1、“线段最值问题”漫谈目录命题地位命题地位1基本类型基本类型23解决策略解决策略4核心知识核心知识问题关键问题关键5分类例析分类例析67考题赏析考题赏析 “线段最值”问题是重庆中考的热点问题（每年必考），题型多样，变化灵活，综合性强，考查的知识点众多，涉及多种数学思想、方法和技能技巧，对学生的各种能力要求较高，一般都是各题型的压轴题，拉分题。深刻理解把握这一问题的基本原理、解决策略，利于我们把握中考方向，在教学实践中才能做到有的放矢，提高教学的针对性、有效性。型其它费马点模型三动线段最值两动线段最值点到圆点到线点到点单动线段最值线段最值PCPBPAkPBPAPBPA.3.2.1所有线段最值问题核
2、心知识的老祖宗只有两个：两点之间，线段最短；点线之间，垂线段最短。基本图形AB最短PA+PBAB由此派生：三角形两边之和大于第三边基本图形结论PA+PBAB平行线之间，垂线段最短基本图形结论AB最短点圆之间，点心线截距最短（长）基本图形结论PA最短PB最长线圆之间，心垂线截距最短基本图形结论PA最长PB最短圆圆之间，连心线截距最短（长）基本图形结论AB最长CD最短 复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变式得到的，在解决这一类问题的时候，常常需要通过几何变换进行转化，逐渐转化为“基本图形”，再运用“基本图形”的知识解决。常运用的典型几何变换有：（1）平移-“架桥选址”（2）翻折-“将军饮
3、马“（3）旋转-“费马点问题“（4）相似-“阿氏圆问题“（5）三角-“胡不归问题“（6）多变换综合运用 复杂的几何最值问题的关键-明确动点运动的路径（轨迹）E【例2】动点轨迹之-瓜豆原理瓜豆原理：若两动点到某定点的距离之比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。瓜豆原理是主从联动问题，主动点叫做瓜，从动点叫做豆，瓜在直线上运动，豆的运动轨迹也是直线；瓜在圆周上运动，豆的运动轨迹也是圆。【例3】如图,直角ABC中,C=90,D是AC边上一动点,以BD为边,在BD上方作等腰直角BDE,使得BDE=90 ，连接AE.若BC=4，AC=5，则AE的最小值是 .动点轨迹之-瓜豆原理（核心方法：构相似
4、）法一：特殊位置定轨迹45【例3】如图,直角ABC中,C=90,D是AC边上一动点,以BD为边,在BD上方作等腰直角BDE,使得BDE=90 ，连接AE.若BC=4，AC=5，则AE的最小值是 .动点轨迹之-瓜豆原理（核心方法：构相似）解题顺口溜 “两动两定取新点”“相同操作连新从”“手拉手型得相似”“相似定值得轨迹”法二：构造法定轨迹E145【例4】M 解题顺口溜 “两动两定取新点”“相同操作连新从”“手拉手型得相似”“相似定值得轨迹”Q1Q2【例5】解题顺口溜 “连接心动取新点”“相同操作”“A型相似得定值”“根据定值得轨迹”NM1动点轨迹之-隐圆问题【模型1】共端点，等线段模型【模型2】
5、定弦定角模型【例6】如图,菱形ABCD边长为4,A=60,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN,连接AC,则AC的最小值是 .A1【例7】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AEBE，则线段CE的最小值为 .EO【例8】如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF。连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 .OH垂线段最短类【例9】2020营口 FF1 基本思想同侧化异侧、折线化直线【例10】（2020内江内江）M1N1N2【例11】（2020铁岭铁岭）如
6、图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD的顶点的顶点A的坐标为（的坐标为（0，4），顶点），顶点B、D分别在分别在x轴和轴和直线直线 y3 上，则对角线上，则对角线AC的最小值是的最小值是 Ny=-1.5M将军饮马类基本思想-同侧化异侧、折线化直线基本方法-N个动点N条河，N次对称跑不脱解题关键-根据结论抓点、线将军饮马类【例12】（一动两定型）如图，ABC中，ACB90，AC4，BC6，CD平分ACB交AB于点D，点E是AC的中点，点P是CD上一动点，则PA+PE的最小值是为 .河边E1【例13】（两动两定型）如图，已知A（6，2），B（2，4），点M是y轴正半轴上一点，点N是x轴负半
7、轴上一点，连接AB，BM，MN，NA则四边形ABMN周长的最小值为 .将军饮马类河边河边A1N1M1B1【例14】（两动一定型）如图，AOB45，点P是AOB内的定点且OP ，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则PMN周长的最小值是 2河边河边P1P2将军饮马类N1M1将军饮马类【例15】（三动点型）如图，点A是O2 2上一动点，点B是O1 1上一动点，点P是直线L上动点，且O1 1的半径为3，O2的半径为5，O1 1O2 2=18，则PA+PB的最小值是 【例16】（三动点型）如图，在ABC中,AC=1，BAC=60，且 ACBC，弧BC所对的圆心角为 60.若点 P 在弧BC
8、上运动，E、F 分别在 AB、AC 上，则PE+PF+EF 的最小值为 .将军饮马类OP1P2P3将军饮马类【例17】（知识综合型）如图，正方形ABCD的边长是4，点E是AD边上一动点，连接BE，过点A作AFBE于点F，点P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为 .C1O架桥选址类【例18】已知A（1，1）、B（4，2）,CD为轴上一条动线段，D在C点右边且CD1，求：AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；解题要点：将定点沿定长方向平移定长距离 将军饮马A1B1B1A1【例19】如图，菱形 ABCD 中，AB=4，BAD=60，M、N 是 AC 上两动点，且 MN=2，则BM+BN的最
9、小值为_.架桥选址类解题要点：将定点沿定长方向平移定长距离 将军饮马B1B1架桥选址类【例20】如图，在矩形ABCD中，AB ，BC1，将A ABD沿射线DB平移得到ABD，连接BC，DC，则BC+DC的最小值是 C1C23【古老传说】说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。便日夜赶路回家。（如下图）（如下图）点点A A 是出发地，是出发地，B B 是目的地；是目的地；AC AC 是一条是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直线路程直线
10、路程ABAB。但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂地。但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂地上上行走快的这行走快的这一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是一因素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。然而，当他气喘吁吁地来速度可以加快），是可以提前抵达家门的。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？胡不归？胡不归？”这个古老的传说，引起了人们的思索这个古老的传说，引起了人
11、们的思索：小伙子能否提前到小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的年的“胡不归胡不归”问题。问题。“胡不归”问题【数学问题数学问题】根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在ACAC上选定一点上选定一点P P，小伙子从小伙子从A A走到走到P P，然后，然后从从P P折往折往B B，可望，可望最早最早到达到达B B。问题：问题：若在驿道上行走的速度为若在驿道上行走的速度为v v1 1=8=8km/hkm/h，在沙地上行走的速度为，在沙地上行走的速度为v
12、v2 2=4=4km/h.km/h.（1）小伙子回家需要的时间可表示为 ;（2）点P选择在何处他回家的时间最短？84APPB1 14 2PAPB12PAPB【问题解决问题解决】点P1即为最佳选择点，BD即为 的最小值.PBPA21 作图步骤（四部曲）1.找带分数的线段PA2.线段PA的定端点P3.过定端点P作射线PN PN需满足：（1）MPN满足sinP=（2）“”异“”同的原则4.过B作射线PN的垂线BD即可.30CDP1N2112PAPB【例21】如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，4），B（1，0），在y轴上有一动点G，则BG+AG的最小值为 .31驿道GCM点G为最值点，BC为所求线
13、段【例22】已知B（-1，0），P（1，-4），在x轴上找点M，在y轴上找点H,使 最小，并求最小值.55PHHMBMMHP1CD1M1D点M1为最值点，P1D1为所求线段“阿氏圆”问题【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B，则所有满足PA/PB=k（k1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿波罗尼斯圆”简称“阿氏圆”.如下图所示，其中PA：PBOP：OBOA：OPk.【例23】如图，已知AC=6，BC=8，AB=10，以点C为圆心，4为半径作圆 点D是C上的一个动点，连接AD、BD.则(1)AD+BD的最小值_.(2)AD+BD的最
14、小值为=.2132 解题步骤（）1.连：CD2.构：柳腰相似-缩小型内构；扩大型外构-半径CD为公共边3.算：第三边CE的长度4.连：连接AE5.求：求AE的长68104E2【例24】已知扇形COD中,COD=90，OC=6，OA=3，OB=5,点P是弧CD上一点，求：2PA+PB的最小值.356EBE为所求线段12【例25】如图，P 是正方形 ABCD 内一动点，AD=6，CP=4，求：3PA+2PD 的最小值646EAE为所求线段38“费马点”问题如图，如果ABC的内角均小于120，在ABC内作点P，使PA+PB+PC值最小.【数学问题】【作法】如图，以AB、AC为边，在ABC的外部作等边
15、ABD和等边ACE，CD与BE交于点P，此时PA+PB+PC值最小.点P即为ABC的费马点.【费马点性质】1、PA+PB+PC值最小2、最小值=CD=BE=PA+PB+PC3、APB=APC=BPC=120【解决思路-外旋60】【例26】如图，在ABC中，ACB=30，BC=6,AC=5,在ABC内部有点P，连接PA、PB、PC，求：PA+PB+PC的最小值.D65【例27】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点P是矩形内部一 动 点，过 点 P 作PEAD于点E，连接PB,PC，则PE+PB+PC的最小值为 .64FGFG为所求线段“其它类型”的线段最值【例28】如图，在矩形 ABC
16、D 中，AB=3,BC=2，顶点 A、B 分别在 x、y 轴上滑动，点 C 在 第一象限，连接 OC，则OC 的最大值为 .M【例29】（2020常州）如图，AB是O的弦，点C是优弧AB上的动点（C不与A、B重合），CHAB，垂足为H，点M是BC的中点若O的半径是3，则MH长的最大值是（）A3 B4 C5 D6C1【例30】（2020常州）如图，在如图，在ABC中，中，AB2，ABC60，ACB45，D是是BC的中点，直线的中点，直线l经经过点过点D，AEl，BFl，垂足分别为，垂足分别为E，F，则，则AE+BF的最大值为的最大值为C1GG1“重庆中考试题”赏析【2020重庆B卷26题】ABC
17、为等边三角形，为等边三角形，AB8，ADBC于点于点D，E为线段为线段AD上一点，上一点，AE2 ，以以AE为边在直线为边在直线AD右侧构造等边三角形右侧构造等边三角形AEF，连接，连接CE，N为为CE的中点的中点（3）连接连接BN，在，在AEF绕点绕点A逆时针旋转过程中，当线段逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请最大时，请直接写出直接写出ADN的面积的面积32 83GN1考查要点1.隐圆问题2.瓜豆原理3.点圆最值【2020重庆A卷26题】如图，在如图，在RtABC中，中，BAC90，ABAC，点，点D是是BC边上一动点，连接边上一动点，连接AD，把，把AD绕点绕点A逆时针旋转逆时针旋转9
18、0，得到，得到AE，连接，连接CE，DE点点F是是DE的中点，连接的中点，连接CF（3）在点在点D运动的过程中，在线段运动的过程中，在线段AD上存在一点上存在一点P，使，使PA+PB+PC的值最小的值最小当当PA+PB+PC的值取得最小值时，的值取得最小值时，AP的长为的长为m，请直接用含，请直接用含m的式子表示的式子表示CE的长的长PMP1D1考查要点1.费马点问题2.瓜豆原理【2019重庆A卷26题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3与与x轴轴交于点交于点A，B（点（点A在点在点B的左侧），交的左侧），交y轴于点轴于点C，点，点D为抛物线的顶点，对
19、称为抛物线的顶点，对称轴与轴与x轴交于点轴交于点E（1）连结）连结BD，点，点M是线段是线段BD上一动点（点上一动点（点M不与端点不与端点B，D重合），过点重合），过点M作作MNBD，交抛物线于点，交抛物线于点N（点（点N在对称轴的右侧），过点在对称轴的右侧），过点N作作NHx轴，垂足为轴，垂足为H，交，交BD于点于点F，点，点P是线段是线段OC上一动点，当上一动点，当MN取得最取得最大值时，大值时，求：求：HF+FP+PC的最小值；的最小值；31MNHFPGP1驿道考查要点1.胡不归问题用习惯和智慧创造奇迹，用习惯和智慧创造奇迹，用理想和信心换取动力用理想和信心换取动力!祝您成功！祝您成功！
20、1.中国人只要看到土地，就会想种点什么。而牛叉的是，这花花草草庄稼蔬菜还就听中国人的话，怎么种怎么活。2.中国人对蔬菜的热爱，本质上是对土地和家乡的热爱。本诗主人公就是这样一位采摘野菜的同时，又保卫祖国、眷恋家乡的士兵。3.本题运用说明文限制性词语能否删除四步法。不能。极大的一词表程度，说明绘画的题材范围较过去有了很大的变化，删去之后其程度就会减轻，不符合实际情况，这体现了说明文语言的准确性和严密性。4.开篇写湘君眺望洞庭，盼望湘夫人飘然而降，却始终不见，因而心中充满愁思。续写沅湘秋景，秋风扬波拂叶，画面壮阔而凄清。5.以景物衬托情思，以幻境刻画心理，尤其动人。凄清、冷落的景色，衬托出人物的惆怅、幽怨之情，并为全诗定下了哀怨不已的感情基调。6.石壕吏和老妇人是诗中的主要人物，要立于善于运用想像来刻画他们各自的动作、语言和神态；还要补充一些事实上已经发生却被诗人隐去的故事情节。7.文学本身就是将自己生命的感动凝固成文字，去唤醒那沉睡的情感，饥渴的灵魂，也许已是跨越千年，但那人间的真情却亘古不变，故事仿佛就在昨日一般亲切，光芒没有丝毫的暗淡减损。8.只要我们用心去聆听，用情去触摸，你终会感受到生命的鲜活，人性的光辉，智慧的温暖。9.能准确、有感情的朗读诗歌，领会丰富的内涵，体会诗作蕴涵的思想感情。
