1、4.1.2相交直线所成的角【知识再现知识再现】1.1.平行线平行线:在同一平面内在同一平面内,没有没有_的两条直线的两条直线叫做平行线叫做平行线.2.2.有公共端点的两条射线组成的图形叫做有公共端点的两条射线组成的图形叫做_,_,这个这个公共端点是角的公共端点是角的_,_,这两条射线是角的两条边这两条射线是角的两条边.公共点公共点角角顶点顶点3.3.两条直线相交在交点处形成两条直线相交在交点处形成_个角个角.4 4【新知预习新知预习】阅读教材阅读教材P75-P76,P75-P76,解决以下问题解决以下问题:1.1.对顶角对顶角两个角两个角_,_,且它们的且它们的_,_,具有这种关系的具有这种关
2、系的_互为对顶角互为对顶角.有公共顶点有公共顶点两边互为反向延长两边互为反向延长线线两个角两个角如图如图,1,1与与3,23,2与与4 4是对顶角是对顶角.性质性质:对顶角对顶角_._.相等相等2.(1)2.(1)同位角同位角:在截线在截线_,_,被截线被截线_(如基本图形如基本图形1);1);形如字母形如字母“F”(F”(或倒置、反置、旋或倒置、反置、旋转转).).(2)(2)内错角内错角:在截线在截线_,_,被截线被截线_(交错交错)()(如基本图形如基本图形2);2);形如字母形如字母“Z”(Z”(或倒置、或倒置、反置、旋转反置、旋转).).同侧同侧同一方向同一方向两侧两侧之间之间(3)
3、(3)同旁内角同旁内角:在截线在截线_,_,被截线被截线_(_(如基如基本图形本图形3).3).形如字母形如字母“U”(U”(或倒置、反置、旋转或倒置、反置、旋转).).同侧同侧之间之间3.3.三线八角三线八角(1)(1)定义定义:两条直线被第三条直线所截两条直线被第三条直线所截,构成的八个角构成的八个角.(2)(2)三线八角中的各种关系角的对数三线八角中的各种关系角的对数:两条直线被第三条直线所截构成的八个角中两条直线被第三条直线所截构成的八个角中,共有共有_对同位角对同位角,_,_对内错角对内错角,_,_对同旁内角对同旁内角.4 42 22 2【基础小练基础小练】请自我检测一下预习的效果吧
4、请自我检测一下预习的效果吧!1.1.下列图形中下列图形中1 1与与2 2互为对顶角的是互为对顶角的是()C C2.2.如图如图,下列结论正确的有下列结论正确的有()B BABCABC与与C C是同位角是同位角;CC与与BDCBDC是同旁内角是同旁内角;BDCBDC与与DBCDBC是内错角是内错角;ABDABD的内错角是的内错角是BDC;BDC;AA与与ABDABD是由直线是由直线AD,BDAD,BD被直线被直线ABAB所截得到的同旁所截得到的同旁内角内角.A.A.B.B.C.C.D.D.3.3.如图如图,直线直线AB,CDAB,CD相交于点相交于点O,O,若若AOD=28AOD=28,则则BO
5、C=_,AOC=_.BOC=_,AOC=_.2828152152知识点一知识点一 对顶角及其性质对顶角及其性质(P78(P78习题习题4.1A4.1A组组T5T5拓展拓展)【典例典例1 1】如图如图,直线直线AB,CDAB,CD相交于点相交于点O.O.(1)(1)若若AOC+BOD=120AOC+BOD=120,求各角的度数求各角的度数.(2)(2)若若BOCBOC比比AOCAOC的的2 2倍多倍多3333,求各角的度数求各角的度数.【尝试解答尝试解答】(1)(1)因为因为AOCAOC和和BODBOD是对顶角是对顶角,所以所以AOC=BOD,AOC=BOD,对顶角性质对顶角性质因为因为AOC+
6、BOD=120AOC+BOD=120,所以所以_=_=60_=_=60.角的和差角的和差AOCAOCBODBOD因为因为AOC+AOD=_,AOC+AOD=_,邻补角定义邻补角定义所以所以AOD=_-AOC=120AOD=_-AOC=120,角的和差角的和差所以所以_=_=120_=_=120.对顶角性质对顶角性质180180180180AODAODBOCBOC(2)BOC(2)BOC比比AOCAOC的的2 2倍多倍多3333,则则BOC-2AOC=33BOC-2AOC=33且且BOC+AOC=_.BOC+AOC=_.邻补角定义邻补角定义所以所以AOC=BOD=49AOC=BOD=49,AOD
7、=BOC=131,AOD=BOC=131.角的和差角的和差180180【学霸提醒学霸提醒】对顶角的三大特征对顶角的三大特征(1)(1)数量关系数量关系:如果两个角是对顶角如果两个角是对顶角,那么这两个角相等那么这两个角相等.(2)(2)位置关系位置关系:有公共顶点有公共顶点,两边互为反向延长线两边互为反向延长线,也可也可看作两边形成两条相交的直线看作两边形成两条相交的直线.(3)(3)成对出现成对出现:对顶角是两个角的关系对顶角是两个角的关系,其成对出现其成对出现.【题组训练题组训练】1.1.如图如图:已知直线已知直线AB,CDAB,CD相交于点相交于点O,BOE=62O,BOE=62,COE
8、=105COE=105.则则AODAOD的度数是的度数是_._.43432.2.如图如图,已知直线已知直线AB,CD,EFAB,CD,EF相交于点相交于点O.O.世纪金榜导世纪金榜导学号学号(1)(1)若若COF=120COF=120,AOD=100,AOD=100,求求AOFAOF的度数的度数.(2)(2)若若BOC-BOD=20BOC-BOD=20,求求AOCAOC的度数的度数.解解:(1)(1)因为因为COF=120COF=120,所以所以COE=180COE=180-120-120=60=60,所以所以DOF=COE=60DOF=COE=60,因为因为AOD=100AOD=100,所以
9、所以AOF=100AOF=100-60-60=40=40.(2)(2)因为因为BOC+BOD=180BOC+BOD=180,BOC-BOD=20,BOC-BOD=20,所以所以BOC=100BOC=100,BOD=80,BOD=80,所以所以AOC=BOD=80AOC=BOD=80.3.(20193.(2019菏泽郓城期末菏泽郓城期末)如图如图,l1 1,l2 2,l3 3交于点交于点O,1=2,31=81,O,1=2,31=81,求求4 4的度数的度数.世纪金世纪金榜导学号榜导学号解解:设设1=x,1=x,则则2=x,3=8x,2=x,3=8x,依题意有依题意有x+x+8x=180 x+x+
10、8x=180,解得解得x=18x=18,则则4=184=18+18+18=36=36.故故4 4的度数是的度数是3636.知识点二知识点二 同位角、内错角、同旁内角同位角、内错角、同旁内角(P77(P77例例1 1拓展拓展)【典例典例2 2】如图如图,找出图中找出图中DEA,ADEDEA,ADE的同位角、内错的同位角、内错角和同旁内角角和同旁内角.【自主解答自主解答】图中图中DEADEA的同位角为的同位角为C C、内错角为、内错角为BDEBDE、同旁内角为、同旁内角为A A和和ADE;ADEADE;ADE的同位角为的同位角为B B、内错角为内错角为CEDCED、同旁内角为、同旁内角为AEDAE
11、D和和A.A.【学霸提醒学霸提醒】如何正确判断同位角、内错角、同旁内角如何正确判断同位角、内错角、同旁内角(1)(1)同位角、内错角和同旁内角都有一条边落在同一条同位角、内错角和同旁内角都有一条边落在同一条直线上直线上,另一边分别在其他两条直线上另一边分别在其他两条直线上,也就是每个角也就是每个角都与某条直线有关都与某条直线有关,共线的那组边所在的直线就是截线共线的那组边所在的直线就是截线,另外两边所在的直线就是被截线另外两边所在的直线就是被截线.(2)(2)弄清所判断的哪两个角是同位角、内错角、同旁内弄清所判断的哪两个角是同位角、内错角、同旁内角角,要知道哪两条直线被第三条直线所截形成的要知
12、道哪两条直线被第三条直线所截形成的.(3)(3)识别识别“三线八角三线八角”中的两个角属于何种类别时可联中的两个角属于何种类别时可联想英文大写字母想英文大写字母,即即“F”F”形的为同位角形的为同位角,“Z”,“Z”形的为形的为内错角内错角,“U”,“U”形的为同旁内角形的为同旁内角.【题组训练题组训练】1.1.如图如图,下列说法错误的是下列说法错误的是()A.AA.A与与B B是同旁内角是同旁内角B.3B.3与与1 1是同旁内角是同旁内角C.2C.2与与3 3是内错角是内错角D.1D.1与与2 2是同位角是同位角D D2.2.如图如图,有下列判断有下列判断:AA与与1 1是同位角是同位角;A
13、A与与B B是同旁内角是同旁内角;44与与1 1是内错角是内错角;11与与3 3是是同位角同位角.其中正确的是其中正确的是_(_(填序号填序号).).世纪金世纪金榜导学号榜导学号3.3.如图如图,直线直线DEDE和和AB,ACAB,AC相交相交,构成构成8 8个角个角,指出这指出这8 8个角中的所有的同位角个角中的所有的同位角,内错角内错角,同旁内角同旁内角.世纪金世纪金榜导学号榜导学号解解:同位角是同位角是1 1与与8,48,4与与7,27,2与与5,35,3与与6;6;内错角是内错角是1 1与与6,46,4与与5;5;同旁内角是同旁内角是1 1与与5,45,4与与6.6.【火眼金睛火眼金睛
14、】如图如图,与与构成同旁内角的角有构成同旁内角的角有_._.【正解正解】直线直线AC,EFAC,EF被直线被直线BCBC所截所截,此时此时 与与FECFEC是同旁内角是同旁内角;直线直线AC,ABAC,AB被直线被直线BCBC所截所截,此时此时 与与B B是同旁内角是同旁内角;直线直线EF,ECEF,EC被直线被直线ACAC所截所截,此时此时 与与EFCEFC是同旁内是同旁内角角;直线直线DF,BCDF,BC被直线被直线ACAC所截所截,此时此时与与DFCDFC是同旁是同旁内角内角;直线直线AB,BCAB,BC被直线被直线ACAC所截所截,此时此时 与与A A是同是同旁内角旁内角.答案答案:F
15、EC,B,EFC,DFC,AFEC,B,EFC,DFC,A 【一题多变一题多变】如图如图,直线直线AC,EFAC,EF相交于点相交于点O,ODO,OD是是AOBAOB的平分线的平分线,OE,OE在在BOCBOC内内,BOE=EOC,DOE=72,BOE=EOC,DOE=72,求求AOFAOF的度数的度数.12解解:设设BOE=x,BOE=x,则则AOF=EOC=2x.AOF=EOC=2x.因为因为AOBAOB与与BOCBOC互为邻补角互为邻补角,所以所以AOB=180AOB=180-3x.-3x.因为因为ODOD平分平分AOB,AOB,所以所以DOB=AOB=90DOB=AOB=90-x.-x
16、.因为因为DOE=72DOE=72,1232所以所以9090-x+x=72-x+x=72,解得解得x=36x=36.所以所以AOF=2x=72AOF=2x=72.32【母题变式母题变式】【变式一变式一】如图如图,直线直线AB,CDAB,CD相交于点相交于点O,OAO,OA平分平分EOC.EOC.(1)(1)若若EOC=70EOC=70,求求BODBOD的度数的度数.(2)(2)若若EOCEOD=45,EOCEOD=45,求求BODBOD的度数的度数.解解:(1)(1)因为因为EOC=70EOC=70,OA,OA平分平分EOC,EOC,所以所以AOC=35AOC=35,所以所以BOD=AOC=3
17、5BOD=AOC=35.(2)(2)设设EOC=4x,EOC=4x,则则EOD=5x,EOD=5x,所以所以5x+4x=1805x+4x=180,解得解得x=20 x=20,则则EOC=80EOC=80.又因为又因为OAOA平分平分EOC,EOC,所以所以AOC=40AOC=40,所以所以BOD=AOC=40BOD=AOC=40.【变式二变式二】如图如图,直线直线AB,CDAB,CD相交于点相交于点O,OEO,OE平分平分BOD,OFBOD,OF平分平分COE,COE,且且12=14,12=14,求求AOCAOC和和AOFAOF的度数的度数.解解:因为因为OEOE平分平分BOD,BOD,所以所以1=BOE,1=BOE,因为因为1 12=12=14,4,所以设所以设1=x1=x,则则EOB=xEOB=x,AOD=4x,AOD=4x,所以所以x+x+4x=180,x+x+4x=180,解得解得x=30,x=30,所以所以1=301=30,DOB=60,DOB=60,所以所以COE=150COE=150,
