1、空间向量与立体几何复习课【答案速填答案速填】_ _ _ _ _ _ _ _数乘运算数乘运算 空间向量的数量积空间向量的数量积 垂直垂直夹角夹角数乘结合律数乘结合律线面关系线面关系点面距点面距类型类型 一一 空间向量的概念及运算空间向量的概念及运算 1.1.空间向量的加减运算空间向量的加减运算(1)(1)空间向量可以看作是平面向量的推广，注意空间向量的三空间向量可以看作是平面向量的推广，注意空间向量的三维多向性，有许多概念的定义是相同的，如模、零向量、单维多向性，有许多概念的定义是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量位向量、相等向量、相反向量.(2)(2)空间向量的加减法的法则仍是
2、三角形法则和平行四边形法空间向量的加减法的法则仍是三角形法则和平行四边形法则，即转化为平面向量的加减法，这是因为空间的任意两个则，即转化为平面向量的加减法，这是因为空间的任意两个向量都是共面的向量都是共面的.2.2.空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件(1)(1)空间向量的数乘运算，平行向量的概念、向量平行的充要空间向量的数乘运算，平行向量的概念、向量平行的充要条件与平面向量的性质是一致的条件与平面向量的性质是一致的.(2)(2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知利用向量共面的充要条件可以判断第三个向量是否与已知的两个不共线向量共面的两个
3、不共线向量共面.特别地，空间一点位于平面特别地，空间一点位于平面ABCABC内的内的充要条件是存在有序实数对充要条件是存在有序实数对(x,y)(x,y)，使，使APx ABy AC.3.3.空间向量的数量积空间向量的数量积(1)(1)空间向量的数量积的定义表达式空间向量的数量积的定义表达式ab=|=|a|b|cos|cosa,b及其变式及其变式 是两个重要公式是两个重要公式.(2)(2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如式，如a2 2=|=|a|2 2,a在在b上的投影上的投影 等等.cos,|a ba bab|a b
4、b【典例典例1 1】(1)(1)已知已知A,B,CA,B,C三点不共线，对平面三点不共线，对平面ABCABC外的任一点外的任一点O O，下列条件中能确定点下列条件中能确定点M M与点与点A A，B B，C C一定共面的是一定共面的是()()A.OMOAOBOCB.OM2OAOBOC11C.OMOAOBOC23111D.OMOAOBOC333 (2)(2)已知已知a=(2,-3,5),=(2,-3,5),b=(-3,1,-4).=(-3,1,-4).求求a+b,a-b,ab；若若c=(m,2,n)=(m,2,n)且且ac,求求c；若若p=(1,x,y)=(1,x,y)且且ap,bp，求，求p.【
5、解析解析】(1)(1)选选D.D.设设 根据空间向量基根据空间向量基本定理，可知实数组本定理，可知实数组(x,y,z)(x,y,z)应满足应满足x+y+z=1x+y+z=1，所以只有，所以只有D D项满项满足条件，故选足条件，故选D.D.OMxOAyOBzOC ，(2)(2)a+b=(-1,-2,1),=(-1,-2,1),a-b=(5,-4,9),=(5,-4,9),ab=2=2(-3)+(-3)(-3)+(-3)1+51+5(-4)=-29.(-4)=-29.因为因为ac,所以设所以设c=a.所以所以(m,2,n)=(2,-3,5)(m,2,n)=(2,-3,5)，因为因为ap,bp,所以
6、所以ap=0=0,bp=0=0，所以所以p=(1,-1,-1).=(1,-1,-1).410m,n33410(,2,).33 所以，所以c23x5y0,x1,3x4y0,y1 所以解得，类型类型 二二 空间向量与平行、垂直问题空间向量与平行、垂直问题 1 1证明平行问题的方法证明平行问题的方法(1)(1)线线平行：线线平行：证明两条直线平行证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量平行只需证明两条直线的方向向量平行(共共线线)(2)(2)线面平行：线面平行：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明平面内一条直线的方向向量与平面外的直线的方向向证明平面内
7、一条直线的方向向量与平面外的直线的方向向量平行量平行(共线共线)；利用共面向量定理利用共面向量定理.(3)(3)面面平行：面面平行：证明两个平面的法向量平行证明两个平面的法向量平行(共线共线)；转化为线线平行、线面平行问题转化为线线平行、线面平行问题.2 2证明垂直问题的方法证明垂直问题的方法(1)(1)线线垂直：线线垂直：证明两条直线垂直证明两条直线垂直,只需证明两直线的方向向量垂直；只需证明两直线的方向向量垂直；(2)(2)线面垂直：线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线的方向向量与平面的法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题利用线面垂直的判定定理转化为线线
8、垂直问题.(3)(3)面面垂直：面面垂直：证明两个平面的法向量互相垂直；证明两个平面的法向量互相垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题转化为线面垂直、线线垂直问题.【典例典例2 2】(1)(1)已知已知P P是正方形是正方形ABCDABCD所在平面外一点，所在平面外一点，PDPD平面平面ABCDABCD，PD=DCPD=DC，E E是是PCPC的中点，作的中点，作EFPBEFPB交交PBPB于点于点F.F.证明：证明：PAPA平面平面EDBEDB；证明：证明：PBPB平面平面EFD.EFD.(2)(2)如图，在底面为平行四边形的四棱如图，在底面为平行四边形的四棱锥锥P-ABCDP-ABCD中，中，
9、ABACABAC，PAPA平面平面ABCDABCD，且且PA=ABPA=AB，点，点E E是是PDPD的中点的中点.求证：求证：ACPBACPB；求证：求证：PBPB平面平面AEC.AEC.(3)(3)长方体长方体ABCD-AABCD-A1B B1C C1D D1中，中，|DA|=2|DA|=2，|DC|=3|DC|=3，|DD|DD1|=4|=4，M,N,E,FM,N,E,F分别是棱分别是棱A A1D D1,A,A1B B1,D,D1C C1,B,B1C C1的中点，求证：平面的中点，求证：平面AMNAMN平面平面EFBD.EFBD.【解析解析】(1)(1)以以D D为原点，以为原点，以 方
10、向分别为方向分别为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴正方向建立空间直角坐标系，设轴正方向建立空间直角坐标系，设DC=a,GDC=a,G为为BDBD中点，连中点，连接接EGEG，则，则A(a,0,0),P(0,0,a),A(a,0,0),P(0,0,a),所以所以 所以所以PAEG.PAEG.而而EGEG平面平面EDBEDB，PA PA 平面平面EDBEDB，所以所以PAPA平面平面EDB.EDB.DA,DC,DP a aa aE(0,),G(,0),2 22 2aaPAa,0,a,EG(,0,),22 所以PA2EG,因为因为B(a,a,0),B(a,a,0),所以所以又又所以所以 所以所以
11、PBDE.PBDE.又又PBEF,PBEF,且且EFDE=EEFDE=E，所以所以PBPB平面平面EFD.EFD.PBa,a,a.a aDE(0,),2 2，PB DE0 ，(2)(2)建立空间直角坐标系，如图建立空间直角坐标系，如图.设设AC=a,PA=b,AC=a,PA=b,则有则有A(0A(0，0 0，0)0)，B(0B(0，b,0),b,0),C(a,0,0),P(0,0,b),C(a,0,0),P(0,0,b),所以所以ACPB.ACPB.ACa,0,0,PB0,b,b,AC PB0.所以从而连接连接BDBD，与，与ACAC相交于点相交于点O O，连接，连接EO.EO.由已知得由已知
12、得D(a,-b,0),D(a,-b,0),所以所以PBEO,PBEO,又又PB PB 平面平面AECAEC，EOEO平面平面AECAEC，所以所以PBPB平面平面AEC.AEC.ab bE(,),22 2aO(,0,0),2bbEO(0,).22PB0,b,b,PB2EO,所以又所以(3)(3)方法一：建立如图所示的空间方法一：建立如图所示的空间直角坐标系，取直角坐标系，取MNMN，DBDB及及EFEF的中的中点点R R，T T，S S，则，则A(2A(2，0 0，0)0)，M(1M(1，0 0，4)4)，D(0D(0，0 0，0)0)，B(2B(2，3 3，0)0)，F(1F(1，3 3，4
13、)4)，3N(24)2，3E(04)2，3 31 93R(4)S(4)T(10)2 42 42，所以所以MNEFMNEF，ARTS.ARTS.所以所以MNMN平面平面EFBDEFBD，ARAR平面平面EFBD.EFBD.又因为又因为ARMN=R,AR,MNARMN=R,AR,MN平面平面AMN,AMN,所以平面所以平面AMNAMN平面平面EFBD.EFBD.33MN(10)EF(10)221 31 3AR(4)TS(4).2 42 4MNEFARTS 所以，所以，方法二：由方法一可知，方法二：由方法一可知，A(2A(2，0 0，0)0)，M(1M(1，0 0，4)4)，D(0D(0，0 0，0
14、)0)，F(1F(1，3 3，4)4)，则，则设平面设平面AMNAMN、平面、平面EFBDEFBD的法向量分别为的法向量分别为n1=(x=(x1,y,y1,z,z1),),n2=(x=(x2,y,y2,z,z2),),3N(24)2，3E(04)2，33AM10 4 AN(04)DE(04)DF13 4.22 ，111111x4z0,AM0,3y4z0,AN02nn 则，令令x x1=1,=1,得得所以平面所以平面AMNAMN平面平面EFBD.EFBD.1112z,y,43 22222222221221123DE0,y4z0,2DF0,x3y4z0,33y1z,x,822 133(1,),(,
15、1,).3 4283,.2nnnnnnnn 又令，得所以所以得类型类型 三三 空间向量与空间角空间向量与空间角 用空间向量求空间角的方法用空间向量求空间角的方法(1)(1)求异面直线所成的角求异面直线所成的角已知已知a,ba,b为两条异面直线，为两条异面直线，A,CA,C与与B B，D D分别是分别是a,ba,b上任意两上任意两点点,a,b,a,b所成的角为所成的角为,则则AC BDcos.AC BD (2)(2)求直线和平面所成的角求直线和平面所成的角设直线设直线l的方向向量为的方向向量为a,平面平面的法向量为的法向量为n,直线与平面所成直线与平面所成的角为的角为，a与与n的夹角为的夹角为,
16、则：则：cos=sin cos=sin 或或sin=|cos sin=|cos|，其中，其中cos.a na n(3)(3)求二面角求二面角如图所示，如图所示，PAPA平面平面于于A A，PBPB平面平面于于B B，平面，平面PABPAB交交l于于E E，则，则AEBAEB为二面角为二面角-l-的平面角，的平面角，AEB+APB=180AEB+APB=180.若若n1,n2分别是平面分别是平面，的法向量，则的法向量，则AEB=AEB=n1,n2或或-n1,n2，即二面角，即二面角等于它的两个半平面的法向量的等于它的两个半平面的法向量的夹角夹角(或夹角的补角或夹角的补角)，如图所示，如图所示，1
17、212cos.n n n n 当法向量当法向量n1与与n2的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角二面角的大小等于的大小等于n1,n2的大小的大小.如图所示如图所示.当法向量当法向量n1与与n2的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角二面角的大小等于的大小等于-n1,n2，如图所示，如图所示.【典例典例3 3】已知在棱长为已知在棱长为a a的正方体的正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD中中,E,F,E,F分别是分别是BC,ADBC,AD的中点的中点.(1)(1)求求ACAC与与DEDE所成角的余弦值所成角的余弦值
18、.(2)(2)求求ADAD与平面与平面BEDFBEDF所成角的余弦值所成角的余弦值.(3)(3)求平面求平面BEDFBEDF与平面与平面ABEDABED所成角的余弦值所成角的余弦值.【解析解析】建立如图所示的空间直角坐标系建立如图所示的空间直角坐标系.(1)(1)由已知得由已知得A(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),A(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),所以所以aE(a,0),2aA Ca,a,a,DE(a,0),2 故故ACAC与与DEDE所成角的余弦值为所成角的余弦值为(2)(2)由题意知由题意知ADE=ADF,ADE=ADF,所以所以ADAD在平面在平面B
19、EDFBEDF内的射影在内的射影在EDFEDF的平分线上的平分线上.又由已知得四边形又由已知得四边形BEDFBEDF为菱形，连接为菱形，连接DBDB，可知，可知DBDB为为EDFEDF的平分线，的平分线，A C DE15cosA C,DE.15A C DE 15.15故直线故直线ADAD与平面与平面BEDFBEDF所成的角为所成的角为ADBADB或其补角或其补角.由题意可知由题意可知A(0A(0，0 0，0)0)，B(a,0,a)B(a,0,a)，D(0,a,0),D(0,a,0),所以所以所以所以故故ADAD与平面与平面BEDFBEDF所成角的余弦值为所成角的余弦值为DA0,a,0,DBa,
20、a,a.DA DB3cosDA,DB.3DA DB 3.3(3)(3)由题意可知由题意可知A(0A(0，0 0，0)0)，A(0A(0，0 0，a)a)，B(a,0,a)B(a,0,a)，D(0,a,0)D(0,a,0)，所以平面所以平面ABEDABED的一个法向量为的一个法向量为下面求平面下面求平面BEDFBEDF的法向量，设的法向量，设n=(1,y,z)=(1,y,z)是平面是平面BEDFBEDF的一个法向量，的一个法向量，由由aE(a,0)2，AA0,0,a.aaED(a,0),EB(0,a),22 所以所以n=(1,2,1).=(1,2,1).所以所以所以平面所以平面BEDFBEDF与
21、平面与平面ABEDABED所成角的余弦值为所成角的余弦值为aay0,ED0,y2,2az1.EB0yaz0,2nn 所以所以解得，AA6cosAA,.6AAnnn 6.6类型类型 四四 用空间向量求空间距离用空间向量求空间距离求空间距离的步骤及方法求空间距离的步骤及方法求空间两点间的距离是求空间距离的基础，其基本步骤为：求空间两点间的距离是求空间距离的基础，其基本步骤为：(1)(1)用法向量求异面直线间的距离用法向量求异面直线间的距离如图如图a a，b b是两异面直线，是两异面直线，n与与a a和和b b的方向向量分别垂直，点的方向向量分别垂直，点Ea,Ea,FbFb，则异面直线，则异面直线a
22、 a与与b b之间的距离是之间的距离是EFd.nn(2)(2)用法向量求点到平面的距离用法向量求点到平面的距离如图如图已知已知ABAB是平面是平面的一条斜线，的一条斜线，n为平面为平面的法向量，则的法向量，则A A到平到平面面的距离为的距离为ABd.nn(3)(3)用法向量求直线到平面的距离用法向量求直线到平面的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题题转化成直线上一点到平面的距离问题.(4)(4)用法向量求两平行平面间的距离用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在
23、一个平面上任首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题.【典例典例4 4】如图，正四棱柱如图，正四棱柱ABCD-AABCD-A1B B1C C1D D1中，侧棱中，侧棱AAAA1=3=3，底面，底面边长边长AB=2AB=2，E E，F F分别为棱分别为棱BCBC，B B1C C1的中点的中点.(1)(1)求证：平面求证：平面BDBD1FF平面平面C C1DE.DE.(2)(2)求平面求平面BDBD1F F与平面与平面C C1DEDE间的距离间的距离.【解析解析】如图，分别以如图，分
24、别以DADA，DCDC，DDDD1所所在的直线为在的直线为x x，y y，z z轴，建立空间直角轴，建立空间直角坐标系，则坐标系，则D(0D(0，0 0，0)0)，C(0C(0，2 2，0)0)，D D1(0(0，0 0，3)3)，C C1(0(0，2 2，3)3)，B B1(2(2，2 2，3)3)，B(2B(2，2 2，0)0)，E(1E(1，2 2，0)0)，F(1F(1，2 2，3).3).(1)(1)所以所以 所以所以D D1FDE,FDE,又因为又因为所以所以 所以所以BFECBFEC1,又又D D1FBF=FFBF=F，DEECDEEC1=E=E，所以平面所以平面BDBD1FF平
25、面平面C C1DE.DE.1D F1 2 0 DE1 2 0，1D FDE，1BF1,0,3,EC1,0,3,1BFEC,(2)(2)由由(1)(1)可知平面可知平面BDBD1F F与平面与平面C C1DEDE间的距离等于点间的距离等于点D D1到平面到平面C C1DEDE的距离的距离.设平面设平面C C1DEDE的法向量的法向量n=(x,y,z),=(x,y,z),令令x=6,x=6,得得n=(6,-3,2),=(6,-3,2),所以点所以点D D1到平面到平面C C1DEDE的距离的距离所以平面所以平面BDBD1F F与平面与平面C C1DEDE间的距离为间的距离为11yx,DE0,x2y
26、0,21x3z0,EC0zx.3nn 由得得，11|D C|6|6d.77nn6.7类型类型 五五 与空间向量有关的探索性问题与空间向量有关的探索性问题 存在探索性问题的解答策略存在探索性问题的解答策略(1)(1)探索性、存在性问题是条件不完备和结论不确定的问题，探索性、存在性问题是条件不完备和结论不确定的问题，这类问题对学生解决问题、处理问题的能力要求较高这类问题对学生解决问题、处理问题的能力要求较高.立体几立体几何中的探索性、存在性问题，是比较有思维层次的，对能力何中的探索性、存在性问题，是比较有思维层次的，对能力要求较高要求较高.利用向量的方法，可将这类问题由立体几何问题转利用向量的方法
27、，可将这类问题由立体几何问题转化成代数的方程式或不等式求解的问题，降低了问题的难度化成代数的方程式或不等式求解的问题，降低了问题的难度.(2)(2)解答存在探索性问题解答存在探索性问题,一般要先对结论作出肯定存在的假一般要先对结论作出肯定存在的假设设,然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若推出合理的结论，则存在性也随之解决若推出合理的结论，则存在性也随之解决;若推出矛盾，则否若推出矛盾，则否定了存在性定了存在性.【典例典例5 5】已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1B B1C C1D D1棱长为棱长为2 2，则在棱，则在
28、棱CCCC1上是上是否存在一点否存在一点P(P(不与点不与点C C，C C1重合重合)，使得平面，使得平面PDBPDB与平面与平面BCBC1D D的的夹角为夹角为3030？若存在，求出？若存在，求出CPCP的长；若不存在，请说明理的长；若不存在，请说明理由由【解析解析】假设存在这样的假设存在这样的P P点，如图，以点，如图，以D D点为原点，建立空点为原点，建立空间直角坐标系间直角坐标系则则D(0,0,0),B(2,2,0),CD(0,0,0),B(2,2,0),C1(0,2,2),(0,2,2),设设P(0,2,)(02)P(0,2,)(02)所以所以设平面设平面PDBPDB与平面与平面BC
29、BC1D D的法向量分别为的法向量分别为n1=(x=(x1,y,y1,z,z1),),n2=(x=(x2,y,y2,z,z2)，取取n1=(,-,2)=(,-,2)同理，同理，可取平面可取平面BCBC1D D的一个法向量的一个法向量n2=(1,-1,1)=(1,-1,1)1DP0,2,DB2,2,0,DC0,2,2.111111DP0,2yz0,2x2y0,DB0 由得，nn221DB0DC0nn ，由若平面若平面PDBPDB与平面与平面BCBC1D D的夹角为的夹角为3030，则，则解得解得因为因为0202，而，而所以存在点所以存在点P P，使得平面，使得平面PDBPDB与平面与平面BCBC
30、1D D的夹角为的夹角为3030，这时，这时1212212|22|3cos 30|cos,|23 24n n n nn n ，83 6，83 60,2,83 60,2.CP83 6.【互动探究互动探究】若本题条件不变，所求问题改为若本题条件不变，所求问题改为“在棱在棱CCCC1上是上是否存在一点否存在一点P(P(不与点不与点C C，C C1重合重合)，使得平面，使得平面PBDPBD与平面与平面BDCBDC夹夹角的大小为角的大小为3030”，结果如何？，结果如何？【解析解析】建系同本例解析，且点建系同本例解析，且点P P的设法相同的设法相同由本例解答知，平面由本例解答知，平面PDBPDB的一个法
31、向量为的一个法向量为n1=(,-,2)=(,-,2)，可知平面可知平面CBDCBD的一个法向量为的一个法向量为若二面角若二面角P-BD-CP-BD-C的大小为的大小为3030，则，则1CC0,0,2 1111211|CC|43cos 30|cos,CC|CC22 24n nn ，解得解得因为因为0202，而，而所以存在点所以存在点P P，使得平面，使得平面PBDPBD与平面与平面BDCBDC夹角的大小为夹角的大小为3030，这，这时时63 660,20 2,33，6CP31.1.已知已知A(2,-5,1)A(2,-5,1)，B(2,-2,4)B(2,-2,4)，C(1,C(1,-4,1)-4,
32、1)，则，则 的夹角为的夹角为()()A.30A.30 B.45 B.45 C.60 C.60 D.90 D.90ABAC 与C.AB0,3,3,AC1,1,0.AB,ACAB AC31cos23 22|AB|ACAB,AC60.【解选设，则，所以析】2.2.如图，空间四边形如图，空间四边形ABCDABCD中，中，E,FE,F分别分别是是BC,CDBC,CD的中点，则的中点，则 等于等于()()A.B.C.D.A.B.C.D.【解析解析】选选C.C.11ABBCBD22 AD FA AF EF11ABBCBDABBEEFAF.22 3.3.已知已知|a|=2,|=2,|b|=3,|=3,a,b
33、=120=120,则则|2|2a+3+3b|=()|=()A.B.97 C.D.61A.B.97 C.D.61【解析解析】选选C.|2C.|2a+3+3b|2=4=4a2+12+12ab+9+9b2976114 4 12 2 3()9 961,2|23|61.ab 所以4.4.与向量与向量a=(1=(1，2 2，3)3)，b=(3=(3，1 1，2)2)都垂直的向量为都垂直的向量为()()A.(1A.(1，7 7，5)B.(15)B.(1，-7-7，5)5)C.(-1C.(-1，-7-7，5)5)D.(1 D.(1，-7-7，-5)-5)【解析解析】选选C.C.经验证：经验证：(-1(-1，-
34、7-7，5)5)(1(1，2 2，3)=-1-14+15=0,3)=-1-14+15=0,(-1(-1，-7-7，5)5)(3(3，1 1，2)=-3-7+10=02)=-3-7+10=0，故选，故选C.C.5.5.在几何体中，在几何体中，EAEA平面平面ABCABC，DBDB平面平面ABCABC，ACBCACBC，AC=BC=BD=2AEAC=BC=BD=2AE，M M是是ABAB的中点的中点,则直线则直线CMCM与平面与平面CDECDE夹角的大小夹角的大小为为_._.【解析解析】如图，以点如图，以点C C为坐标原点，以为坐标原点，以CA,CBCA,CB所在的直线分别为所在的直线分别为x x
35、轴、轴、y y轴，过轴，过点点C C作与平面作与平面ABCABC垂直的直线为垂直的直线为z z轴，建轴，建立空间直角坐标系立空间直角坐标系.设设 则则A(2a,0,0),B(0,2a,0),E(2a,0,a),A(2a,0,0),B(0,2a,0),E(2a,0,a),D(0,2a,2a),M(a,a,0).D(0,2a,2a),M(a,a,0).设向量设向量n=(x=(x0,y,y0,z,z0)为平面为平面CDECDE的一个法向量，的一个法向量，EAa，令令x x0=1,=1,则则y y0=2,z=2,z0=-2.=-2.所以所以n=(1=(1，2 2，-2).-2).所以所以即即 与与n的
36、夹角为的夹角为4545.故直线故直线CMCM与平面与平面CDECDE夹角的大小为夹角的大小为4545.答案：答案：45450000CE,CD.CE0,CD0.CE2a,0,a,CD0,2a,2a,2axaz0,2ay2az0.nnnn 则所以因为所以CM2cosCM,2CMnnnCM6.6.直角直角ABCABC的两条直角边的两条直角边BCBC3 3，ACAC4 4，PCPC平面平面ABCABC，则点则点P P到斜边到斜边ABAB的距离是的距离是_【解析解析】以以C C为坐标原点，为坐标原点，CACA，CBCB，CPCP为为x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴建立轴建立如图所示的空间直角坐标系如
37、图所示的空间直角坐标系则则A(4,0,0)A(4,0,0)，B(0,3,0)B(0,3,0)，9PC5，9P(0 0)5，所以所以所以所以 在在ABAB上的投影长为上的投影长为所以所以P P到到ABAB的距离为的距离为答案：答案：3 39AB4,3,0 AP(4 0)5 ，AP|AP AB|165AB ，221681256dAP()163.52525 7.7.已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1B B1C C1D D1.求证：求证：(1)AD(1)AD1平面平面BDCBDC1.(2)A(2)A1CC平面平面BDCBDC1.【证明证明】以以D D为坐标原点，建立如图所为坐标原点，建立如
38、图所示的空间直角坐标系示的空间直角坐标系Dxyz.Dxyz.设正方体的棱长为设正方体的棱长为1 1，则有，则有D(0D(0，0 0，0)0)，A(1A(1，0 0，0)0)，D D1(0(0，0 0，1)1)，A A1(1(1，0 0，1)1)，C(0C(0，1 1，0)0)，B(1B(1，1 1，0)0)，C C1 1(0(0，1 1，1)1)，设设n=(x,y,z)=(x,y,z)为平面为平面BDCBDC1的一个法向量，的一个法向量，1DB110 DC011 ，11AD101 A C111.，1DBDC,(x,y,z)1100,(x,y,z)0110,xy0,yz0nn 则，所以，所以，令
39、令x=1x=1，则，则n=(1=(1，-1-1，1).1).(1)(1)由由又因为又因为ADAD1 平面平面BDCBDC1,所以所以ADAD1平面平面BDCBDC1.(2)(2)由由n=(1=(1，-1-1，1)1)，所以所以A A1CC平面平面BDCBDC1.11AD(111)1010AD.nn ，知1A C(111)，11A CA C,nn 知，即8.8.在三棱锥在三棱锥S-ABCS-ABC中，中，ABCABC是边长为是边长为4 4的正三角形，平面的正三角形，平面SACSAC平面平面ABCABC，M M为为ABAB的中点的中点.试问在线段试问在线段SBSB上是否存在一点上是否存在一点N N
40、使二面角使二面角N-CM-BN-CM-B的余弦值为的余弦值为SASC2 3，13？【解析解析】如图所示，取如图所示，取ACAC的中点的中点O O，连接，连接OSOS，OBOB，因为因为SA=SC,AB=BC,SA=SC,AB=BC,所以所以ACSOACSO且且ACBO.ACBO.因为平面因为平面SACSAC平面平面ABC,ABC,所以所以SOSO平面平面ABCABC，所以所以SOBO.SOBO.建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系OxyzOxyz，则，则A(2A(2，0 0，0)0)，C(-2C(-2，0 0，0)0)，设设n=(x,y,z)=(x,y,z)为平面为平面CMNCMN的一个法向量
41、，的一个法向量，B 0 2 3 0，S 0 0 2 2M 13 0.，6N(0,a,2 2a).CM3,3,0,36MN(1,a3,2 2a).3 设于是CM3x3y0,6MNxy a3z(2 2a)0,3nn 则又又 为平面为平面ABCABC的一个法向量，的一个法向量，于是有于是有所以在线段所以在线段SBSB上存在点上存在点N N，使二面角，使二面角N-CM-BN-CM-B的余弦值为的余弦值为2 33ax1y3z,2a2 62 33a(1,3,).2a2 6n 取，则，所以OS(0 0 2 2)，|OS|1|cosOS|a3,N 0,3,2,3|OS|nnn ，解得即1.39.9.在棱长为在
42、棱长为4 4的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1B B1C C1D D1中，点中，点P P在棱在棱CCCC1上，且上，且CCCC1=4CP.=4CP.(1)(1)求直线求直线APAP与平面与平面BCCBCC1B B1所成角的正弦值所成角的正弦值.(2)(2)求点求点P P到平面到平面ABDABD1的距离的距离.【解析解析】如图，建立空间直角坐标系如图，建立空间直角坐标系DxyzDxyz，(1)(1)因为棱长为因为棱长为4 4，所以所以A(4A(4，0 0，0)0)，B(4B(4，4 4，0)0)，P(0P(0，4 4，1)1)，所以所以 显然显然 为平面为平面BCCBCC1B B1的一个的一个法向量，法向量，AP4 41 ，DC(0 4 0)，所以直线所以直线APAP与平面与平面BCCBCC1B B1所成的角所成的角的正弦值的正弦值 (2)(2)设平面设平面ABDABD1的一个法向量为的一个法向量为n=(x,y,1),=(x,y,1),所以所以n=(1=(1，0 0，1)1)，所以点所以点P P到平面到平面ABDABD1的距离的距离222164 33sincosAP,DC.334414 11AB0,4,0,AD4 0 44y0,ABAD4x40nn 因为，由，得，|AP|3 2d.2nn
