1、立体几何中的向量方法复习课归纳归纳知识整合知识整合 1两个重要向量两个重要向量 (1)直线的方向向量直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合或重合)的非零向量，的非零向量，一条直线的方向向量有一条直线的方向向量有 个个 (2)平面的法向量平面的法向量 直线直线l平面平面，取直线，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量显然一个平面的法向量有的法向量显然一个平面的法向量有 个，它们是共线向个，它们是共线向量量 探究探究1.在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量，但只
2、有两个方程，如何求法向量？量，但只有两个方程，如何求法向量？提示：给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零提示：给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标解，即可作为法向量的坐标无数无数无数无数2空间位置关系的向量表示空间位置关系的向量表示位置关系位置关系向量表示向量表示l1l2l1l2ll12123.,coscos(,)abl la bl la ba b异面直线所成角公式：设、分别为异面直线的方向向量，为所成的角，则4.sincos(,).lalalaa线面所成角公式：设 为平面 的斜线，为 的方向向量，n为n平面 的法向量，为 与 所成的角，则nn1212
3、125.coscos()cos-cos().二面角公式：设n、n 分别为平面、的法向量，二面角为，则n,n 或n,n6.PA点到平面的距离公式：P为平面 外一点，A为平面n内任意一点，n为平面 的法向量，则d=n例例1如图，已知如图，已知AB平面平面ACD，DE平面平面ACD，ACD为等边三角形，为等边三角形，ADDE2AB，F为为CD的中点的中点(1)求证：求证：AF平面平面BCE；(2)求证：平面求证：平面BCE平面平面CDE.用向量法证明平行、垂直用向量法证明平行、垂直利用空间向量求空间利用空间向量求空间角角 例例2 如如图，在长方体图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知中，已知A
4、B4，AD3，AA12.E、F分别是线段分别是线段AB、BC上的上的点，且点，且EBFB1.(1)求二面角求二面角CDEC1的正切值；的正切值；(2)求直线求直线EC1与与FD1所成角的余弦值所成角的余弦值利用向量法求空间距离利用向量法求空间距离自主解答自主解答取取AC的中点的中点O，连接，连接OS、OB.SASC，ABBC，ACSO，ACBO.平面平面SAC平面平面ABC，平面，平面SAC平面平面ABCAC，SO平面平面ABC，又又BO平面平面ABC，SOBO.小结小结利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤利用条件分析问题，建立适当的空间直角坐标系结合建系过程与图形，准确的写出相关点坐标利用点的坐标求出相关直线的方向向量和平面的法向量，若已知某直线垂直于某平面，可直接取直线的一个方向向量为平面的法向量将空间位置关系转化为向量关系，空间角转化成向量夹角问题去论证，求解结合条件与图形，写出结论（注意角的范围）
