高高2 m,载货后船露出水面上的部分高载货后船露出水面上的部分高0.75 m,问问:水面水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少时上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少时,小船开始不能通航小船开始不能通航?探究一探究二探究三素养形成当堂检测解:如图,以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立平面直角坐标系.又知船露出水面上的部分高为0.75 m,所以h=|yA|+0.75=2(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时,小船开始不能通航.探究一探究二探究三素养形成当堂检测反思感悟 首先确定与实际问题相匹配的数学模型是解决问题的关键.此问题中
9、拱桥是抛物线型,因此可考虑利用抛物线的有关知识解决此问题,其操作步骤可概括为:(1)建系:建立适当的坐标系.(2)假设:设出合适的抛物线标准方程.(3)计算:通过计算求出抛物线的标准方程.(4)求解求出需要求出的量.(5)还原:还原到实际问题中,从而解决实际问题.探究一探究二探究三素养形成当堂检测变式训练3如图中,抛物线形拱桥的跨度是20米,拱高是4米,在建桥时,每隔4米需要用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长度.解:建立如图所示的直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p0),探究一探究二探究三素养形成当堂检测求解曲线的轨迹方程求解曲线的轨迹方程案例 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到
10、y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.分析二结合题意动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,因此分情况讨论:当x0时,直线y=0(x0)上的点适合条件;当x0时,可以看作是点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P在以点F为焦点,x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y2=4x(x0).探究一探究二探究三素养形成当堂检测(方法二)由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,则当x0时,直线y=0(x0).当水面离拱顶2 m时,水面宽2 m,则B(1,-2).代入抛物线方程可得12=-2p(
11、-2),解得答案:B探究一探究二探究三素养形成当堂检测4.与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是.解析:由圆(x-2)2+y2=1可得,圆心F(2,0),半径r=1.设所求动圆圆心为P(x,y),过点P作PM直线l:x+1=0,M为垂足.则|PF|-r=|PM|,可得|PF|=|PM|+1.因此可得,点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线l:x=-2的距离相等的点的集合.由抛物线的定义可知,点P的轨迹是抛物线,定点F(2,0)为焦点,定直线l:x=-2是准线.抛物线的方程为y2=8x.答案:y2=8x探究一探究二探究三素养形成当堂检测5.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是.解析:如图所示,动点P到l2:x=-1的距离可转化为到点F的距离,由图可知,距离和的最小值,即F到直线l1的距离答案:2探究一探究二探究三素养形成当堂检测6.根据下列条件分别求出抛物线的标准方程.(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5.(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.
