1、本章内容2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第二章 小结知识要点复习参考题自我检测题1.三个公理 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.三推论:两相交直线确定平面;两平行直线确定平面;直线外的点与直线确定平面.公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.返回目录2.线线之间的位置关系相交平行异面共面判定两直线平行的公理 4:平行于同一条直线的两直线互相平行.3.两异面直线所成的角 角的范围(0,90.由定
2、义找角:垂直相交非钝角,且两边分别平行两异面直线.异面垂直,无垂足.4.线面平行的判定定理b a,a a,b/a,ba.la,l b,ba=m lm.由线线平行得线面平行.5.线面平行的性质定理由线面平行得线线平行.aa,ba,ab,ab,bb,ab.ab,ga=a,gb=b,ab.6.面面平行的判定定理由线面平行得面面平行.7.面面平行的性质定理由面面平行得线线平行.8.线面垂直的定义 若直线 l 垂直平面 a 内的任意一直线,则叫 la.应用:若 la,则 l 垂直平面 a 内的任意一直线.la,ma,lm.过空间任意一点,有且只有一条直线和已知平面垂直.9.线面垂直的判定定理 如果一条直
3、线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.la,lb,ab=P,la.aa,ba,两平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面.10.三垂线定理 如果平面内的一条直线垂直平面的斜线,则这条直线垂直斜线在平面上的射影;如果平面内的一条直线垂直平面的一条斜线在平面上的射影,则这条直线垂直斜线.11.直线和平面所成的角 斜线与斜线在平面上的射影的夹角(锐角).垂线与平面所成的角为90.平行线或在平面内的直线与平面所成的角为 0.斜线和平面所成的角是斜线和平面内所有直线所成角中最小的.两条平行线和同一个平面所成的角相等.12.直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面
4、的两条直线平行.l1a,l2a,l1/l2.由线面垂直得线线平行.13.二面角及它的平面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.以二面角的棱上任意一点为端点,在两个半面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.二面角的大小由它的平面角确定.14.两平面垂直的判定 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.ablla,l b,ba.15.平面与平面垂直的性质 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与于另一个平面垂直.ab,ab=m,lm,l a,lb.abml 两平面垂直,平行于一平面的直线垂直于另一平面.返回目录A 组 1.三个平面可将空间分成几部
5、分?你能画出它们的直观图吗?答:三个平面可将空间分成 4个、或 6个、或 7个、或 8个部分.4部分abg6部分abg7部分8部分abgbag复习参考题 2.如图,一块正方体形木料的上底面上有一点 E,经过点 E 在上底面上画一条直线与 CE 垂直,怎样画?ABCDA1B1C1D1EMN画法:连结C1E,过点 E 作 MNC1E.在平面A1C1内,则 MN就是所要求作的直线.CC1平面A1C1,MN平面A1C1,MNCC1.所作 MNC1E,其理由:则 MN平面C1EC,得 MNCE.3.证明:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.如图,已知直线 ab=A,bc=B,ca=C.求证
6、a,b,c 共面.证明:ab=A,a、b 确定平面,设为 a,则 aa,ba,得 Ca,Bb,a、b、c 共面于 a.a又 ca=C,cb=B,ABCabc于是得 Ca,Ba,即得 ca,4.如图,正方体的棱长是 a,C,D 分别是两条棱的中点.(1)证明四边形 ABCD 是一个梯形;(2)求四边形 ABCD 的面积.证明:如图,连结上底面C,D是两棱中点,ACBDAB而 AB/AB,且AB=AB,CD/AB,且CDAB,则ABCD是梯形.(1)对角线AB,CD/AB,且ACBDAB 4.如图,正方体的棱长是 a,C,D 分别是两条棱的中点.(1)证明四边形 ABCD 是一个梯形;(2)求四边
7、形 ABCD 的面积.解:在底面正方形中求得如图,在RtOOE中可求得梯形ABCD的面积为(2)OEO梯形的高 OE=E 5.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1中,AE=A1E1,AF=A1F1,求证 EF/E1F1,且 EF=E1F1.证明:连结EE1,FF1,在正方体中,AEA1E1,AFA1F1,又知 AE=A1E1,AF=A1F1,AEE1A1和AFF1A1是,则 EE1/AA1,且EE1=AA1,FF1/AA1,且FF1=AA1,四边形EE1F1F是,得 EE1/FF1,且EE1=FF1,则 EF/E1F1,且EF=E1F1.AA1EFE1F1BCDB1C1D1 6.如图,长方
8、体的三个面的对角线长分别是 a,b,c,求长方体对角线 AC 的长.AADCDCBBabc解:设长方体中同一顶点处的三条棱长为 x,y,z,而 AC2=AC2+CC2=AB2+BC2+CC2xyz则 a2=x2+y2,b2=y2+z2,c2=z2+x2,=x2+y2+z2 7.如图,四棱锥 V-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为 的等腰三角形,试画出二面角 V-AB-C 的平面角,并求它的度数.5ABCDVEF解:分别取 AB、CD 的中点E、F,连结 VE、EF,则VEF就是二面角V-AB-C的平面角.连结VF,由已知可得VF=VE=2,又 EF=
9、2,VEF=60,即二面角 V-AB-C 的度数是60.8.已知 a,b,g 是三个平面,且 ab=a,ag=b,bg=c,且ab=O.求证 a,b,c 三线共点.bgabac证明:ab=O,得 Oa,Ob,ab=a,ab,ag=b,bg,Ob,Og,即O为 b 与 g 的公共点,而 bg=c,交线 c 必过 O 点,则 a,b,c 三线共点O.9.如图,平面 a、b、g 两两相交,a、b、c 为三条交线,且 a/b,求证 a/b/c.bagabc ab,证明:gb=b,ag,a/b.同理,ab,ab=c,aa,a/c.于是得 b/c,得 a/b/c.10.如图,ab=AB,PCa,PDb,C
10、,D 是垂足,试判断直线 AB 与 CD 的位置关系?并证明你的结论.答:ABCD.证明:ab=AB,ABa,ABb.而 PCa,PDb,PCAB,PDAB.则 AB平面PCD.而 CD平面PCD,ABCD.abABCDPB 组 1.如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,(1)点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,将AED,DCF 分别沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于点 A,求证:ADEF.(2)当 BE=BF=BC 时,求三棱锥 AEFD 的体积.41ABCDEFABEDF(1)证明:DAAE,DCCF,DAAE,DAAF,则 DA平面 AEF,于是得 DAEF
11、.B 组 1.如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,(1)点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,将AED,DCF 分别沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于点 A,求证:ADEF.(2)当 BE=BF=BC 时,求三棱锥 AEFD 的体积.41ABCDEFABEDF(2)解:BC=2,则得HAEF的高AH=B 组 1.如图,边长为 2 的正方形 ABCD 中,(1)点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点,将AED,DCF 分别沿 DE,DF 折起,使 A,C 两点重合于点 A,求证:ADEF.(2)当 BE=BF=BC 时,求三棱锥 AEFD 的体积.41A
12、BCDEFABEDF(2)解:BC=2,则得HAEF的高AH=AD=AD=2,三棱锥 AEFD 的体积为 2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:(1)B1D平面A1C1B;(2)B1D与平面A1C1B的交点H是A1C1B的重心(三角形三条中线的交点).ABCDA1B1C1D1H(1)证明:连结B1D1,则A1C1B1D1,又A1C1D1D,A1C1平面B1D1D,则A1C1B1D.同理,连结B1C,可得BC1B1D.B1D平面A1C1B.2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:(1)B1D平面A1C1B;(2)B1D与平面A1C1B的交点H是A1C1B的重心(三角
13、形三条中线的交点).设A1C1B1D1=O,则O,H,B是平面A1BC1与平(2)证明:ABCDA1B1C1D1H面B1BDD1的公共点,即B,H,O共线.而O点是A1C1的中点,即BO是A1C1B的中线.O同理,设BC1B1C=E,EA1,H,E共线且是A1C1B的中线.H是A1C1B的重心.自我检则题返回目录自我检测题一、选择题.1.如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的图是()2.下列命题中,错误的命题是()(A)平行于同一直线的两个平面平行 (B)平行于同一平面的两个平面平行 (C)一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么这条直线
14、必与另一个相交 (D)一条直线与两个平行平面所成的角相等 3.在正体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于()(A)AC (B)BD (C)A1D (D)A1D1 4.下列命题中,正确的是()(A)一个平面把空间分成两部分 (B)两个平面把空间分成三部分 (C)三个平面把空间分成四部分 (D)四个平面把空间分成五部分 5.已知直线l平面a,直线m平面b,有下列命题:a/blm;abl/m;l/mab;lma/b.其中正确的命题是()(A)与 (B)与 (C)与 (D)与PQRS(A)PQRS(B)PQRS(C)PQRS(D)二、填空题.6.若点M在直线a上,a 在
15、平面 a 上,则 M,a,a 间的关系可用集合语言表示为 .7.设 a,b,c 是空间的三条直线,下面给出四个命题:若 ab,bc,则 a/c;若 a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则 a,c 也是异面直线;若 a 和 b 相交,b 和 c 相交,则 a 和 c 也相交;若 a 和 b 共面,b 和 c 共面,则 a 和 c 也共面.其中真命题的个数是 .三、解答题.8.(1)用符号语言表示语句:“直线 l 经过平面 a内一定点 P,但 l 在 a 外”,并画出图形.(2)把下面的符号语言改写成文字语言的形式,并画出图形.若直线 a平面a,Aa,Aa,A直线 b,a/b,则 ba.9.如
16、图,在长方体 ABCD-ABCD 中,指出 BC,DB 所在直线与各个面所在平面的关系.10.如图,过点 S 引三条不共面的直线 SA,SB,SC,其中BSC=90,ASC=ASB=60,且SA=SB=SC=a.求证:平面 ABC平面 BSC.ABCDABCDSACB 一、选择题.1.如图,点 P,Q,R,S 分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线 PQ 与 RS 是异面直线的图是()PQRS(A)PQRS(B)PQRS(C)PQRS(D)平行平行相交异面C 2.下列命题中,错误的命题是()(A)平行于同一直线的两个平面平行 (B)平行于同一平面的两个平面平行 (C)一条直线与两个
17、平行平面中的一个相交,那么这条直线必与另一个相交 (D)一条直线与两个平行平面所成的角相等A 3.在正体 ABCD-A1B1C1D1 中,若 E 是 A1C1 的中点,则直线 CE 垂直于()(A)AC (B)BD (C)A1D (D)A1D1ABCDA1B1C1D1E分析:如图,(A)AC 与 CE 相交,排除.(B)直观 BD 可能垂直 CE.BDAC,且 BDCC1,则 BD平面 ACC1A1,而 CE平面 ACC1A1,BDCE.B4.下列命题中,正确的是()(A)一个平面把空间分成两部分 (B)两个平面把空间分成三部分 (C)三个平面把空间分成四部分 (D)四个平面把空间分成五部分A
18、一个平面如图.两个平面如图.三个平面如图.四个平面如图.5.已知直线 l平面 a,直线 m平面 b,有下列命题:a/blm;abl/m;l/mab;lma/b.其中正确的命题是()(A)与 (B)与 (C)与 (D)与almbalmbalmbalmb成立反例成立反例D 二、填空题.6.若点 M 在直线 a 上,a 在平面 a 内,则 M,a,a 间的关系可用集合语言表示为 .Ma,aa 7.设 a,b,c 是空间的三条直线,下面给出四个命题:若 ab,bc,则 a/c;若 a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则 a,c 也是异面直线;若 a 和 b 相交,b 和 c 相交,则 a 和 c
19、也相交;若 a 和 b 共面,b 和 c 共面,则 a 和 c 也共面.其中真命题的个数是 .ABCDA1B1C1D1abc反例如图.bc反例如图.反例如图.反例如图.0 个 三、解答题.8.(1)用符号语言表示语句:“直线 l 经过平面 a内一定点 P,但 l 在 a 外”,并画出图形.(2)把下面的符号语言改写成文字语言的形式,并画出图形.若直线 a平面 a,Aa,Aa,A直线 b,a/b,则 ba.解:(1)Pl,Pa,la.aPl 三、解答题.8.(1)用符号语言表示语句:“直线 l 经过平面 a内一定点 P,但 l 在 a 外”,并画出图形.(2)把下面的符号语言改写成文字语言的形式
20、,并画出图形.若直线 a平面 a,Aa,Aa,A直线 b,a/b,则 ba.解:(2)若直线 a 和点 A 都在平面 a 内,a 不经过点 A,直线 b 经过点 A 且平行于 a,则直线 b在平面 a 内.aAab 9.如图,在长方体 ABCD-ABCD 中,指出 BC,DB 所在直线与各个面所在平面的关系.ABCDABCD解:BC平面BBCC,BC/平面AADD,BC平面AABB=B,BC平面ABCD=C,BC平面CCDD=C,BC平面ABCD=B.DB平面ABCD=B,DB平面ABCD=D,DB平面AABB=B,DB平面BBCC=B,DB平面CCDD=D,DB平面DDAA=D.10.如图,过点 S 引三条不共面的直线 SA,SB,SC,其中BSC=90,ASC=ASB=60,且SA=SB=SC=a.求证:平面 ABC平面 BSC.SACB证明:ASC=ASB=60,SA=SB=SC=a.ASC ASB,AB=AC.取 BC 的中点 E,则 AEBC.E在等腰直角BSC 中,斜边中线 SE=CE.在等边三角形 ASC中,AC=AS.AES AEC.得AES=AEC,即 AEES.由知AE平面 BSC.AE平面 ABC,平面 ABC平面 BSC.
