1、1 2020 届高三年级届高三年级 3 月线上调研月线上调研 理科数学试题理科数学试题 全卷满分全卷满分 150 分，考试用时分，考试用时 120 分钟分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、学生号填写在答题卡上。 2作答时，务必将答案写在答题卡指定的位置，书写要工整清晰。 3考试结束后，5 分钟内将答题卡拍照上传到考试群中。 第 I 卷 选择题（共 60 分） 一、选择题一、选择题( (本大题共本大题共 1212 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。题目要
2、求的。) ) 1. 已 知 全 集 2 |560,|12 UxZxxAxZx ， 2,3,5B ， 则 A. 2,3,5 B. 3,5 C. 2,3,4,5 D. 3,4,5 2.已知复数 13 22 zi ，则|zz（ ） A 13 22 i B 13 22 i C 13 22 i D 13 22 i A. 60 B. 90 C. 120 D. 150 4.已知某口袋中有 3 个白球和a个黑球（ * aN），现从中随机取出一球，再换回一个不 同颜色的球 （即若取出的是白球， 则放回一个黑球； 若取出的是黑球， 则放回一个白球） ， 记换好球后袋中白球的个数是若 3E ，则D= ( ) A.
3、1 2 B. 1 C. 3 2 D. 2 5.设函数 f x为偶函数，且当0,2x 时 2sinf xx ，当 2,x时 2 logf xx ， 2 则 4 3 ff （ ） A. 32 B. 32 C. 3 D. 2 6.我国古代数学名著九章算术对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语 可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指 底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱 111 ABCA B C ，其中ACBC，若 1 2AAAB ，当“阳马”即四棱锥 11 BA ACC 体积 最大时，“堑堵”即三棱柱 111 ABCAB
4、C 外接球的体积为（ ） A. 4 2 3 B. 8 2 3 C. 16 3 D. 4 3 7.函数 sin(0)f xx 的图象向左平移（0 ）个单位后关于 4 x 对称，且 两相邻对称中心相距 2 ，则函数 2sing xx在 , 6 3 上的最小值是（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 2 8.抛物线 2 2ypx（ 0p ）的焦点为F，其准线经过双曲线 22 22 1 xy ab ( 0,0)ab 的 左焦点， 点M为这两条曲线的一个交点， 且MFP， 则双曲线的离心率为 （ ） A. 2 B. 2 2 C. 21 2 D. 21 3 9.已知数列 n a的前n项和为 n S ，
5、且 1 1 4 2 n n a ，若对任意 * Nn，都有 143 n p Sn成立，则实数p的取值范围是（ ） A. 2,3 B. 2,3 C. 9 2, 2 D. 9 2, 2 10.函数的图象大致为 11.若函数的图象在 x1 处的切线与圆 x2y21 相切，则 ab 的最大值是( ) A. 4 B. 2 C. 2 D. 12.将余弦函数 cosf xx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3倍（横坐标不变）， 再将所得到的图象向右平移 2 个单位长度，得到函数 g x的图象.若关于x的方程 fxg xm在0,内有两个不同的解，则实数m的取值范围为（ ） A. 1,2 B. 1,2 C.
6、2,2 D. 1,2 第 II 卷 非选择题（共 90 分） 二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 4 4 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2020 分分) ) 4 13. 6 11xx的展开式中 2 x的系数为_ 14.函数 log1 x a f xax在0,1上的最大值和最小值之和为a，则a的值为_。 15.将正整数 12 分解成两个正整数的乘积有1 12， 2 6， 3 4三种，其中3 4是这三 种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3 4为 12 的最佳分解.当 pq （p q 且 * ,Np q）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数 f nqp，例如124 3
7、1f . 数列 3nf 的前 100 项和为_ 16.已知在直三棱柱 111 ABCA B C 中， ABC为等腰直角三角形， 4ABAC， 1 AAa ，棱 1 BB的中点为E，棱 11 BC的中点为F，平面AEF与平面 11 AACC的交线与 1 AA 所成角的正切值为 2 3 ，则三棱柱 111 ABCABC 外接球的半径为_ 三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 6 6 小题小题, ,共共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) ) （一）必考题：（一）必考题：6060 分。分。 17. （本题满分（本题满分 1212
8、 分分） 已知ABC中， 内角 , ,A B C所对的边分别为, ,a b c， 其中 10a ， coscos cos2 sin cosbBACaBC （1）若4c ，求sinA的值； （2）若AB边上的中线长为 26 2 ，求ABC的面积. 18. （ 本 题 满 分（ 本 题 满 分1212分分 ） 四 棱 锥SA B C D中 ， ADBC， ,BCCD 0 60SDASDC ， ADDC 11 22 BCSD， E为SD的中点. 5 （1）求证：平面AEC 平面ABCD； （2）求BC与平面CDE所成角的余弦值. 19. （本题满分（本题满分 1212 分分）“微信运动”已成为当下热
9、门的运动方式，小王的微信朋友圈内 也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的 40 人（男、女各 20 人），记 录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下： 步数 性别 0-2000 2001-5000 5001-8000 8001-10000 10000 男 1 2 3 6 8 女 0 2 10 6 2 2 0 P Kk 0.10 0.05 0.025 0.010 0 k 2.706 3.841 5.024 6.635 附： 2 2 , n adbc K abcdacbd （1）已知某人一天的走路步数超过 8000 步被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠 型”，根据题意完成下面的2
10、 2列联表，并据此判断能否有 95%以上的把握认为“评定 类型”与“性别”有关？ 积极型 懈怠型 总计 男 女 总计 （2）若小王以这 40 位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步 6 数的概率分布， 现从小王的所有微信好友中任选 2 人， 其中每日走路不超过 5000 步的有 X人，超过 10000 步的有Y人，设XY，求的分布列及数学期望. 20. （本题满分（本题满分 1212 分分）已知 1 F， 2 F分别是椭圆E： 22 22 1 xy ab （0ab）的左、右 焦点，离心率为 1 2 ， M， N分别是椭圆的上、下顶点， 22 2MF NF （1）求椭圆E的方
11、程； （2）过0,2P作直线l与E交于A， B两点，求三角形AOB面积的最大值（O是坐标 原点） 21. （本题满分（本题满分 1212 分分）已知函数 ln11f xxxaxax （）若 f x在1,上是减函数，求实数a的取值范围. （）若 f x的最大值为2，求实数a的值. （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在分。请考生在 2222、2323 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的题中任选一题作答，如果多做，则按所做的 第一题计分。第一题计分。 22. （本题满分（本题满分 1010 分分）【选修 44：坐标系与参数方程】 已知直线l的参数方程为 ( xt t yat
12、为参数)以原点为极点， x轴的正半轴为极轴，建 立极坐标系, 圆C的极坐标方程为 4cos . （）求直线l与圆C的普通方程； （）若直线l分圆C所得的弧长之比为3:1，求实数a的值 23. （本题满分（本题满分 1010 分分）【选修 45：不等式选讲】 已知函数 241f xxx, （）解不等式 9f x ； （）若不等式 2f xxa的解集为A， 2 |30 Bxxx ，且满足BA，求实数 a的取值范围. 7 参参考考答案答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B B B B B D B D D A 13.9 14. 1 2 15. 50 31 1
13、6.2 3 17.(1) 2 sin 2 A (2) 4S 解：（1）依题意， coscos cos2 sin cosbBACaBC， 故coscos cos2 sin cosbBACbAC，所以coscos cos2sin cosBACAC， 所以coscos cos2sin cosA CACAC， 即cos cossin sincos cos2sin cosACACACAC， 即sin sin2sin cosACAC，因为sin0A，所以tan2C ，故 2 5 sin 5 C ， 可得 2 5 10 sin2 5 sin 42 aC A c ； （2）记AB边上的中线为 CD，故 2CA
14、 CBCD ， 所以 2 222 4=+2CDCA CBCACBCA CB， 结合（1）可知 5 cos 5 C ，解得 2 2CA ， 所以ABC的面积 12 5 102 24 25 S . 18. 解 ： （ 1 ） 设O为AC的 中 点 ， 连 接 ,E OD OE， 为SD的 中 点 ， 8 0 1 ,60 2 ADDCSDSDASDC ， .EDECADDC 则EOAC， / /,ADBC BCCD .A DC D 又ODOAOC， EOCEOD，从而EOOD， ACABCD DO面ABCD 0A CD O， EO面ABCD EO面AEC， 面EAC 面ABCD . （2）设F为CD
15、的中点,连接OFEF、,则OF平行且等于 1 2 AD , ADBC， EFBC,不难得出CD面OEF（EOCD FOCD）, 面ECD面OEF, OF在面ECD射影为EF， EFO的大小为BC与面ECD改成角 的大小,设ADa， 则 2 a OF ， 3 2 EFa 3 3 OF cosEFO EF ,即BC与ECD改成角 的余弦值为 3 3 . 19. 解：（1） 积极型 懈怠型 总计 男 14 6 20 女 8 12 20 总计 22 18 40 9 2 2 4014 126 840 3.841, 20 20 22 1811 K 故没有 95%以上的吧我认为二者有关 （2）由题知，小王的
16、微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过 5000 步的概率为 1 8 ， 超过 10000 步的概率为 1 4 ， 且当0XY或1XY时， 1 2 551129 0, 888464 PC； 当 1,0XY 或 0,1XY 时， 11 22 151530 1, 884864 PCC； 当 2,0XY 或 0,2XY 时， 22 115 2, 4864 P ； 即的分布列为 0 1 2 P 29 64 30 64 5 64 可得期望 5 8 E 20.（1） 22 1 43 xy ；（2）3 解：（1）由题知， 2 ,0F c ， 0,Mb， 0,Nb， 22 22 2MF NFcb， 22 2
17、2ab ， 1 2 c e a ， 1 2 ca， 2222 3 4 baca， 联立解得 2 4a ， 2 3b ，椭圆E的方程为 22 1 43 xy （2）设 11 ,A x y ， 22 ,B x y ，显然直线AB斜率存在，设其方程为 2ykx ， 代入 22 34120xy，整理得 22 341640kxkx ， 则 2 2 164 4 340kk ，即 2 1 4 k ， 12 2 16 34 k xx k ， 12 2 4 34 x x k ， 2 2 1212 14ABkxxx x 2 2 22 164 14 3434 k k kk 10 22 2 2 48141 43 kk
18、 k ， 所以O到l的距离 2 2 1 d k ， 所以三角形AOB面积 22 2 2 2 48141 12 2 143 kk S k kk 2 2 2 3 41 4 43 k k ， 设 2 410tk ，所以 2 333 4443 16 164 8 28 t S t t t t t t ， 当且仅当 16 t t ，即4t ，即 2 414k ，即 5 2 k 时取等号， 所以AOB面积的最大值为3 21.() 2a；() 2a . 解： （） ln220fxxaxa 在1,恒成立； 2ln 12 x a x 在1,恒成立； 设 2ln ,1, 12 x g xx x ，则 2 1 22l
19、n 1 2 x x gx x ，由1x得： 0gx ； g x在1,上为增函数1x， g x有最小值 12g . 2a； （）注意到 12f，又 f x的最大值为2，则 10 f 202aa ； 下面证明： 2a 时， 2f x ，即 ln21210f xxxxx , 1 ln230xx x ； 11 设 1 ln23,0,h xxxx x ； 2 222 21 11121 2 xxxx h x xxxx . 0,10xh xh x 在0,1上为增函数； 1,0xh xh x 在1,上为减函数； 1xh x 有最大值 10h； 10h xh ln21210f xxxxx 2a 适合题意. 22
20、.() 0xya ；() 0a或4a. 解： （）由题意知： 222 4cos4 cos40xxy， 0 xt xyaxya yat ； （） 2 222 4024xxyxy； 直线l分圆C所得的弧长之比为3:1，则弧所对的圆心角为 90，可得弦长为2 2； 2 22dr ； 2 20 2 a da 或4a. 23.（） 2,4 ；（） 5a. 解析： （） 9f x 可化为2419xx 2 339 x x ，或 12 59 x x ，或 1 339 x x ； 24x，或12x ，或21x ； 12 不等式的解集为2,4； （）易知0,3B ； 所以BA，所以2412xxxa在0,3x恒成立； 241xxa在0,3x恒成立； 1241xaxxa 在0,3x恒成立； 30,3 350,3 axx axx 在恒成立 在恒成立 0 5 5 a a a
