1、振动振动物体在平衡位置附近往返运动叫做振动，或机械运动物体在平衡位置附近往返运动叫做振动，或机械运动概念：振动概念：振动琴弦琴弦晶格振动晶格振动钟摆钟摆波是振动的传播，机械振动的传播即波是振动的传播，机械振动的传播即机械波机械波。振动并不限制在机械运动范围。交流电路中，电流与振动并不限制在机械运动范围。交流电路中，电流与电压围绕着一定数值往复变化，也是一种振动。电压围绕着一定数值往复变化，也是一种振动。简谐振动简谐振动 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动.简谐振动简谐振动复杂振动复杂振动合成合成分解分解xo 弹簧振子的振动弹簧振子的振动简谐振动简谐振动AA00 xFm0lk 质点在某位置
2、所受的力（或沿运动方向受的力）等质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于零，则此位置称为平衡位置。若作用于质点的力总与于零，则此位置称为平衡位置。若作用于质点的力总与质点相对于平衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，质点相对于平衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则此作用力称为线性回复力。且指向平衡位置，则此作用力称为线性回复力。质点在质点在线性线性回复力作用下围绕平衡位置的运动，叫回复力作用下围绕平衡位置的运动，叫做简谐振动。做简谐振动。20km令令 xxFu vm 弹簧振子的运动分析弹簧振子的运动分析2202ddxxt 得得20ax 即即omakxF具有加速度具有加
3、速度 与位移的大小与位移的大小x成正比成正比,而而方向相反特征的振动称为方向相反特征的振动称为简谐振动简谐振动a2202d0dxxt简谐运动的动力学方程简谐运动的动力学方程简谐振动的运动学简谐振动的运动学2202d0dxxt的解的解0cos()xAt由于由于000cos()sin()sin()2ttt所以所以0sin()xAt也满足其运动规律。正弦和余弦也满足其运动规律。正弦和余弦函数都是周期函数，因此简谐振动是围绕平衡位置的周函数都是周期函数，因此简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。期运动。简谐振动的判据简谐振动的判据1.判断合外力（或合外力矩）与物体离开平衡位判断合外力（或合外力矩）与物体离
4、开平衡位置的位移（或角位移）是否成置的位移（或角位移）是否成F=-kx的形式。的形式。2.判断位移与时间是否满足微分方程：判断位移与时间是否满足微分方程：0222xdtxd3.根据物体的运动是否满足方程：根据物体的运动是否满足方程：)cos(tAxl转转动动正正向向动力学分析动力学分析：OAm 一一 单摆单摆sinFmg 总指向总指向 平衡位置平衡位置0当当 很小时，很小时，35sin3!5!Fmg 22ddgtL Fmg 22()dLmgmdt令令20gL2202d0dt 思考思考:在匀加速上升的电梯中有一悬挂的摆在匀加速上升的电梯中有一悬挂的摆,角位移很小时角位移很小时,是否可以看成是简谐
5、振动是否可以看成是简谐振动?练习：练习：1.弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明弹簧下面悬挂物体，不计弹簧质量和阻力，证明在平衡位置附近的振动是简谐振动在平衡位置附近的振动是简谐振动证证 货轮处于平衡状态，货轮处于平衡状态，如图（如图（a)a)，浮力大小为，浮力大小为F=mgF=mg，当船上下作微小振，当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点时的质心位置为坐标原点O O，竖直向下为，竖直向下为x x轴正向，轴正向，如图（如图（b)b)所示，则当货轮所示，则当货轮向下偏移向下偏移x x位移时，受合位移时，受合外力为外力为FPF2.2.一远洋货轮，质
6、量为一远洋货轮，质量为m m，浮在水面时其水平截，浮在水面时其水平截面积为面积为S S。设在水面附近货轮的水平截面积近似。设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为相等，水的密度为，且不计水的粘滞阻力，且不计水的粘滞阻力，证货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简证货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动谐运动,并求振动周期。并求振动周期。FPC(a)PCFxox(b)gSxmgF其中其中FF为此时货轮所受浮力，为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为其方向向上，大小为则货轮所受合外力则货轮所受合外力kxgSxFPF式中式中k=gSk=gS为常数，货轮作简谐运动为常数，货轮作简谐运动02
7、2xmgSdtxd由由 可得货轮运动的微分方程为可得货轮运动的微分方程为22/dtxmdF 令令 ，可得其振动周期为可得其振动周期为mgS/2gSmT/2/2FPC(a)PCFxox(b)证证 设物体平衡时两弹簧伸长分别设物体平衡时两弹簧伸长分别为为x1x1、x2x2，则物体受力平衡，有，则物体受力平衡，有)1(sin2211xkxkmg)2()(sin)(sin111222xxkmgxxkmgF按图（按图（b b）所取坐标，物体沿）所取坐标，物体沿x x轴移动位移轴移动位移x x时，两弹簧又分别时，两弹簧又分别被拉伸被拉伸x1 x1 和和x2x2，即，即x=x=x1+x2,x1+x2,则物体
8、受力为则物体受力为 例例33如图如图(a)(a)所示，两个轻弹簧的劲度系数分别所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为为k1k1和和k2k2，物体在光滑斜面上振动。（，物体在光滑斜面上振动。（1 1）证明其）证明其运动仍是简谐运动；（运动仍是简谐运动；（2 2）求系统的振动频率。）求系统的振动频率。kxxkkkkF2121将式（将式（1 1）代入式（）代入式（2 2）得）得)3(2211xkxkF式中式中 为常数，则物体作简谐运为常数，则物体作简谐运动，振动频率为动，振动频率为)/(2121kkkkkmkkkkmk)/(212122121讨论讨论:斜面倾角对弹簧作简谐运动及斜面倾角对弹簧作简谐运动及振
9、动的频率均不产生影响。振动的频率均不产生影响。由式（由式（3 3）得）得 而而x=x1+x2,x=x1+x2,，则得到，则得到)/,/2211kFxkFx0cos()xAt（1）周期、频率和圆频率）周期、频率和圆频率 物体做简谐振动周而复始完全振动一次所需的时物体做简谐振动周而复始完全振动一次所需的时间叫做简谐振动的周期。间叫做简谐振动的周期。00cos()cos()AtAtT余弦函数的周期为余弦函数的周期为 ,故故202T即即02T对于弹簧振子，对于弹簧振子，20km2mTk对于单摆，对于单摆，20gL周期和频率仅与振动系周期和频率仅与振动系统统本身本身的物理性质有关的物理性质有关2LTg(
10、2)振幅振幅 物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值叫振幅。叫振幅。(3)相位和初相位相位和初相位为了明确简谐振动任意时刻的运动状态，即任意瞬时为了明确简谐振动任意时刻的运动状态，即任意瞬时的位移和速度，必须清楚以下一些系数的位移和速度，必须清楚以下一些系数0cos()xAtA0我们把时间我们把时间t的线性函数的线性函数 叫做简谐振动的叫做简谐振动的相位，相位，为初相位。为初相位。0t初相位由初始条件决定，初相位由初始条件决定，000,xxtxx vv000cossinxxAvA 0cosxA00sinxvA 000tanxvx 任意两式可
11、以决定初相位任意两式可以决定初相位例：质点按例：质点按 做简谐振动，求相位做简谐振动，求相位等于等于 ，这些瞬时质点的运动状态如何？，这些瞬时质点的运动状态如何？0cos()xAt0,22例：例：P291，例题，例题2 两同频简谐振动相位差为零或两同频简谐振动相位差为零或2的整数倍，振动步的整数倍，振动步调相同；好像行军时人人手臂同步挥动；若相位差是调相同；好像行军时人人手臂同步挥动；若相位差是或或的奇数倍，就好像一人走路时两臂朝反相的方向前后的奇数倍，就好像一人走路时两臂朝反相的方向前后摆动。摆动。例：例：P292，例题，例题3cos0A2 0,0,00vxt已已知知 求求讨论讨论xvo)2
12、 cos(tAxtx图图AA xT2Tto0sin0Av0sin取取2简谐振动的简谐振动的x-t图线和相轨迹图线和相轨迹质点坐标和速度建立的坐标系，称为相平面。其上一点质点坐标和速度建立的坐标系，称为相平面。其上一点给出质点在某时刻的运动状态；随时间的推移，质点运给出质点在某时刻的运动状态；随时间的推移，质点运动状态在相平面上的代表点移动而画出曲线，称相轨迹动状态在相平面上的代表点移动而画出曲线，称相轨迹或相图。或相图。0cos()xAt00sin()xvAt 22220 xvxA相轨迹为椭圆相轨迹为椭圆旋转矢量旋转矢量 自自Ox轴的原点轴的原点O作一矢量作一矢量 ，使使它的模等于振动的它的模
13、等于振动的振幅振幅A，并使矢量并使矢量 在在 Oxy平面内绕点平面内绕点O作作逆时针逆时针方向的方向的匀角速转动，其角匀角速转动，其角速度速度 与振动频率与振动频率相等，这个矢量就相等，这个矢量就叫做叫做旋转矢量旋转矢量.Au vAu v)cos(tAx 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动为简谐运动动.xAu vo 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动为简谐运动动.xAu voxoAu vcos0Ax 0t0 x 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴
14、轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动为简谐运动动.xAu vooAu vtt t)cos(tAxx)cos(2tAa2 tmvvvvxyOAu vt)cos(tAxnavavAmv)sin(vtA2nAa 用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx 讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 （1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间两运动状态间变化所需的时间ttt)()(1212ttt)cos(11tAx)cos(22tAxAx2Atoba3TTt6123vvA （2）对于两个对于两个同同频率的简谐运动，
15、相频率的简谐运动，相位位差表示它们间差表示它们间步调步调上的上的差异差异（解决振动合成（解决振动合成问题）问题）.12)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt0 xto同步同步xto为其它为其它超前超前落后落后12txo反相反相例例1 1 一质量为一质量为0.01 kg的物体作简谐运动，其的物体作简谐运动，其振幅为振幅为0.08 m，周期为，周期为4 s，起始时刻物体在，起始时刻物体在x=0.04 m处，处，向向ox轴负方向运动（如图）轴负方向运动（如图）.试求试求（1）t=1.0 s时，物体所处的位置和所受的力；时，物体所处的位置和所受的力；o08.004.004.008
16、.0m/xvo08.004.004.008.0m/xm 0400.x代入代入)cos(tAxA3300v解解1s 22Tm 08.0As 4,m 08.0,kg 01.0TAm已知已知0m 04000v,.x求求（1）Fxt,s 0.13o08.004.004.008.0m/xvkg 01.0ms 0.1t代入上式得代入上式得m 069.0 xxmkxF2)32cos(08.0txN 1070.13可求可求（1）Fxt,s 0.13 （2）由起始位置运动到由起始位置运动到x=-0.04 m处所需处所需要的最短时间要的最短时间.法一法一 设由起始位置运动到设由起始位置运动到x=-0.04 m处所
17、处所需要的最短时间为需要的最短时间为to08.004.004.008.0m/xv2332s 667.032o08.004.004.008.0m/xv)32cos(08.0tx)32cos(08.004.0t2321arccos)(to08.004.004.008.0m/x法二法二3起始时刻起始时刻 时刻时刻tt3ts 667.032t1srad 23 例例2 2 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数簧的劲度系数 ，物体的质量，物体的质量 .（1 1）把物体从平衡位置向右拉到把物体从平衡位置向右拉到 处停处停 下后再释放，求简谐运动方程；下后再
18、释放，求简谐运动方程；1mN72.0kg20mm05.0 xm05.0 x10sm30.0v（3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程.2A （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时处时的速度；的速度；m/xo0.05ox解解 （1）11s0.6kg02.0mN72.0mkm05.0022020 xxAv0tan00 xv 0 或A由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知 0)cos(tAx)s0.6cos()m05.0(1toxA2A解解 )cos(tAx)cos(tA
19、21)cos(Axt3 5 3或tA3t由旋转矢量图可知由旋转矢量图可知tAsinv1sm26.0（负号表示速度沿（负号表示速度沿 轴负方向）轴负方向）Ox2A （2 2）求物体从初位置运动到第一次经过求物体从初位置运动到第一次经过 处时的处时的速度；速度；解解 m0707.022020vxA1tan00 xv4 3 4或 oxA4)cos(tAx4)s0.6cos()m0707.0(1tm05.0 x10sm30.0v （3 3）如果物体在如果物体在 处时速度不等于零，处时速度不等于零，而是具有向右的初速度而是具有向右的初速度 ，求其运动方程，求其运动方程.因为因为 ，由旋转矢量图可知由旋转
20、矢量图可知400v例题例题1 1 一质点沿一质点沿x x轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为1212cmcm，周期为，周期为2 2s s。当。当t t=0=0时时,位移为位移为6 6cmcm，且向，且向x x轴正方向运动。求轴正方向运动。求1 1、振动方程。振动方程。2 2、t t=0.5=0.5s s时，质点的位置、速度和加速度。时，质点的位置、速度和加速度。3 3、如果在某时刻质点位于、如果在某时刻质点位于x x=-6cm=-6cm，且向，且向x x轴负方向运动，轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：解：设简谐振动表达式为设简谐振动表
21、达式为已知已知：A=12cm,T=2s，x=A cos(t+)s/rad(2Tx=0.12 cos(t+)初始条件：初始条件：t=0 时，x0=0.06m,u0 00.06=0.12 cos 3cos210sin0Au0sin3振动方程：振动方程：)3cos(12.0txx-/3)m/s(189.0)3sin(12.0dd5.05.05.0tttttxu)m/s(03.1)3cos(12.0dd25.025.05.0tttttva)m(103.0)3cos(12.05.0txt设在某一时刻设在某一时刻 t1，x=-0.06 m)3(cos12.006.01t代入振动方程代入振动方程：21)3(
22、cos1t343231或ts132311ttyx3234yx3223s61123322tt)s(65161112ttt例例2 2.两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点相等。当质点1 1在在 x x1 1=A A/2/2 处，且向左运动时，处，且向左运动时，另一个质点另一个质点2 2在在 x x2 2=-=-A A/2/2 处，且向右运动。求处，且向右运动。求这两个质点的位相差。这两个质点的位相差。)(cos11tAx)(cos21tAA31t0)(sin1t0)(sin11tAu31t解：解：A-Ao oA/2/2-A/2/2322t)cos
23、(22tAA0)(sin2t0)(sin22tAu322t)()(21tt)32(3x332322t)cos(22tAA0)(sin2t0)(sin22tAu322t)()(21tt)32(3x332（1）动能动能(以弹簧振子为例以弹簧振子为例)O x Xmk2m)(sin21)sin(212122222ktAmtAmmEv9.3 9.3 简谐振动的能量转换简谐振动的能量转换（2）势能）势能 线性回线性回复力是复力是保守保守力，力，作简谐作简谐运动的系统运动的系统机械能守恒机械能守恒.O x Xm)(cos2121222ptkAkxE（3）机械能）机械能222pk2121kAAmEEE简简 谐
24、谐 运运 动动 能能 量量 图图tkAE22pcos21tAmE222ksin214T2T43T能量能量otTtx tvv,xtoTtAxcostAsinv221kAE 0简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能量守简谐运动能量守恒，振幅不变恒，振幅不变kEpEx221kAE AApExOEBC能量守恒能量守恒简谐运动方程简谐运动方程推导推导221122Emkx常量v0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx 例例11 质量为质量为 的物体，以振幅的物体，以振幅 作简谐运动，其最大加速度为作简谐运动，其最大加速度为 ，求：求：kg 10.0m 100.12
25、（1 1）振动的周期；振动的周期；（2）通过平衡位置的动能通过平衡位置的动能；（3）总能量；总能量；（4）物体在何处其动能和势能相等？物体在何处其动能和势能相等？2sm 0.4Aamaxs 314.02T1s 20J 100.23（2）222maxmax,k2121AmmEv解解（1）2maxAa已知已知2max2sm 0.4m 100.1kg 10.0aAm，T；(2)maxk,E求求:(1)（4）pkEE 时时 J 100.13pE由由222p2121xmkxE2p22mEx 24m 105.0cm 707.0 x已知已知sumE；（3）max,ksumEEJ 100.23解解(4)何处动
26、势能相等何处动势能相等?2max2sm 0.4m 100.1kg 10.0aAm，求求:(3)221kAEEEkpEAkkxEAxp4122121222时：当 例例2.2.当简谐振动的位移为振幅的一半时，当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？其动能和势能各占总能量的多少？物体在什物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？么位置时其动能和势能各占总能量的一半？解：解：EEEEpk43220212121kAkxAAx707.0210 例例3.3.有一水平弹簧振子，有一水平弹簧振子，k=24N/mk=24N/m，重物的质量，重物的质量m=6kgm=6kg，静止在平衡位置上
27、，设以一水平恒力，静止在平衡位置上，设以一水平恒力F=10NF=10N作用于物体（不计摩擦），使之从平衡位置向左运动作用于物体（不计摩擦），使之从平衡位置向左运动了了0.05m0.05m，此时撤去力，此时撤去力F F，当重物运动到左方最远位置，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求运动方程。时开始计时，求运动方程。解：解：2215.0kAJFSE)(204.0mA)/(2sradmk依题意，有：依题意，有：0,00vAxxo弹F Fx x)(2cos(204.0SItx选取坐标如图，选取坐标如图，一一 、两个同方向同频率简谐运动的合成、两个同方向同频率简谐运动的合成 设一质点同时参与设一质点同
28、时参与两独立的同方向、同频两独立的同方向、同频率的简谐振动：率的简谐振动：11A1xxO2x2A2)cos(111tAx)cos(222tAx两振动的位相差两振动的位相差 =常数常数129.4 9.4 简谐振动的合成简谐振动的合成1.分振动分振动 :2.合振动合振动:)cos()cos(2211tAtAtAAtAA sin)sinsin(cos)coscos(22112211cosAsinA)cos(sinsincoscostAtAtAx)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsintanAAAA)cos(111tAx)cos(222tAx21xxxr 结论：合
29、振动结论：合振动 x 仍是简谐振动仍是简谐振动 两个两个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成后仍为后仍为同同频率的频率的简谐简谐运动运动)cos(212212221AAAAA)cos(tAx11A1xxOAx21xxx2x2A222112211coscossinsintanAAAAtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT（1）相位差相位差212k),2 1 0(，kxxxto)cos()(12tAAxT2A21AA（2）相位差相位差)12(12k),1 0(，k21AAA)12(12kox（3）一般情况一般情况2121AAAAA21AAA21AAA加强加强减弱
30、减弱小结：小结：（1）相位差相位差212k)1 0(，k（2）相位差相位差)12(12k)1 0(，k 二、两个同方向不同频率简谐运动的合成二、两个同方向不同频率简谐运动的合成 频率频率较大较大而频率之而频率之差很小差很小的两个的两个同方同方向向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫加强时而减弱的现象叫拍拍.tAtAx111112coscostAtAx222222coscos21xxx讨论讨论 ,的情况的情况 21AA 2112合振动频率合振动频率振幅部分振幅部分 方法一方法一振幅振幅 振动频率振动频率tAtAxxx2211212cos2cos
31、ttAx22cos)22cos2(12121tAA22cos21212)(211max2AA0minA拍频拍频（振幅变化的频率）（振幅变化的频率）2212T121T12ttAx22cos)22cos2(12121不论不论A调达到正最大还是负最大，对加强振幅来说都是调达到正最大还是负最大，对加强振幅来说都是等效的，因此拍的圆频率应为调制频率的等效的，因此拍的圆频率应为调制频率的2倍倍 方法二：旋转矢量合成法方法二：旋转矢量合成法021t)(212xo2A2x2xA1A1x111t)()(1212t22t12振幅振幅 振动圆频率振动圆频率2A2x2xAxo1A1x112t1t)(12t2)2cos
32、(2121tAAxxt21cos221拍频拍频12)cos1(21 AA三、三、两个相互垂直的同频率的简谐运动的两个相互垂直的同频率的简谐运动的合成合成质点运动轨迹质点运动轨迹 （椭圆方程）（椭圆方程）)cos(11tAx)cos(22tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx（1）或或2012xAAy12 讨讨论论（2）12xAAy12yxo1A2A1A2Aoxy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxtAxcos1)2cos(2tAy（3）2121A2Aoxy1222212AyAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx 讨讨论论 用旋转矢量描绘振动合成图用旋转矢量描绘振动合成图 两相两相互垂直同互垂直同频率不同频率不同相位差简相位差简谐运动的谐运动的合成图合成图11Axo三三 多个同方向同频率简谐运动的合成多个同方向同频率简谐运动的合成2A23A3A 多多个个同同方向方向同同频率简谐运动频率简谐运动合成合成仍为仍为简谐简谐运动运动)cos(tAxnxxxx21)cos(111tAx)cos(222tAx)cos(nnntAx
