1、微分方程微分方程求解求解总结总结求解流程图求解流程图1一阶齐次可分离变量一阶线性nyxQyxPy Bernoulli)()()(0)()(xydUdyxyQdxxyP全微分方程xQyP齐次 0)(yxpy非齐次 )()(xQyxpy）（或令uyxuxyxyyxfy )(),(dxxhdyyg)()(变易先求齐次通解，再常数)()()(CdxexQey dxxPdxxP 或公式或公式ny zn1 )1,0(令1.折线积分折线积分2.凑全微分凑全微分3.定积分定积分转为转为z的一阶线性的一阶线性关于关于u一阶一阶2二阶线性方程0)()()(210 yxayxayxa)()()(21xfyxayxa
2、y 二阶变系数二阶二阶一阶)(),(xpy yxfy 令令)(),(xypy yyfy 令令二阶常系数齐次 0 qyypy非齐次 )(xfqyypy 解的结构解的结构0 2qprry特征方程：代数解法，*2211yycycyxrxrececyrr212121 .1)(.221211xcceyrrxr)sincos(.3212,1xcxceyirx3高阶次连续积分nxfyn )()(方程Eulertnnnnnnexxfyyyxyx 令令 )(ppp1)1(11)(高阶线性齐次常系数01)1(1)(ypypypynnnn0111 nnnnprprpr 代数特征方程代数特征方程P338P3484一、
3、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1.一阶一阶标准标准类型方程求解类型方程求解 关键关键:辨别方程类型辨别方程类型,掌握求解步骤掌握求解步骤2.一阶一阶非标准非标准类型方程求解类型方程求解(1)变量代换法变量代换法 代换代换自变量自变量代换代换因变量因变量代换代换某组合式某组合式(2)积分因子法积分因子法 选积分因子选积分因子,解全微分方程解全微分方程四个标准类型四个标准类型:可分离变量方程可分离变量方程,齐次方程齐次方程,线性方程线性方程,全微分方程全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5例1.求下列方程的通解求下列方程的通解;01)1(32xyeyy提示提示:(1),33xy
4、xyeee因故为分离变量方程故为分离变量方程:通解通解;)2(22yyxyx;21)3(2yxy.2336)4(3223yyxyxxyxeyeyxydd32Ceexy331机动 目录 上页 下页 返回 结束 6方程两边同除以方程两边同除以 x 即为齐次方程即为齐次方程,0时xyyxyx22)2(时，0 x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令令 y=u x,化为分化为分离变量方程离变量方程.调换自变量与因变量的地位调换自变量与因变量的地位,221)3(yxy,2dd2yxyx用线性方程通解公式求解用线性方程通解公式求解.化为化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 732232336
5、)4(yyxyxxy方法方法 1 这是一个齐次方程这是一个齐次方程.方法方法 2 化为微分形式化为微分形式 0d)23(d)36(3223yyyxxyxx故这是一个全微分方程故这是一个全微分方程.xyu 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 xQyxyP68例2.求下列方程的通解求下列方程的通解:)lnln()1(yxyyyx提示提示:(1)令令 u=x y,得得(2)将方程改写为将方程改写为0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(220d)31(d)3()4(22yyxxyxyuxuxulndd)(ln)(yxyyxxyyxxxy2ln21dd3(贝努里方程
6、贝努里方程)2 yz令(分离变量方程分离变量方程)原方程化为原方程化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 9令 y=u tyyxxyxy22363)3(22)1(2)1(3dd22xyyxxy(齐次方程齐次方程)ytytty23dd22令 t=x 1,则则tyxttyxydddddddd可分离变量方程求解可分离变量方程求解化方程为化方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 100d)31(d)3()4(22yyxxyxy变方程为变方程为yxxydd2两边乘积分因子两边乘积分因子2 y0)dd(3dd2yxxyyyxx用凑微分法得通解用凑微分法得通解:Cyxyx321120)dd(32yxxyy
7、机动 目录 上页 下页 返回 结束 11例例3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设F(x)f(x)g(x),其中函数其中函数 f(x),g(x)在在(,+)内满足以下条件内满足以下条件:,0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1)求求F(x)所满足的一阶微分方程所满足的一阶微分方程;(03考研考研)(2)求出求出F(x)的表达式的表达式.解解:(1)()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程满足的一阶线性非齐次微分方程:.2)()(xexgxf12机动 目录
8、上页 下页 返回 结束(2)由一阶线性微分方程解的公式得由一阶线性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d22d2Cxeexxd442代入上式，将0)0()0()0(gfF1C得于是于是 xxeexF22)(xexFxF24)(2)(xxCee2213练习题练习题:(题3只考虑方法及步骤)P353 题题2 求以求以1)(22yCx为通解的微分方程为通解的微分方程.提示提示:1)(22yCx02)(2yyCx消去消去 C 得得1)1(22 yyP353 题题3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解:xyyyx2)1(提示提示:令 u=x y,化成可分离变量方程化成可分离变量方程:uu
9、2)1ln(ln)2(xxayxyx提示提示:这是一阶线性方程这是一阶线性方程,其中其中,ln1)(xxxP)ln11()(xaxQP353 题题1，2，3(1),(2),(3),(4),(5),(9),(10)机动 目录 上页 下页 返回 结束 14)ln(2dd)3(xyyxy提示提示:可化为可化为关于关于 x 的一阶线性方程的一阶线性方程yyxyyxln22dd0dd)4(33yxyxxy提示提示:为贝努里方程为贝努里方程,令令2 yz0dddd)5(22yxyxyyyyxx提示提示:为全微分方程为全微分方程,通解通解Cyxyxarctan)(21220dd)3()9(24xyxyxy提
10、示提示:可化为贝努里方程可化为贝努里方程xyxyxy43dd令令2xz 微分倒推公式微分倒推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 15原方程化为原方程化为 yxxy2)10(xyxu2,即即,22uuxy则则xydduxuuxudd)(22故原方程通解故原方程通解Cyxxyx23)(33222ddxuuxuuexd2Cueuud2d2Cuuud21222232uCu u2xuxdd2xuudd2提示提示:令令机动 目录 上页 下页 返回 结束 16二、两类二阶微分方程的解法二、两类二阶微分方程的解法 1.可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(dd22xfxy)dd,(dd
11、22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(),(ddpyfypp逐次积分求解逐次积分求解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 172.二阶线性微分方程的解法)(xfqyypy 常系数情形常系数情形齐次齐次非齐次非齐次代数法代数法 欧拉方程欧拉方程yx 2yxpyq)(xftDextdd,令qpDDD)1(y)(tef机动 目录 上页 下页 返回 结束,0 qyypy18二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:(1)(1)写出相应的特征方程写出相应的特征方程(2)(2)求出特征方程的两个根求
12、出特征方程的两个根;02 qprr(3)(3)根据特征方程的两个根的不同情况根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列按照下列规则写出微分方程的通解规则写出微分方程的通解；与与21rr21rr，特征方程的两个根特征方程的两个根微分方程的通解微分方程的通解21rr，两个不相等的实根两个不相等的实根21rr 两个相等的实根两个相等的实根 ir 2,1一对共轭复根一对共轭复根xrxreCeCy2121 xrexCCy1)(21 )sincos(21xCxCeyx 求解二阶常系数线性方程求解二阶常系数线性方程19非齐非齐)(xfqyypy *2211*yycycyYy 通解通解齐次通解齐次通解非齐特解非
13、齐特解难点：难点：如何求特解？如何求特解？方法：方法：待定系数法待定系数法.20 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k .i1,i0是单根是单根不是根不是根 k可可以以是是复复数数）(),()()1(xPexfmx);(*xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(*xxRxxRexymmxk (3).(3).上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.)(xfqyypy 21解答提示解答提示P353 题题2 求以求以xxeCeCy221为通解的微分方程为通解的微分方程.提示提示:由通解式可知特征
14、方程的根为由通解式可知特征方程的根为,2,121rr故特征方程为故特征方程为,0)2)(1(rr0232 rr即因此微分方程为因此微分方程为023 yyyP353 题题3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解,01)6(2 yyy.2sin52)7(xyyy 提示提示:(6)令,)(ypy 则方程变为则方程变为,01dd2 pyppyyypppd1d2即机动 目录 上页 下页 返回 结束 22特征根特征根:xyyy2sin52)7(,212,1ir齐次方程通解齐次方程通解:)2sin2cos(21xCxCeYx令非齐次方程特解为令非齐次方程特解为xBxAy2sin2cos*代入方程可得代入
15、方程可得174171,BA思思 考考若若(7)中非齐次项改为中非齐次项改为,sin2x提示提示:,sin22cos12xxxBxAy2sin2cos*故D原方程通解为原方程通解为xx2sin2cos174171)2sin2cos(21xCxCeyx特解设法有何变化特解设法有何变化?机动 目录 上页 下页 返回 结束 23P354 题4(2)求解求解02 yay,00 xy10 xy提示提示:令),(xpy 则方程变为则方程变为2ddpaxp积分得积分得,11Cxap利用利用100 xxyp11C得再解再解,11ddxaxy并利用并利用,00 xy定常数.2C思考思考若问题改为求解若问题改为求解
16、0321 yy,00 xy10 xy则求解过程中得则求解过程中得,112xp问开方时问开方时正负号如何确定正负号如何确定?机动 目录 上页 下页 返回 结束 24P354 题8 设函数设函数222,)(zyxrrfu在 r 0内内满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程,0222222zuyuxu)(rf其中二阶可导二阶可导,且且,1)1()1(ff试将方程化为以试将方程化为以 r 为自变为自变量的常微分方程量的常微分方程,并求并求 f(r).提示提示:rxrfxu)(2222)(rxrfxu )(rf r132rx利用对称性利用对称性,0)(2)(rfrrf即即0)(2)(2 rfrrfr(欧拉方程
17、欧拉方程)原方程可化为原方程可化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 250)(2)(2 rfrrfr,lnrt 令1)1()1(ff.12)(rrf解初值问题解初值问题:,ddtD 记则原方程化为则原方程化为 02)1(fDDD02fDD即通解通解:teCCrf21)(rCC121利用初始条件得特解利用初始条件得特解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 26xxCxCysincos21特征根特征根:,2,1ir例1.求微分方程求微分方程2,xxyy,00 xy,00 xy提示提示:,2时当x故通解为故通解为)(sin2xxxy2,04 xyy满足条件满足条件2x在解满足解满足xyy,00 x
18、y00 xy处连续且可微的解处连续且可微的解.设特解设特解:,BAxy代入方程定代入方程定 A,B,得得xy,0,000 xxyy利用得机动 目录 上页 下页 返回 结束 272x由处的衔接条件可知处的衔接条件可知,2时当x04 yy,122xy12xy解满足解满足故所求解为故所求解为y,sinxx 2221,2cos)1(2sinxxx2xxCxCy2cos2sin21其通解其通解:定解问题的解定解问题的解:2221,2cos)1(2sinxxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 28例2.,)(二阶导数连续设xf且满足方程xtdtftxxxf0)()(sin)(.)(xf求提示提示:,)
19、()(sin)(00 xxtdtfttdtfxxxf则xxfcos)()(sin)(xfxxf xtdtf0)()(xfx)(xfx问题化为解初值问题问题化为解初值问题:xxfxfsin)()(,0)0(f1)0(f最后求得最后求得xxxxfcos2sin21)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 29思考思考:设,0)0(,d)()(0 xxuuxxex?)(x如何求提示提示:对积分换元对积分换元,uxt 令则有xxttex0d)()()()(xexx 解初值问题解初值问题:xexx)()(,0)0(1)0(答案答案:xxexex41)12(41)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 30的
20、解的解.例例3.设函数设函数),()(在xyy,)()(,0的函数是xyyyxxy内具有连续二阶导内具有连续二阶导机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)试将试将 xx(y)所满足的微分方程所满足的微分方程 变换为变换为 yy(x)所满足的微分方程所满足的微分方程;(2)求变换后的微分方程满足初始条件求变换后的微分方程满足初始条件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx,0)0(y数,且23)0(y解解:,1ddyyx,1ddyxy即上式两端对上式两端对 x 求导求导,得得:(1)由反函数的导数公式知由反函数的导数公式知(03考研考研)31机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)(dddd
21、222 yyxyxy222)(ddddyyxyyx 3)(yy 代入原微分方程得代入原微分方程得 xyysin (2)方程的对应齐次方程的通解为方程的对应齐次方程的通解为 xxeCeCY21设的特解为设的特解为,sincosxBxAy代入得代入得 A0,21B,sin21xy故从而得的通解从而得的通解:32题 目录 上页 下页 返回 结束 xeCeCyxxsin2121由初始条件由初始条件,23)0(,0)0(yy得1,121CC故所求初值问题的解为故所求初值问题的解为 xeeyxxsin2133例4.解解:欲向宇宙发射一颗人造卫星欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球为使其摆脱地球 引力引
22、力,初始速度应不小于第二宇宙速度初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度试计算此速度.设人造地球卫星质量为设人造地球卫星质量为 m,地球质量为地球质量为 M,卫星卫星的质心到地心的距离为的质心到地心的距离为 h,由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得:222ddhmMGthm00dd,vthRht,0v为(G 为引力系数为引力系数)则有初值问题则有初值问题:222ddhMGth又设卫星的初速度又设卫星的初速度，已知地球半径51063R机动 目录 上页 下页 返回 结束 34),(ddhvth设,dddd22hvvth则代入原方程代入原方程,得得2ddhMGhvvhhMGvvdd2两边积分得两边积分
23、得ChMGv221利用初始条件利用初始条件,得得RMGvC2021因此因此RhMGvv112121202221limvhRMGv12120注意到注意到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 35为使为使,0v应满足0vRMGv20因为当因为当h=R(在地面上在地面上)时时,引力引力=重力重力,)sm81.9(22ggmhmMG即,2gRMG故代入代入即得即得81.910632250gRv)s(m102.113这说明第二宇宙速度为这说明第二宇宙速度为 skm2.11机动 目录 上页 下页 返回 结束 36求质点的运动规求质点的运动规例5.上的力上的力 F 所作的功与经过的时间所作的功与经过的时间
24、t 成正比成正比(比例系数比例系数,00vs初始速度为初始位移为).(tss 律提示提示:,d0tksFss由题设两边对两边对 s 求导得求导得:stkFdd牛顿第二定律stktsmdddd22mktsts22ddddtdd2ddtsmk2 2ddts12 Ctmk为为 k),开方如何定开方如何定+?已知一质量为已知一质量为 m 的质点作直线运动的质点作直线运动,作用在质点作用在质点机动 目录 上页 下页 返回 结束 37例6.一链条挂在一钉子上一链条挂在一钉子上,启动时一端离钉子启动时一端离钉子 8 m,另一端离钉子另一端离钉子 12 m,如不计钉子对链条所产生的摩擦如不计钉子对链条所产生的
25、摩擦 力力,求链条滑下来所需的时间求链条滑下来所需的时间.解解:建立坐标系如图建立坐标系如图.设在时刻设在时刻 t,链条较长一段链条较长一段xox下垂下垂 x m,又设链条线密度为常数又设链条线密度为常数,此时链条受力此时链条受力Fgxgx)20(gx)10(2由牛顿第二定律由牛顿第二定律,得得22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttxgxgtx10dd22机动 目录 上页 下页 返回 结束 38101.021.01tgtgeCeCx由初始条件得由初始条件得,121 CC故定解问题的解为故定解问题的解为解得解得24)10(1021.0 xxetg),1(舍去另一根左端当 x=20
26、 m 时,(s)625ln(10gt微分方程通解微分方程通解:101.01.0tgtgeex思考思考:若摩擦力为链条若摩擦力为链条 1 m 长的重量长的重量,定解问题的定解问题的数学模型是什么数学模型是什么?机动 目录 上页 下页 返回 结束 39摩擦力为链条摩擦力为链条 1 m 长的重量长的重量 时的数学模型为时的数学模型为xox不考虑摩擦力时的数学模型为不考虑摩擦力时的数学模型为g1(s)322419ln10gt22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx22dd20txgx)10(2,120tx0dd0ttx此时链条滑下来此时链条滑下来所需时间为所需时间为机动 目录 上页 下
27、页 返回 结束 40yoy练习题练习题从船上向海中沉放某种探测仪器从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测按探测要求要求,需确定仪器的下沉深度需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度与下沉速度 v 之间的函之间的函数关系数关系.设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力作用在下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为设仪器质量为 m,体积为体积为B,海水比重为海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成正仪器所受阻力与下沉速度成正 比比,比例系数为比例系数为 k(k 0),试建立试建立 y 与与 v 所满足的微分所满足的微分方程方程,并求
28、出函数关系式并求出函数关系式 y=y(v).(95考研考研)提示提示:建立坐标系如图建立坐标系如图.质量 m体积 B由牛顿第二定律由牛顿第二定律B22ddtymvk重力重力浮力浮力 阻力阻力mgtvtydddd22tyyvddddyvvdd注意注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 41BgmvkBgmkBgmmvkmyln)(2vkBgmyvvmdd初始条件为初始条件为00yv用分离变量法解上述初值问题得用分离变量法解上述初值问题得yoy质量 m体积 B得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 42)()(xfyxy 有特有特,1xy 解而对应齐次方程有解而对应齐次方程有解,2xy 及求)(
29、,)(xfx微分方程的通解微分方程的通解.解解:,0)(2 yxyxy代入将xx1)(得代入再将xy1)(1xfyxy 33)(xxf得故所给二阶非齐次方程为故所给二阶非齐次方程为331xyxy),(xpy 令方程化为方程化为331xpxp1.设二阶非齐次方程设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 43331xpxp故py xxed1xCx121再积分得通解再积分得通解2211CxCxy)(1211CC1d13d3Cxexxx)()(xfyxpyCxexfeyxxpxxpd)(d)(d)(复习复习:一阶线性微分方程通解公式一阶线性微分方程通解公式
30、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 44 2.!)3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn(1)验证函数验证函数)(x满足微分方程满足微分方程;xeyyy(2)利用利用(1)的结果求幂级数的结果求幂级数!)3(30nxnn的和的和.解解:(1)!)3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn!)13(!8!5!2)(13852nxxxxxyn!)23(!7!4)(2374nxxxxxyn机动 目录 上页 下页 返回 结束(02考研考研)45!0nxnn所以所以 yyyxe(2)由由(1)的结果可知所给级数的和函数满足的结果可知所给级数的和函数满足xeyyy,1)0(y0)0(y其特征方程其特征方程:,012 rr特征根特征根:ir23212,1齐次方程通解为齐次方程通解为)23sin23cos(2121xCxCeYx设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为,xeAy 代入原方程得代入原方程得,31A故非齐次方程通解为故非齐次方程通解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 46xe31)23sin23cos(2121xCxCeyx代入初始条件可得代入初始条件可得0,3221CC故所求级数的和故所求级数的和)(3123cos3221xexexx!)3(30nxnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 47
