1、理科数学试题 第 1 页（共 4 页） 丹东市 2020 年高三线上教学质量监测 理科数学 本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴 在条形码区域内。 2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂
2、改液、修正带、 刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1设全集 U0，1，2，3，4，若 A0，2，3，B2，3，4，则(UA)(UB) A B1 C0，2 D1，4 2已知 i 是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“(abi)22i”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 3若 AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线，AB (2，4)，AC (1，3)，则AD A(3，7) B(3，7) C(1，1) D(1，1) 4设 alog2e，bln2，clog1 2
3、 1 3，则 Aabc Bbac Cbca Dcba 5如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何 体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 A4 B7 C16 D28 2 2 3 3 3 理科数学试题 第 2 页（共 4 页） 6中国古代易经一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打 结来记录数量，即“结绳计数” 如图，一位古人在从右到左依次 排列的绳子上打结，满五进一，用来记录捕鱼条数，由图可知， 这位古人共捕鱼 A89 条 B113 条 C324 条 D445 条 7同时抛掷 2 枚质地均匀的硬币 4 次，设 2 枚硬币均正面向上的次数为 X，则 X 的数学 方差是 A1
4、2 B3 4 C1 D3 2 8已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是 A若 m，n，则 mn B若 m，mn，则 n C若 m，n，则 mn D若 m，mn，则 n 9已知 tan( 4) 1 7，则 cos2 A 7 25 B 7 25 C24 25 D24 25 10将函数 ycos(2x)( 2 2)的图象向右平移 3 8 个单位长度单位后得函数 f (x)图 象，若 f (x)为偶函数，则 Af (x)在区间 4， 2上单调递减 Bf (x)在区间 4， 2上单调递增 Cf (x)在区间 4， 2上单调递减 Df (x)在区间 4， 2上单调递增 11已知直线
5、l：xay10 是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴，过点 A（4，a） 作圆 C 的一条切线，切点为 B，则|AB| A4 B4 2 C6 D6 2 12定义在 R 上的奇函数 f (x)又是周期为 4 的周期函数，已知在区间2，0)(0，2上， f (x) axb，2x0 ax1， 0x2 ，则 f (2019)f (2020) A1 2 B1 2 C3 2 D3 2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13一个口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，摸出红球的 概率是 0.3，摸出白球的概率是 0.2，那么摸出黑球的概率是_ 14已知A
6、BC 内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若(ab)(sinAsinB)(cb)sinC， 则 A_ 15设函数 f (x)x3ax2(32a)x1，若 f (x)在 x1 处取得极大值，那么实数 a 的取 值范围为 _ 理科数学试题 第 3 页（共 4 页） 16在平面直角坐标系 xOy 中，设双曲线 C 与椭圆 D 的中心都是坐标原点 O，焦点都在 x 轴上，已知 C 的两条渐近线与 D 相交于 M，N，P，Q 四点，F1，F2是 D 的两个焦 点， 若 M， N， P， Q， F1， F2恰好是一个正六边形的顶点， 则的 C 离心率为_； D 离心率为_（本题第一空 2 分，第二
7、空 3 分） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721 题为必 考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 （12 分） 如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA平面 ABCD，点 E 在 PD 上 （1）若 E 为 PD 的中点，证明：PB平面 AEC； （2）若 PA1，PD2，AB3 2，三棱锥 EACD 的体积为 3 8 ，求二面角 DAEC 的正弦值 18 （12 分） 2014 年，中央和国务院办公厅印发关于引导农村土地经营权有序流转发展农业适 度规模经营
8、的意见 ，要求大力发展土地流转和适度规模经营某种粮大户 2015 年开始 承包了一地区的大规模水田种植水稻，购买了一种水稻收割机若干台，这种水稻收割机 随着使用年限的增加，每年的养护费也相应增加，这批水稻收割机自购买使用之日起，5 年以来平均每台水稻收割机的养护费用数据统计如下： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份代码 x 1 2 3 4 5 养护费用 y（万元） 1.1 1.6 2 2.5 2.8 （1）从这 5 年中随机抽取 2 年，求平均每台水稻收割机每年的养护费用至少有 1 年 多于 2 万元的概率； （2）求 y 关于 x 的线性回归方程； （3）若该水稻收
9、割机的购买价格是每台 16 万元，由（2）中的回归方程，从每台水 稻收割机的年平均费用角度，你认为一台该水稻收割机是使用满 5 年就淘汰，还是继续 使用到满 8 年再淘汰？ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： b i1 n xiyin - x - y i1 n xi2n - x2 ，a-yb-x A B P E C D 理科数学试题 第 4 页（共 4 页） 19 （12 分） 设an是正数组成的数列，其前 n 项和为 Sn，并且对于所有的自然数 n，an与 2 的等 差中项等于 Sn与 2 的等比中项 （1）求数列an的通项公式； （2）设 bn 8 anan+1，数列bn
10、的前 n 项和为 Tn，证明： 2 3Tn1 20 （12 分） 已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线 C：y22px(p0)上的两点 （1）若 y1y2p2，证明：直线 AB 经过 C 的焦点 F （2）经过点 A，B 分别作 C 的两条切线 l1，l2，若 l1与 l2的交点 M 在 C 的准线 l 上， 证明： （i）直线 AB 经过 C 的焦点 F； （ii）l1l2 21 （12 分） 已知函数 f (x)lnxaxa （1）讨论 f (x)的单调性； （2）证明：exsinxxlnx1 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按
11、所做 的第一题计分。 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 xm 2t， y 5 2t （其中 t 为参数， m0）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方 程为 2 5sin ，l 被 C 截得的弦长为 2 （1）求实数 m 的值； （2）设 l 与 C 交于点 A，B，若点 P 的坐标为(m， 5)，求|PA|PB|的值 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 设函数 f (x)1 3|xa| （1）若 a2，解关于 x 的|x1 3|f (x)1 不等式； （2）当1 3x 1 2时，
12、|x 1 3|f (x)x，求实数 a 的取值范围 理科数学答案 第 1 页（共 7 页） 丹东市 2020 年高三线上教学质量监测 理科数学答案与评分参考理科数学答案与评分参考 一、选择题 1B 2A 3D 4B 5C 6A 7B 8C 9A 10D 11C 12A 二、填空题 130.5 142 3 15(，3) 162； 31 题目详解 1解： 因为全集 U0，1，2，3，4，A0，2，3，B2，3，4，所以UA1，4， UB0，1，因此(UA)(UB)1，选 B 2解： 当 ab1 时，(abi)2(1i)22i，反之，若(abi)22i，则有 ab1 或 ab 1，因此选 A 3解：
13、 由题意可得AD BC AC AB (1，3)(2，4)(1，1)，选 D 4解： 设 alog2e1，bln21，clog1 2 1 3log23log2e，所以 bac，选 B 5解： 该空间几何体是底面边长为 3，高为 2 的正三棱柱，它的底面外接圆半径 r 3，球心 到底面距离 d1，由球截面性质有 R2r2d24，这个球的表面积是 4R216，选 C 6解： 该图示为五进制数为 324， 依题意满五进一， 化为十进制数为 42535289， 选 A 7解： 一次同时抛掷 2 枚质地均匀的硬币，恰好出现 2 枚正面向上的概率为1 2 1 2 1 4 X 服从二项分布 B(4，1 4)，
14、DX4 1 4(1 1 4) 3 4，选 B 8解： 对于选项 A，若 m，n，则 m 与 n 可能相交、平行或异面，A 错误 对于选项 B，若 m，mn，则“n”或“n”或“n 与 相交（含垂直） ”都有 可能，B 错误 对于选项 C，根据线面垂直定义，C 正确 对于选项 D，若 m，mn，则 n 或 n，D 错误； 综上答案选 C 9解： 理科数学答案 第 2 页（共 7 页） 由题设 tantan 4 1tantan 4 1 7，因为 tan 41，所以 tan 4 3 cos2cos2sin2cos 2sin2 cos2sin2 1tan2 1tan2 7 25，选 A 10解： 由题
15、设 f (x)cos (2x3 4 ) 因为 f (x)为偶函数，所以 f (0)1，cos (3 4 )1，所以3 4 k，整理得 k3 4 (kZ) 因为 2 2，所以 4从而 f (x)cos (2x)cos2x f (x)最小正周期为 ，区间 4， 2长度为 3 4 ，大于半个周期，所以 AB 错误 如果 x 4， 2，那么 2x 2，cos 2x 单调递减，cos2x 单调递增，C 错误，D 正 确 综上答案选 D 11解： 由于直线 xay10 是圆 C：x2y24x2y10 的对称轴，所以圆心 C（2，1） 在直线 xay10 上，所以 2a10，所以 a1，所以 A（4，1）
16、所以|AC|236440又 r2，所以|AB|240436所以|AB|6，选 C 12解： 因为 f (x)的周期为 4，所以 f (4x)f (x)，所以 f (42)f (2)，即 f (2)f (2)因 为 f (x)是奇函数，所以 f (2)f (2)，f (2)0，从而 f (2)0 所以 2a10， 2ab0 解得 a1 2，b1 因为 f (x)的周期为 4，所以 f (2019)f (1)1 2 因为 f (x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f (0)f (0 )，故 f (0)0因为 f (x)的周期 为 4，所以 f (2020)f (0)0 于是 f (2019)f (
17、2020)1 2，选 A 13解 在口袋中摸球，摸到红球、摸到黑球、摸到白球这三个事件是互斥的，因为摸出红球的 概率是 0.3，摸出白球的概率是 0.2，且摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，所以摸 出黑球的概率是 10.30.20.5 14解： 因为(ab)(sinAsinB)(cb)sinC，由正弦定理(ab)( ab)(cb)c，化简得 理科数学答案 第 3 页（共 7 页） b2c2a2bc由余弦定理 cosAb 2c2a2 2bc 1 2 因为 0A，所以 A2 3 15解： f (x)3x22ax(32a)，f (1)0 f (x)一个零点为 x11，由韦达定理，f (x)另一
18、个零点为 x212a 3 因为 f (x)在 x1 处取得极大值，所以 x1 时，f (x)0，x1 时，f (x)0 因为二次函数 f (x)图象是开口向上的抛物线，所以 x1x2，即 112a 3 ，得 a3， 选 A 【注】 （1）应该熟练一元三次函数的图象特点，上面的小题一元三次函数解析式的最高 次项系数为正，可以直接由小根是极大值点即可，因此 112a 3 ，得 a3，选 A这 个方法仅仅适用于不要解题过程的小题！ （2）如果知道“可导函数的极大值点的二阶导数小于零，极小值的二阶导数大于零” ， 小题也可用， f (x)6x2a， f (1)62a， 因为 f (x)在 x1 处取得
19、极大值， 所以 f (1)0， 得 a3，选 A这个方法超纲！ 16解： 双曲线 C 与椭圆 D 中心都是坐标原点 O，焦点都在 x 轴上， 由题设，如图可知 C 的一条渐近线倾斜角为 60 ，斜率为 3，所以 的 C 离心率为1( 3)22 椭圆 D 的长半轴为 a，半焦距为 b，|F1F2|c，易知|NF2|c， |NF1| 3c，由|NF1|NF2|2a，得( 31)c2a，于是 D 离心率 为c a 2 31 31 17解法 1： （1）连接 BD 交 AC 于点 O，连接 EO，因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点，又 E 为 PD 的中点，所以 EOPB，EO平面 A
20、EC，PB面 AEC，所以 PB平面 AEC （6 分） （2）由题设 AD 3，CD3 2，所以ADC 的面积为3 3 4 ，因为棱锥 EACD 的体积为 3 8 ， 所以 E 到平面 ABCD 的距离为1 2 因为 PA平面 ABCD， PA1， 所以 E 为 PD 的中点 因为 CDAD，CDPA，所以 CD平面 PAD，在平面 PAD 内过 D 作 DFAE，垂足 是 F，连结 CF，由三垂线定理 CFAE，所以CFD 是二面角 DAEC 的平面角 在直角AFD 中，FD 3 2 ，因为 CD3 2，所以在直角CFD 中，CFD60，于是 O A B P E C D F 理科数学答案
21、第 4 页（共 7 页） 二面角 DAEC 的正弦值为 3 2 （12 分） 解法 2： （1）同解法 1 （2）因为 PA平面 ABCD，ABCD 为矩形，所以 AB， AD，AP 两两垂直如图，以 A 为坐标原点，AB 的方向 为 x 轴的正方向，建立空间直角坐标系 Axyz 由题设 AD 3，CD3 2，所以ADC 的面积为 3 3 4 ， 因为棱锥 EACD 的体积为 3 8 ， 所以 E 到平面 ABCD 的距 离为1 2因为 PA平面 ABCD，PA1，所以 E 为 PD 的中 点 则 A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(3 2， 3，0)，D(0， 3，0)，P(0，0，1)
22、， E(0， 3 2 ，1 2)， AC (3 2， 3，0)， AE (0， 3 2 ，1 2) 设 n(x0，y0，z0)为平面 ACE 的法向量， 则 nAC 0， nAE 0 即 3 2x0 3y00， 3 2 y01 2z00 可取 n(2 3 3 ，1， 3) 平面 DAE 的法向量是AB (1，0，0) 于是 cosn，AB 12 3 3 (2 3 3 )2(1)2( 3)2 (1)20202 1 2，所以二面角 D AEC 的正弦值为 3 2 （12 分） 18解： （1）用 A 表示“抽取的 2 年中平均每台水稻收割机每年的养护费用至少有 1 年多于 2 万元”，则基本事件的
23、出现是等可能的，根据古典概型公式得那么 P(A)C 2 2C 1 2C 1 3 C2 5 7 10 （4 分） （2）由题设-x3，-y2， i1 5 xiyi34.3， i1 5 xi255，所以b34.35 3 2 555 32 0.43， a20.43 30.71 A B P E C D x y z 理科数学答案 第 5 页（共 7 页） y 关于 x 的线性回归方程为y0.43x0.71 （8 分） （3）若满 5 年就淘汰，则每台水稻收割机的年平均费用为1016 5 5.2（万元） 若满 8 年就淘汰，则每台水稻收割机的年平均费用为 10160.43(678) 30.71 8 37.
24、16 8 4.645（万元） 所以使用到满 8 年的年平均费用低于使用到满 5 年的年平均费， 因此建议继续使用到满 8 年再淘汰 （12 分） 19解： （1）由题意an2 2 2Sn 两边平方整理得 an24an48Sn，可知 an124an148Sn1，可得 an12an24(an1an)8an1，整理得 (an1an)(an1an4)0 由 an0 可得 an1an4 又a12 2 2a1，得 a12 所以an是首项为 2，公差为 4 的等差数列，通项公式为 an4n2 （6 分） （2）由（1）得 bn 8 anan+1 2 (2n1)(2n1) 1 2n1 1 2n1，则 Tnb1
25、b2b3bn (11 3)( 1 3 1 5)( 1 2n1 1 2n1) (11 3 1 2n1)( 1 3 1 5 1 2n1) 1 1 2n1 因为 nN*，所以 0 1 2n1 1 3， 2 31 1 2n11 于是2 3Tn1 （12 分） 20解： （1）由题设 y1y2，可设 AB：xmya，代入 y22px 得 y22pmy2pa0，当 4m2p28pa0 时，有 y1y22pa 因为 y1y2p2，所以2pap2，ap 2 于是直线 AB：xmyp 2经过 C 的焦点 F( p 2，0) （6 分） （2） （i）由题设 l1，l2的斜率存在，分别设为 k1，k2 理科数学答
26、案 第 6 页（共 7 页） 则 l1方程为 yy1k1(xy1 2 2p)，将 x y2 2p代入得 k1 2py 2yk1y1 2 2p y10 由0 得(1k1y1 p )20，k1p y1，同理 k2 p y2 所以 l1方程可化为 y p y1x y1 2，同理 l2 方程为 y p y2x y2 2，两方程联立得 p(y2y1) y2y1 xy2y1 2 ，由题设 y1y2，所以 xy1y2 2p 因为 M 在 C 的准线 l：xp 2上，所以 y1y2 2p p 2，y1y2p 2 由（1）可知直线 AB 经过 C 的焦点 F （ii）因为 k1k2 p2 y1y21，所以 l1
27、l2 （12 分） 21解法 1： （1）f (x)的定义域为 x0，f (x)1ax x 当 a0 时，f (x)0，f (x)在(0，)单调递增 当 a0 时，若 0x1 a，f (x)0，若 x 1 a，f (x)0，所以 f (x)在(0， 1 a)单调递增，在 (1 a，)单调递减 （6 分） （2）当 a1 时，由（1）可知 f (x)f (1)0，得 lnxx1 所以 xlnx1x2x1，下面我们证明 exsinxx2x1 设 g (x)exsinxx2x1，那么 g(x)excosx2x1 由 lnxx1 得 ex 1x，从而 exex 所以 g(x)(e2)x(cosx1)0
28、，g (x)在(0，)单调递增，所以 g (x)g (0)0，于 是 exsinxx2x1，因此 exsinxxlnx1 （12 分） 解法 2： （1）同解法 1 （2） 当 a1 时， 由 （1） 可知 f (x)f (1)0， 得 lnxx1 所以 xlnx1x2x1 设 g (x)exx21，则 g(x)ex2x，g(x)ex2当 0xln2 时，g(x)0，当 x ln2 时， g(x)0， 所以 g(x)在(0， ln2)单调递减， 在(ln2， )单调递增， 所以 g(x)g(ln2) 2(1ln2)0，g (x)在(0，)单调递增，所以 g (x)g (0)0，于是 exx21
29、 设 h (x)sinxx，则 h(x)cosx10，h (x)在(0，)单调递增，所以 h (x)h (0) 0，故 sinxx 所以 exsinxx2x1 由可得因此 exsinxxlnx1 （12 分） 22解： （1）在 xm 2t， y 5 2t 中消去 t，得 l 的普通方程为 xym 50 理科数学答案 第 7 页（共 7 页） 由 2 5sin 得 x2y22 5y0 即 x2(y 5)25，表示为(0， 5)圆心， 5为半径 的圆 因为 l 被 C 截得的弦长为 2，由垂径定理得圆心到直线距离为3 2 2 所以3 2 2 |0 5m 5| 2 ，因为 m0，所以 m3 （5
30、分） （2）直线 l 的参数方程化为 x3 2 2 t， y 5 2 2 t t 为参数代入 x2y22 5y0 得 t2 3 2t40 因为20，P(3， 5)，设 A，B 对应的参数分别为 t1，t2，则 t1t23 20， t1t240 所以|PA|PB|t1t23 2 （10 分） 23解： （1）当时 a2，不等式|x1 3| 1 3|x2|1 的解集是以下三个不等式组解集的并集： x2， x1 3 1 3x 2 31 或 1 3x2， x1 3 1 3x 2 31 或 x1 3， 1 3x 1 3x 2 31 解得不等式|x1 3|f (x)1 的解集为(，0 1，) （5 分） （2）当1 3x 1 2时，|x 1 3|x 1 3，不等式|x 1 3|f (x)x 可化为|xa |1 不等式|xa |1 解集为a1，a1 ，由题设得1 3， 1 2a1，a1，所以 a11 3， a11 2 解得实数 a 的取值范围为1 2， 4 3 （10 分）
