1、第4讲 直线、平面平行的判定与性质课标要求考情风向标1.平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.2.通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行.两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行.3.能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题1.在高考中，线、面平行关系的考查仅次于垂直关系的考查，是高考重点内容，在要求上不高，属容易题，平时训练难度不宜过大，抓好判定定理的掌握与应用即可.2.学会应用“化归思想”
2、进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：直线与平面的位置关系在平面内无数个交点相交1 个交点平行0 个交点定义若一条直线和平面平行，则它们没有公共点判定定理 1a ，b，且 aba判定定理 2，aa性质定理a，a，lal平面与平面的位置关系相交无数个交点平行0 个交点定义若两个平面平行，则它们没有公共点判定定理 1a，b，abM，a，b判定定理 2a，a性质定理 1，aa性质定理 2，a，bab(续表)1.已知直线 l 和平面，若 l，P，则过点 P 且平行于l 的直线()BA.只有一条，不在平面内B.只有一条，且
3、在平面内C.有无数条，一定在平面内D.有无数条，不一定在平面内解析：过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，P，这条直线也应该在平面内.2.(2019 年四川成都模拟)已知直线 a，b 和平面，下列说法中正确的是()BA.若 a，b，则 abB.若 a，b，则 abC.若 a，b 与所成的角相等，则 abD.若 a，b，则 ab解析：对于 A，若 a，b，则 ab 或 a 与 b 异面，故 A 错误；对于 B，利用线面垂直的性质，可知若 a，b，则 ab，故 B 正确；对于 C，若 a，b 与所成的角相等，则 a与 b 相交、平行或异面，故 C 错误；对于 D，由 a，b，得 a，b 之间的
4、位置关系可以是相交、平行或异面，故 D 错误.3.(2019 年湖南联考)已知 m，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是()DA.若 m，n，则 mnB.若 m，m，则C.若，则D.若 m，n，则 mn解析：A 中，两直线可能平行、相交或异面；B 中，两平面可能平行或相交；C 中，两平面可能平行或相交；D 中，由线面垂直的性质定理可知结论正确，故选 D.4.(2018 年浙江)已知平面，直线 m，n 满足 m ，n，)A则“mn”是“m”的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考点 1 直线与平面平行的判定与性质例 1：(1)(20
5、17 年新课标)在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是()ABCD解析：由 B 图知 ABMQ，则直线 AB平面 MNQ；由 C图知 ABMQ，则直线 AB平面 MNQ；由 D 图知 ABNQ，则直线 AB平面 MNQ.故选 A.答案：A(2)(2018 年河北石家庄调研)如图 8-4-1，在 三 棱 台ABC-A1B1C1 的 6 个顶点中任取 3 个点作平面，设平面 ABC)l，若 lA1C1，则这 3 个点可以是(图 8-4-1 A.B，C，A1C.A1，B1，CB.B1，C1，AD.A1，B
6、，C1解析：在棱台中，ACA1C1，lA1C1，则 lAC 或 l 为直线 AC.因此平面可以过点 A1，B，C1，选项 D 正确.答案：D(3)(多选)如图 8-4-2，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，侧面 PAB 为等边三角形，E，F 分别为 PA，BC 的中点.下列结论正确的是()A.BE平面 PFDB.EF平面 PCDC.平面 PAB 与平面 PCD 交线为 l，则图 8-4-2CDlD.BE平面 PAC解析：取 PD 中点 M，易知 BEFM，EFCM，故 A、B正确；CDAB 得 CD平面 PAB，故 CDl，C 正确，D 显然不正确，故选 ABC.答案：ABC【
7、规律方法】证明直线 a 与平面平行，关键是在平面内找一条直线 b，使 ab，如果没有现成的平行线，应依据条件作出平行线.有中点的常作中位线.考点 2 平面与平面平行的判定与性质例 2：(1)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，点 M 为 CC1的中点，点 N 为线段 DD1 上靠近 D1 的三等分点，平面 BMN 交AA1 于点 Q，则 AQ 的长为()A.23B.12C.16D.13解析：如图 D78 所示，连接 BQ，QN，平面 AA1B1B平面CC1D1D，平 面 BMNQ 平 面 CC1D1D MN，平 面 BMNQ 平 面AA1B1BBQ，由平面与平面平行的性质定理可得
8、 BQMN.同理可得 BMQN.四边形 BQNM 为平行四边形.图 D78答案：D(2)在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为棱 AD 中点，过点 B1，且与平面 A1BE 平行的正方体的截面面积为()图 D79答案：C(3)(2017 年河北衡水模拟)在 如 图 8-4-3 所 示 的 几 何 体ABCDFE 中，ABC，DFE 都是等边三角形，且所在平面平行，四边形 BCED 是边长为 2 的正方形，且所在平面垂直于平面 ABC.求几何体 ABC-DFE 的体积；求证：平面 ADE平面 BCF.图 8-4-3解：取 BC 的中点 O，ED 的中点 G，如图 D80
9、所示，连接 AO，OF，FG，AG.AOBC，AO平面 ABC，平面 BCED平面 ABC，AO平面 BCED.同理 FG平面 BCED.证明：由(1)知，AOFG，AOFG，四边形 AOFG 为平行四边形，AGOF.又 AG 平面 BCF，OF平面 BCF，AG平面 BCF.又DEBC，DE 平面 BCF，BC平面 BCF，DE平面 BCF，又 AGDEG，平面 ADE平面 BCF.图 D80【规律方法】证明面面平行的方法有(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)如果两
10、个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.考点 3 线面、面面平行的综合应用例 3：如图 8-4-4，已知有公共边 AB 的两个正方形 ABCD和 ABEF 不在同一平面内，P，Q 分别是对角线 AE，BD 上的点，且 APDQ.求证：PQ平面 CBE.图 8-4-4证明：方法一，如图 8-4-5(1)，连接 AQ 并延长交 BC 于 G，连接 EG，PQEG.又 PQ 平面 CBE，EG平面 CBE，PQ平面 CBE.(1)(2)(3)图 8-4-5CDAB，AEBD，PEBQ，PKQH.四边形 PQHK 是平行四边形.PQKH
11、.又 PQ 平面 CBE，KH平面 CBE，PQ平面 CBE.方法三，如图 8-4-5(3)，过点 P 作 POEB，交 AB 于点 O，连接 OQ，平面 POQ平面 CBE.又PQ 平面 CBE，PQ平面 POQ，PQ平面 CBE.【规律方法】证明线面平行，关键是在平面内找到一条直线与已知直线平行.方法一是作三角形得到的；方法二是通过作平行四边形得到在平面内的一条直线 KH；方法三利用了面面平行的性质定理.【跟踪训练】1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，棱长为 a，M，N 分别为)位置关系是(A.相交C.垂直B.平行D.不能确定解析：如图 D81，连接 CD1，AD1，BC1.在
12、CD1 上取点 P，使 D1P2a3，MPBC，PNAD1.AD1BC1，PNBC1.MP面 BB1C1C，PN面 BB1C1C.面 MNP面 BB1C1C，MN面 BB1C1C.故选 B.图 D81答案：B难点突破 立体几何中的探究性问题(1)证明：平面 AMD平面 BMC；(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面 PBD？说明理由.图 8-4-6(1)证明：由题设知，平面 CMD平面 ABCD，交线为 CD.BCCD，BC平面 ABCD，BC平面 CMD.故 BCDM.DMCM.又 BCCMC，DM平面 BMC.而 DM平面 AMD，故平面 AMD平面 BMC.(2)解：当 P
13、 为 AM 的中点时，MC平面 PBD.证明如下：如图 8-4-7，连接 AC 交 BD 于 O.图 8-4-7ABCD 为矩形，O 为 AC 中点.连接 OP，P 为 AM 中点，MCOP.又 MC 平面 PBD，OP平面 PBD，MC平面 PBD.【规律方法】解决探究性问题一般先假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，若找到了使结论成立的充分条件，则存在；若找不到使结论成立的充分条件(出现矛盾)，则不存在.而对于探求点的问题，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.【跟踪训练】2.(2019 年北京)如图 8-4-8，在四棱锥
14、P-ABCD 中，PA 平面 ABCD，底部 ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点.(1)求证：BD平面 PAC；(2)若ABC60，求证：平面 PAB平面 PAE；(3)棱 PB 上是否存在点 F，使得 CF平面 PAE？说明理由.图 8-4-8(1)证明：PA 平面 ABCD，PA BD.底面 ABCD 是菱形，ACBD.PA ACA，PA 平面 PAC，AC平面 PAC，BD平面 PAC.(2)证明：底面 ABCD 是菱形且ABC60，ACD 为正三角形.AECD.ABCD，AEAB.PA 平面 ABCD，AE平面 ABCD，AEPA.PA ABA，AE平面 PAB.又 AE平面 PA
15、E，平面 PAB平面 PAE.(3)解：存在点 F 为 PB 中点时，满足 CF平面 PAE.理由如下：分别取 PB，PA 的中点 F，G，连接 CF，FG，EG，如图D82.图 D82即四边形 CEGF 为平行四边形.CFEG.又 CF 平面 PAE，EG平面 PAE，CF平面 PAE.1.直线与平面平行判定定理要具备三个条件：(1)直线 a 在平面外；(2)直线 b 在平面内；(3)直线 a，b 平行.三个条件缺一不可，在推证线面平行时，一定要强调直线 a 不在平面内，否则，会出现错误；平面与平面平行判定定理“如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行”，必须注意“相交”的条件.2.直线与平面平行的性质定理：线面平行，则线线平行.要注意后面线线平行的意义：一条为平面外的直线，另一条为过平面外直线的平面与已知平面的交线.对于本定理要注意避免“一条直线平行于平面，就平行于平面内的任何一条直线”的错误.3.利用线面平行的判定定理时经常要作辅助线，利用线面平行的性质定理时经常要作辅助面，无论作辅助线还是辅助面，都得有理有据，不能随意去作，如果已知条件中出现中点的话，中位线是首选.4.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.
