1、 1 第 24 届全国中学生物理竞赛决赛试题 2007 年 11 月 宁波 理论部分 一、 A ，B ，C 三个刚性小球静止在光滑的水平面 上它们的质量皆为 m ，用不可伸长的长度皆为 l 的柔软轻线相连， AB 的延长线与 BC 的夹角 = / 3 ，如图所示在此平面内取正交坐标系 Oxy ， 原点 O 与 B 球所在处重合，x 轴正方向和 y 轴正方 向如图另一质量也是 m 的刚性小球 D 位于 y 轴 上，沿 y 轴负方向以速度 v0（如图）与 B 球发生弹性正碰，碰撞时间极短设刚碰完后， 连接 A ，B ，C 的连线都立即断了求碰后经多少时间，D 球距 A ，B ，C 三球组成的系 统
2、的质心最近 二、 为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近， 可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的 携带探测器的宇宙飞船， 要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内， 轨道的近日点 到太阳的距离为 0.01AU（AU 为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：1AU = 1.495 1011 m） ，并与地球具有相同的绕日运行周期（为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运 动） 试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度 u0（发射速度是指在关闭火箭发动 机，停止对飞船加速时飞船的速度）发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地 球绕太阳运行轨道附近 （也就是说克服了地球引力作用的飞船
3、仍可看做在地球轨道上） 进入 符合要求的椭圆轨道绕日运行？已知地球半径 Re = 6.37 106 m ，地面处的重力加速度 g = 9.80 m / s2 ，不考虑空气的阻力 三、 如图所示，在一个竖直放置的封闭的高为 H 、内壁横截面积为 S 的绝热气缸内，有一 质量为m的绝热活塞A把缸内分成上、 下两部分 活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动 缸 内顶部与 A 之间串联着两个劲度系数分别为 k1和 k2（k1k2） 的轻质弹簧 A 的上方为真空； y C D v0 l O x A l B 2 A 的下方盛有一定质量的理想气体已知系统处于平衡 状态，A 所在处的高度（其下表面与缸内底部的距离
4、） 与两弹簧总共的压缩量相等皆为 h1 = H / 4 现给电炉丝 R 通电流对气体加热，使 A 从高度 h1开始上升，停止加 热后系统达到平衡时活塞的高度为 h2 = 3H / 4 求此过 程中气体吸收的热量Q 已知当体积不变时，每摩尔 该气体温度每升高 1 K 吸收的热量为 3R / 2 ，R 为普适 气体恒量在整个过程中假设弹簧始终遵从胡克定律 四、 为了减少线路的输电损耗， 电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式 在传 输线路上建造一系列接地的铁塔，把若干绝缘子连成串（称为绝缘子串，见图甲） ，其上端 A 挂在铁塔的横臂上，高压输电线悬挂在其下端 B绝缘子的结构如图乙所示：在半
5、径为 R1的导体球外紧包一层耐高压的半球形陶瓷绝缘介质，介质外是一内半径为 R2的半球形导 体球壳已知当导体球与导体球壳间的电压为 U 时，介质中离球心 O 的距离为 r 处的场强 为 E = R1R2 R2R1 U r2 ，场强方向沿径向 1已知绝缘子导体球壳的内半径 R2 = 4.6 cm ，陶瓷介质的击穿强度 Ek = 135 kV / cm 当介质中任一点的场强 E Ek时，介质即被击穿，失去绝缘性能为使绝缘子所能承 受的电压（即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压）为最大，导体球的半径 R1应取什 H A B 图甲 半球形导体球壳 绝缘层 导体球 图乙 3 么数值？此时，对应的交流电
6、压的有效值是多少？ 2一个铁塔下挂有由四个绝缘子组成的绝缘子串（如图甲） ，每个绝缘子的两导体间有 电容 C0 每个绝缘子的下部导体（即导体球）对于铁塔（即对地）有分布电容 C1（导体球 与铁塔相当于电容器的两个导体极板，它们之间有一定的电容，这种电容称为分布电容） ； 每个绝缘子的上部导体（即导体球壳）对高压输电线有分布电容 C2 若高压输电线对地电 压的有效值为 U0 试画出该系统等效电路图 3若 C0 = 70 pF = 7 10 11 F ，C 1 = 5 pF ，C2 = 1 pF ，试计算该系统所能承受的最大 电压（指有效值） 五、 如图所示，G 为一竖直放置的细长玻璃管，以其底
7、端 O 为原点，建立一直角坐标系 Oxy ，y 轴与玻璃管的 轴线重合在 x 轴上与原点 O 的距离为 d 处固定放置一 电荷量为 Q 的正点电荷 A ，一个电荷量为 q（q0）的 粒子 P 位于管内，可沿 y 轴无摩擦地运动设两电荷之 间的库仑相互作用力不受玻璃管的影响 1求放在管内的带电粒子 P 的质量 m 满足什么条 件时，可以在 y0 的区域内存在平衡位置 2 上述平衡状态可以是稳定的， 也可能是不稳定的； 它依赖于粒子的质量 m 以 y （m） 表示质量为 m 的粒子 P 处于平衡位置时的 y 坐标当粒子 P 处于稳定平衡状态时，y（m） 的取值区间是_；当粒子 P 处于不稳定平衡状
8、态时，y（m）的取值区间是 _（请将填空答案写在答题纸上） 3已知质量为 m1的粒子 P 处于稳定平衡位置，其 y 坐标为 y1 现给 P 沿 y 轴一微小 扰动试证明以后的运动为简谐运动，并求此简谐运动的周期 4 已知质量为m2的粒子P的不稳定平衡位置的y坐标为y2 ， 现设想把P放在坐标y3 处， 然后从静止开始释放 P求释放后 P 能到达玻璃管底部的所有可能的 y3（只要列出 y3满足 的关系式，不必求解） y G P O d A x 4 六、 如图所示，一半径为 R 、折射率为 ng的透明球体置于折射率 n0 =1 的空气 中，其球心位于图中光轴的 O 处，左、 右球面与光轴的交点为
9、O1与 O2 球体 右半球面为一球面反射镜，组成球形反 射器光轴上 O1点左侧有一发光物点 P ，P 点到球面顶点 O1的距离为 s 由 P 点发出的 光线满足傍轴条件，不考虑在折射面上发生的反射 1问发光物点 P 经此反射器，最后的像点位于何处？ 2当 P 点沿光轴以大小为 v 的速度由左向右匀速运动时，试问最后的像点将以怎样的 速度运动？并说明当球体的折射率 ng 取何值时像点亦做匀速运动 七、 已知钠原子从激发态（记做 P3 / 2）跃迁到基态（记做 S1 / 2）所发出的光谱线波长 0 =588.9965 nm 现有一团钠原子气，其中的钠原子做无规的热运动（钠原子的运动不必考 虑相对论
10、效应） ， 被一束沿 z 轴负方向传播的波长为 = 589.0080 nm 的激光照射 以 表 示钠原子运动方向与 z 轴正方向之间的夹角（如图所示） 问在 30 45 角度区间 内的钠原子中速率 u 在什么范围内能产生共振吸收，从 S1 / 2 态激发到 P3 / 2 态？并求共振吸 收前后钠原子速度（矢量）变化的大小已知钠原子质量为 M = 3.79 10 26 kg ，普朗克常 量 h = 6.626069 10 34 J s ，真空中的光速 c = 2.997925 10 8 m s 1 P O 1 O 2 s 钠原子 激光束 u z 5 第 24 届全国中学生物理竞赛决赛参考解答 一
11、、 1分析刚碰后各球速度的方向由于 D 与 B 球发生弹性正碰，所以碰后 D 球的速度 方向仍在 y 轴上；设其方向沿 y 轴正方向， 大小为 v 由于线不可伸长，所以在 D ，B 两球相碰的过程中，A ，C 两球都将受到线 给它们的冲量； 又由于线是柔软的， 线对 A ， C 两球均无垂直于线方向的作用力，因此刚 碰后，A 球的速度沿 AB 方向，C 球的速度沿 CB 方向 用 表示 B 球的速度方向与 x 轴的 夹角，则各球速度方向将如图所示因为此时连接 A ，B ，C 三球的两根线立即断了，所 以此后各球将做匀速直线运动 2研究碰撞后各球速度的大小以 v1 ，v2 ，v3 分别表示刚碰后
12、 A ，B ，C 三球速度 的大小，如图所示因为碰撞过程中动量守恒，所以沿 x 方向有 mv1mv3 cos + mv2 cos = 0 ； （1） 沿 y 方向有 mv0 = mv mv2 sin mv3 sin （2） 根据能量守恒有 1 2mv 2 0 = 1 2mv 2 1 + 1 2mv 2 2 + 1 2mv 2 3 + 1 2mv 2 （3） 因为碰撞过程中线不可伸长，B ，C 两球沿 BC 方向的速度分量相等，A ，B 两球沿 AB 方向的速度分量相等，有 v2 cos = v1 ， （4） v2 cos ( + ) = v3 （5） 将 = / 3 代入，由以上各式可解得 v
13、1 = 3 12 v0 ， （6） v2 = 21 6 v0 ， （7） v3 = 3 3 v0 ， （8） 6 v = 1 4v0 （9） 3确定刚碰完后，A ，B ，C 三球组成的系统质心的位置和速度由于碰撞时间极短， 刚碰后 A ，B ，C 三球组成的系统，其质心位置就是碰撞前质心的位置，以（xc ，yc）表 示此时质心的坐标，根据质心的定义，有 xc = ml cosml 3m ， （10） yc = ml sin 3m （11） 代入数据，得 xc = 1 6 l ， （12） yc = 3 6 l （13） 根据质心速度的定义，可求得碰后质心速度 vc的分量为 vcx = mv1
14、+ mv2 cosmv3 cos 3m ， （14） vcy = mv2 sinmv3sin 3m （15） 由（4）（7）和（14） ， （15）各式及 值可得 vcx = 0 ， （16） vcy = 5 12v0 （17） 4讨论碰后 A ，B ，C 三球组成的系统的质心和 D 球的运动刚碰后 A ，B ，C 三 球组成的系统的质心将从坐标（xc = l / 6 ，yc = 3l / 6）处出发，沿 y 轴负方向以大小 为 5 v0 / 12 的速度做匀速直线运动；而 D 球则从坐标原点 O 出发，沿 y 轴正方向以大小为 v0 / 4 的速度做匀速直线运动A ，B ，C 三球组成系统的
15、质心与 D 球是平行反向运动，只 要 D 球与 C 球不发生碰撞，则 vC ，vD不变，质心与 D 球之间的距离逐渐减少到 y 坐标 相同处时，它们相距最近用 t 表示所求的时间，则有 vt = yc + vcy t （18） 将 vcy ，v ，yc的值代入，得 t = 3l 4v0 （19） 此时，D 球与 A ，B ，C 三球组成系统的质心两者相距 l / 6 在求出（19）式的过程 中，假设了在 t = 3l / 4v0时间内 C 球未与 D 球发生碰撞下面说明此假设是正确的； 因为 v3 = 3v0 / 3 ，它在 x 方向分量的大小为 3v0 / 6经过 t 时间，它沿 x 轴负方
16、向经 7 过的距离为 l / 8 而 C 球的起始位置的 x 坐标为 l / 2 经 t 时间后，C 球尚未到达 y 轴， 不会与 D 球相碰 二、 从地球表面发射宇宙飞船时，必须给飞船 以足够大的动能， 使它在克服地球引力作用后， 仍具有合适的速度进入绕太阳运行的椭圆轨 道此时，飞船离地球已足够远，但到太阳的 距离可视为不变，仍为日地距离飞船在地球 绕太阳运动的轨道上进入它的椭圆轨道，用 E 表示两轨道的交点，如图 1 所示图中半径为 rse的圆 A 是地球绕太阳运行的轨道， 太阳 S 位 于圆心设椭圆 B 是飞船绕日运行的轨道，P 为椭圆轨道的近日点 由于飞船绕日运行的周期与地球绕日运行的
17、周期相等， 根据开普勒第三定律， 椭圆的半 长轴 a 应与日地距离 rse相等，即有 a = rse （1） 根据椭圆的性质，轨道上任一点到椭圆两焦点的距离之和为 2a ，由此可以断定，两轨道的 交点 E 必为椭圆短轴的一个顶点，E 与椭圆长轴和短轴的交点 Q（即椭圆的中心）的连线垂 直于椭圆的长轴由ESQ ，可以求出半短轴 b = r2se ( a SP)2 （2） 由（1） ， （2）两式，并将 a = rse = 1AU ，SP= 0.01 AU 代入，得 b = 0.141AU （3） 在飞船以椭圆轨道绕太阳运行过程中，若以太阳为参考系，飞船的角动量和机械能是守恒 的设飞船在 E 点的
18、速度为 v ，在近日点的速度为 vp ，飞船的质量为 m ，太阳的质量为 Ms ，则有 mva sin = mvpSP ， （4） 式中 为速度 v 的方向与 E ，S 两点连线间的夹角： sin = b a （5） 由机械能守恒，得 A rse P v ve B 图 1 8 1 2mv 2 G Msm a = 1 2mv 2 p GmMs SP （6） 因地球绕太阳运行的周期 T 是已知的（T = 365 d） ，若地球的质量为 Me ，则有 G MsMe a2 = Me ( 2 T )2a （7） 解（3）（7）式，并代入有关数据，得 v = 29.8 km / s （8） （8）式给出的
19、 v 是飞船在 E 点相对于太阳的速度的大小，即飞船在克服地球引力作用后从 E 点进入椭圆轨道时所必须具有的相对于太阳的速度若在 E 点飞船相对地球的速度为 u ， 因地球相对于太阳的公转速度为 ve = 2a T = 29.8 km / s ， （9） 方向如图 1 所示由速度合成公式，可知 v = u + ve ， （10） 速度合成的矢量图如图 2 所示，注意到 ve与ES垂直，有 u = v2 + v2 e2vvecos ( 2 ) ， （11） 代入数据，得 u = 39.1 km / s （12） u 是飞船在 E 点相对于地球的速度，但不是所要求的发射速度 u0 为了求得 u0
20、，可以从与 地心固定连接在一起的参考系来考察飞船的运动因飞船相对于地球的发射速度为 u0时， 飞船离地心的距离等于地球半径 Re 当飞船相对于地球的速度为 u 时，地球引力作用可以 忽略由能量守恒，有 图 2 9 1 2mu 2 0 G Mem Re = 1 2mu 2 （13） 地面处的重力加速度为 g = G Me R2 e ， （14） 解（13） ， （14）两式，得 u0 = u2 + 2gRe （15） 由（15）式及有关数据，得 u0 = 40.7 km / s （16） 如果飞船在 E 点处以与图示相反的方向进入椭圆轨道，则（11）式要做相应的改变此 时，它应为 u = v2
21、+ v2 e2vvecos ( 2 + ) ， （17） 相应计算，可得另一解 u = 45.0 km / s ， u0 = 46.4 km / s （18） 如果飞船进入椭圆轨道的地点改在 E 点的对称点处（即地球绕日轨道与飞船绕日轨道 的另一个交点上） ，则计算过程相同，结果不变 三、 两个弹簧串联时，作为一个弹簧来看，其劲度系数 k = k1k2 k1 + k2 （1） 设活塞 A 下面有 mol 气体当 A 的高度为 h1时，气体的压强为 p1 ，温度为 T1 由 理想气体状态方程和平衡条件，可知 p1Sh1 = vRT1 ， （2） p1S = kh1 + mg （3） 对气体加热后
22、，当 A 的高度为 h2时，设气体压强为 p2 ，温度为 T2 由理想气体状态 方程和平衡条件，可知 p2Sh2 = vRT2 ， （4） p2S = kh2 + mg （5） 在 A 从高度 h1上升到 h2的过程中，气体内能的增量 U = v 3 2 R ( T2T1 ) （6） 气体对弹簧、活塞系统做的功 W 等于弹簧弹性势能的增加和活塞重力势能的增加，即 10 W = 1 2k ( h 2 2h 2 1 ) + mg (h2h1 ) （7） 根据热力学第一定律，有 Q =U + W （8） 由以上各式及已知数据可求得 Q = k1k2 k1 + k2H 2 + 5 4mgH （9） 四
23、、 1根据题意，当导体球与导体球壳间的电压为 U 时，在距球心 r（R1 r R2）处， 电场强度的大小为 E = R1R2 R2R1 U r2 （1） 在 r = R1 ，即导体球表面处，电场强度最大以 E（R1）表示此场强，有 E ( R1) = R2U (R2R1) R1 （2） 因为根据题意，E（R1）的最大值不得超过 Ek ，R2为已知，故（2）式可写为 Ek = R2U (R2R1) R1 （3） 或 U = Ek (R2R1) R1 R2 （4） 由此可知，选择适当的 R1值，使(R2R1) R1最大，就可使绝缘子的耐压 U 为最大不 难看出，当 R1 = R2 2 （5） 时，
24、U 便是绝缘子能承受的电压的最大值 Uk 由（4） ， （5）两式得 Uk = EkR2 4 ， （6） 代入有关数据，得 Uk = 155 kV （7） 当交流电压的峰值等于 Uk时，绝缘介质即被击穿这时，对应的交流电压的有效值 Ue = Uk 2 110 kV （8） 2系统的等效电路如图所示 11 3设绝缘子串中间三点的电势分别为 U1 ，U2 ，U3 ，如图所示由等效电路可知，与 每个中间点相连的四块电容极板上的电荷量代数和都应为零，即有 12011010012 23021120022 3031230032 ()()()0, ()()()0, ()()0. UU CU CUU CUU
25、C UU CU CUU CUU C U CU CUU CUU C （9） 四个绝缘子上的电压之和应等于 U0 ，即 ( U0U1 ) + ( U1U2 ) + ( U2U3 ) + U3 = U0 （10） 设 U1 = U0U1 ， U2 = U1U2 ，U3 = U2U3 ，U4 = U3 ， （11） 则可由（9）式整理得 10122001 11220123001 101220123012001 ()0, ()()0, ()()(2)()0; U CCCU CU C U CCU CCCU CU C U CCCU CCCUCCCU CC 代入数据，得 120 1230 1230 7050,
26、 767050, 76146750. UUU UUUU UUUU 76 6 76 （12） 解（12）式，可得 U1 = 0.298 U0 ， U2 = 0.252 U0 ，U3 =0.228 U0 （13） U0 C2 C2 C2 C2 C1 C1 C1 C1 C0 C0 C0 C0 U0 C2 C2 C2 C2 C1 C1 C1 C1 C0 C0 C0 C0 U1 U2 U3 12 由（10）（12）式可得 U4 =U3 = 0.222 U0 （14） 以上结果表明， 各个绝缘子承受的电压不是均匀的； 最靠近输电线的绝缘子承受的电压 最大，此绝缘子最容易被击穿当最靠近输电线的绝缘子承受的电
27、压有效值 U1 =Ue （15） 时，此绝缘子被击穿，整个绝缘子串损坏由（8） ， （13）和（15）三式可知，绝缘子串承 受的最大电压 U0max = Ue 0.298 = 369 kV （16） 五、 1如图所示，位于坐标 y 处的带电粒子 P 受到库 仑力 FE为斥力，其 y 分量为 FEy = k Qq r2 sin = k Qqy ( d2 + y2)3 / 2 ， （1） 式中 r 为 P 到 A 的距离， 为 r 与 x 轴的夹角 可以 看出，FEy与 y 有关：当 y 较小时， （1）式分子中的 y 起 主要作用，FEy随 y 的增大而增大；当 y 较大时， （1）式 分母中的
28、 y 起主要作用，FEy随 y 的增大而减小可见， FEy在随 y 由小变大的过程中会出现一个极大值通过数值计算法，可求得 FEy随 y 变化的 情况令= y / d ，得 FEy = k Qq d2 ( 1 + 2)3 / 2 （2） 当取不同数值时，对应的( 1 + 2)3 / 2的值不同经数值计算，整理出的数据如表 1 所示 表 1 0.100 0.500 0.600 0.650 0.700 0.707 0.710 0.750 0.800 ( 1 + 2)3 / 2 0.0985 0.356 0.378 0.382 0.385 0.385 0.385 0.384 0.381 由表中的数据
29、可知，当= 0.707，即 y = y0 = 0.707d （3） 时，库仑力的 y 分量有极大值，此极大值为 y G P mg r O d x A FEy 13 FEymax = 0.385k qQ d2 （4） 由于带电粒子 P 在竖直方向除了受到竖直向上的 FEy 作用外，还受到竖直向下的重力 mg 作用只有当重力的大小 mg 与库仑力的 y 分量相等时，P 才能平衡当 P 所受的重力 mg 大于 FEymax时，P 不可能达到平衡故质量为 m 的粒子存在平衡位置的条件是 mg FEymax 由（4）式得 m 0.385 g k qQ d2 （5） 2y (m) 0.707d ；0y (
30、m)0.707d 3根据题意，当粒子 P 静止在 y = y1处时，处于稳定平衡位置，故有 1 3 22 2 1 () Qqy k dy m1g = 0 （6） 设想给粒子 P 沿 y 轴的一小扰动y ，则 P 在 y 方向所受的合力为 Fy = FEy m1g = k Qq ( y1 +y ) d2 + ( y1 +y )2 3 / 2 m1g （7） 由于y 为一小量，可进行近似处理，忽略高阶小量，有 Fy = k Qq ( y1 +y ) d2 + y2 1 + 2y1y 3 / 2 m1g = k Qq ( y1 +y ) (d2 + y2 1 ) 3 / 2 ( 1 3y1y d2
31、+ y2 1 )m1g = k Qqy1 (d2 + y2 1 ) 3 / 2 + k Qqy (d2 + y2 1 ) 3 / 2 k 3qQy2 1y (d2 + y2 1 ) 5 / 2 m 1g 注意到（6）式，得 Fy = m1g (2y2 1d 2 ) (d2 + y2 1 ) y1 y （8） 因 y = y1是粒子 P 的稳定平衡位置，故 y10.707d ，2y2 1d 20 由（8）式可知，粒 子P在y方向受到合力具有恢复力的性质， 故在其稳定平衡位置附近的微小振动是简谐运动； 其圆频率为 = (2y2 1d 2 ) (d2 + y2 1 ) y1 g ， （9） 14 周
32、期为 T = 2 =2 (d2 + y2 1 ) y1 (2y2 1d 2 ) g （10） 4粒子 P 处在重力场中，具有重力势能；它又处在点电荷 A 的静电场中，具有静电势 能当 P 的坐标为 y 时，其重力势能 Wg = m2gy ， 式中取坐标原点 O 处的重力势能为零；静电势能 WE = k qQ d2 + y2 粒子的总势能 W = Wg + WE = m2gy + k qQ d2 + y2 （11） 势能也与 P 的 y 坐标有关：当 y 较小时，静电势能起主要作用，当 y 较大时，重力势能 起主要作用在 P 的稳定平衡位置处，势能具有极小值；在 P 的不稳定平衡位置处，势能 具
33、有极大值根据题意，y = y2处是质量为 m2的粒子的不稳定平衡位置，故 y = y2处，势能 具有极大值，即 W ( y2 ) = Wmax = m2gy2 + k qQ d2 + y2 2 （12） 当粒子 P 的坐标为 y3时，粒子的势能为 W ( y3 ) = m2gy3 + k qQ d2 + y2 3 当 y3 y2时，不论 y3取何值，粒子从静止释放都能到达管底若 y3 y2 ，粒子从静 止释放能够到达管底，则有 W ( y3 ) W ( y2 ) 所以，y3满足的关系式为 y3 y2 ； （13） 或者 y3 y2 且 m2gy3 + k qQ d2 + y2 3 m2gy2
34、+ k qQ d2 + y2 2 （14） 附： （1）式可表示为 15 FEy = k Qq r2 sin = k Qq d2 cos2sin ， 式中 为 P， A 之间的连线和 x 轴的夹角 由上式可知， 带电粒子 P 在 = 0 ， / 2 时， FEy = 0 在 0 / 2 区间，随着 的增大，sin 是递增函数，cos 2 是递减函数在 此区间内， FEy必存在一个极大值 FEymax ； 用数值法求解， 可求得极大值所对应得角度 0 经 数个计算整理出的数据如表 2 所示 表 2 / rad 0. 010 0.464 0.540 0.576 0.611 0.615 0.617
35、0.644 0.675 cos2sin 0.029 0.367 0.378 0.383 0.385 0.385 0.385 0.384 0.381 由表中数值可知，当 = 00.615 rad（即 35.26 ）时，FEy取极大值 FEymax = k Qq d2 cos20sin0 = 0.385 k Qq d2 带电粒子 P 在竖直方向上还受到重力 G 的作用，其方向与 FEy相反故带电粒子 P 受 到的合力 F = FEy G = k Qq d2 cos2sin mg 当 F = 0 ，即 FEy = G 时，P 处于平衡状态由此可见，当带电粒子的质量 m FEymax g = k (
36、qQ / d2 ) cos20sin0 g 时，可以在 y 轴上找到平衡点 六、 1单球面折射成像公式可写成 n s + n s = n n r ， （1） 式中 s 为物距，s 为像距，r 为球面半径，n 和 n 分别为入射光和折射光所在介质的折 射率 在本题中，物点 P 经反射器的成像过程是：先经过左球面折射成像（第一次成像） ；再 经右球面反射成像（第二次成像） ；最后再经左球面折射成像（第三次成像） （1）第一次成像令 s1和 s1分别表示物距和像距因 s1 = s ，n = n0 = 1 ，n = ng ，r = R ，有 ng s1 + 1 s1 = ng 1 R ， （2） 16
37、 即 s1 = ngRs ( ng 1 ) sR （3） （2）第二次成像用 s2 表示物距，s2 表示像距，有 1 s2 + 1 s2 = 2 r （4） 因 s2 = 2R s1 ，r = R ，由（3） ， （4）两式得 s2 = ( 2s + 2R ngs )R 3R + 3s ngs （5） （3）第三次成像用 s3 表示物距，s3 表示像距，有 n0 s3 + ng s3 = n0ng r （6） 因 s3 = 2R s2 ，n0 = 1 ，r = R ，由（5） ， （6）两式得 s3 = ( 4sngs + 4R )R 2ngs 4s + ngR 4R （7） 2以 v 表示像
38、的速度，则 3 22 2 4()()4 (44 ) 1 2()4()4244 / . (244 )(24)(244 ) gg gggg g ggggg ssnssR Rsn sR R s v ttnssssn RRn ssn RR n Rst n ssn RRsnn ssn RR （8） 由于s 很小，分母中含有s 的项可以略去，因而有 v = n2 gR 2 (2ngs 4s + ngR 4R )2 s t （9） 根据题意，P 从左向右运动，速度大小为 v ，则有 v = s t （10） 由此可得，像的速度 v = n2 gR 2v (2ngs 4s + ngR 4R )2 （11） 可
39、见，像的速度与 s 有关，一般不做匀速直线运动，而做变速直线运动当 n =2 （12） 时， （11） 式分母括号中的头两项相消， v 将与 s 无关 这表明像也将做匀速直线运动； 而且（11）式变为 v = v ，即像的速度和 P 的速度大小相等 17 七、 解法一根据已知条件，射向钠原子的激光的频率 v = c （1） 对运动方向与 z 轴正方向的夹角为 、速率为 u 的钠原子，由于多普勒效应，它接 收的激光频率 v = v ( 1 + u c cos )； （2） 改用波长表示，有 = 1 + u c cos （3） 发生共振吸收时，应有 = 0 ，即 1 + u c cos = 0 （
40、4） 解（4）式，得 ucos = c 0 0 ； （5） 代入有关数据，得 ucos = 5.85 103 m s 1 （6） 由（6）式，对 =30 的钠原子，其速率 u1 = 6.76 103 m s 1 ； 对 = 45 的钠原子，其速率 u2 = 8.28 103 m s 1 运动方向与 z 轴的夹角在 30 45 区域内的原子中， 能发生共振吸收的钠原子的速率 范围为 6.76 103 m s 1 u 8.28 103 m s 1 （7） 共振吸收前后，动量守恒设钠原子的反冲速率为 V ，则有 Mu h ez = MV （8） 其中 ez 为 z 轴方向的单位矢量由（8）式得 u
41、V = h Mez （9） 18 钠原子速度（矢量）变化的大小为 | u V | = h M ； （10） 代入数据，得 | u V | = 2.9 10 2 m s 1 （11） 解法二根据已知条件，钠原子从激发态 P3 / 2 跃迁到基态 S1 / 2 发出的光谱线的频率 v0 = c 0 ； （1） 入射激光的频率 v = c （2） 考查运动方向与 z 轴的正方向成 角的某个钠原子它在共振吸收过程中动量守恒， 能量守恒以 u 表示该钠原子在共振吸收前的速度，V 表示该钠原子共振吸收后的速度， 则有 Mu hv c ez = MV ， （3） 1 2Mu 2 + hv = 1 2MV 2
42、 + hv 0 （4） 把（3）式写成分量形式，并注意到共振吸收前后钠原子在垂直于 z 轴方向的动量不变，有 Musin = MVsin ， （5） Mucos hv c = MVcos ， （6） 式中 为激发态钠原子速度方向与 z 轴正方向的夹角从（5） ， （6）两式中消去 ， 得 M2u2 M2V2 = ( hv c ) 2 + 2Mu hv c cos （7） 由（4） ， （7）两式可得 2hv0 2hv = 1 M ( hv c )2 + 2hv u c cos （8） 注意到( hv / c )2M ，得 v0 = v ( 1 + u c cos )； （9） 改用波长表示，有 0 = 1 + u c cos （10） 解（10）式，得 19 ucos = c 0 0 ； （11） 代入有关数据，得 ucos = 5.85 103 m s 1 （12） 由（12）式，对 =30 的钠原子，其速率 u1 = 6.76 103 m s 1 ； 对 = 45 的钠原子，其速率 u2 = 8.28 103 m s 1 运动方向与 z 轴的夹角在 30 45 区域内的原子中， 能发生共振吸收的钠原子的速率 范围为 6.76 103 m s 1 u 8.28 103 m s 1 （13） 由（3）式可知，钠原子共振吸收前后速度（矢量）的变化为 u V = h Mez ，
